Rețea reciprocă

În cristalografie , rețeaua reciprocă a unei rețele Bravais este setul de vectori precum: $\ vec {K}$

{\ displaystyle e ^ {i {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {R}}} = 1}

pentru toți vectorii de poziție ai rețelei Bravais. Această rețea reciprocă este ea însăși o rețea Bravais, iar rețeaua sa reciprocă este rețeaua Bravais de pornire. ${\ vec {R}}$

Plasa rețelei reciproce

Un cristal poate fi descris ca o rețea la nodurile căreia există modele: atom , ion , moleculă .

Dacă se apelează vectorii care definesc celula elementară , acești vectori definesc o bază de spațiu. Putem defini o bază de reciprocitate , prin verificarea ${\ displaystyle ({\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}}, {\ vec {e_ {3}}})}$ $({\ vec {e_ {1} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {2} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {3} ^ {*}}})$

{\ displaystyle {\ vec {e_ {i}}} \ cdot {\ vec {e_ {j} ^ {*}}} = \ delta _ {ij} = {\ begin {cases} 1 și {\ text { si}} i = j \\ 0 & {\ text {si}} i \ neq j \ end {cases}}}

Care dau:

{\ vec {e_ {1} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {2}}} \ wedge {\ vec {e_ {3}}},

{\ vec {e_ {2} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {3}}} \ wedge {\ vec {e_ {1}}},

{\ displaystyle {\ vec {e_ {3} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {1}}} \ wedge {\ vec {e_ {2}}} ,}

unde este volumul mesh- ului rețelei directe (calculat folosind produsul mixt al vectorilor mesh-ului): $V$

{\ displaystyle V = {\ vec {e_ {1}}} \ cdot ({\ vec {e_ {2}}} \ wedge {\ vec {e_ {3}}}) = {\ vec {e_ {2} }} \ cdot ({\ vec {e_ {3}}} \ wedge {\ vec {e_ {1}}}) = {\ vec {e_ {3}}} \ cdot ({\ vec {e_ {1} }} \ wedge {\ vec {e_ {2}}}).}

Punctele care au coordonate întregi în cadru formează o rețea numită rețea reciprocă . $(O, {\ vec {e_ {1} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {2} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {3} ^ {*}}})$

Cerere

Studiul cristalelor se efectuează, în general, prin difracția radiațiilor având o lungime de undă de ordinul distanței inter-atomice. Din modelul de difracție obținut, putem determina forma grătarului și, prin urmare, structura cristalului .

Dacă sunăm:

${\ vec {k}}$ vectorul de undă al radiației incidente;
${\ displaystyle {\ vec {k '}}}$ vectorul undelor împrăștiate într-o direcție dată;
$\ vec {K}$ vectorul de împrăștiere (sau vectorul de difracție) definit de ${\ displaystyle {\ vec {K}} = {\ vec {k '}} - {\ vec {k}}}$

atunci condiția de difracție pe un singur cristal este dată de teorema lui Bloch :

există difracție dacă este un vector al rețelei reciproce.

\ vec {K}

Exemple de rețele reciproce

Pentru a găsi rețeaua reciprocă trebuie să luăm în considerare primitiv ochiurilor de plasă . Pe de altă parte, se folosește rețele neprimitive, cum ar fi cubul centrat (2 noduri prin plasă) și cubul centrat pe față (4 noduri după plasă).

Rețea (parametru)	Rețea reciprocă (parametru)	Prima zonă Brillouin
cub $(la)$	cub ${\ displaystyle (2 \ pi / a)}$	cub
cubic centrat $(la)$	fețele cubice centrate ${\ displaystyle (4 \ pi / a)}$	octaedru obtuz
fețele cubice centrate $(la)$	cubic centrat ${\ displaystyle (4 \ pi / a)}$	dodecaedru rombic

Aici am pozat ${\ displaystyle {\ vec {a ^ {*}}} \ cdot {\ vec {a}} = 2 \ pi.}$

Note și referințe

Există două moduri de a defini vectorul de undă: fie norma sa este , atunci avem formulele date; fie norma sa este și avem atunci: ${\ frac {1} {\ lambda}}$ ${\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e_ {i}}} \ cdot {\ vec {e_ {j} ^ {*}}} = 2 \ pi \ delta _ {ij}}$ și ${\ vec {e_ {m} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ pi} {V}} {\ vec {e_ {n}}} \ wedge {\ vec {e_ {p}}}$ unde ( m , n , p ) este o permutare circulară de (1, 2, 3).

Vezi și tu