Legea lui Morrie

Legea Morrie este trigonometrice de identitate următoarele:

{\ displaystyle \ cos (20 ^ {\ circ}) \ cdot \ cos (40 ^ {\ circ}) \ cdot \ cos (80 ^ {\ circ}) = {\ frac {1} {8}}}

Numele acestei „ curiozități ” se datorează fizicianului Richard Feynman .

Această identitate este interesantă, deoarece niciunul dintre factorii din produs nu este rațional , dar produsul este.

Istorie

Unul dintre tovarășii lui Richard Feynman, pe nume Morrie Jacobs, l-a introdus în această școală în timpul școlii sale; Și-a amintit-o toată viața, precum și circumstanțele în care a aflat despre asta (în magazinul de piele al tatălui lui Morrie). El face referire la aceasta într-o scrisoare datată lui Morrie27 ianuarie 1987.

În 1992, James Gleick a povestit acest episod în biografia pe care a scris-o despre Feynman, intitulată Genius .

În 1996, Beyer și colab. numiți această egalitate „ identitatea lui Morrie Jacob ” . În 1998, Ernest C. Anderson a numit-o „ Legea lui Morrie ” (literalmente „ Legea lui Morrie ”).

În 2011, Paul J. Nahin (ro) a numit-o „ egalitatea Jacobs-Feynman ” .

Generalizare

Legea lui Morrie este cazul special, unde și , a identității mai generale: $n = 3$ ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ pi} {9}} = 20 ^ {\ circ}}$

{\ displaystyle 2 ^ {n} \ cdot \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} \ cos (2 ^ {k} \ alpha) = {\ frac {\ sin (2 ^ {n} \ alpha )} {\ sin (\ alpha)}}}

cu și .

{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {C}}

n \ ge 1

Curiozitatea provine din faptul că, dacă alegem , partea dreaptă este egală cu 1 (o arătăm prin înlocuirea cu în numitor), iar egalitatea devine: ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ pi} {2 ^ {n} +1}}}$ $\ sin (\ alfa)$ ${\ displaystyle \ sin (\ pi - \ alpha)}$

{\ displaystyle 2 ^ {n} \ cdot \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} \ cos \ left ({\ frac {2 ^ {k}} {2 ^ {n} +1}} \ pi \ dreapta) = 1}

Există diverse alte generalizări ale acestei identități, citate mai ales într-o carte din 1930 despre trigonometrie.

Identități similare pentru alte funcții trigonometrice

Există o identitate similară pentru funcția sinusoidală:

{\ displaystyle \ sin (20 ^ {\ circ}) \ cdot \ sin (40 ^ {\ circ}) \ cdot \ sin (80 ^ {\ circ}) = {\ frac {{\ sqrt {3}} \ } {8}}}

Bineînțeles, prin împărțirea identității pentru funcția sinusoidală cu cea pentru funcția cosinus, apare o a treia identitate pentru funcția tangentă:

{\ displaystyle \ tan (20 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan (40 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan (80 ^ {\ circ}) = {\ sqrt {3}} = \ tan (60 ^ {\ circ})}

Demonstrații

Dovadă algebrică

Folosind formula unghiului dublu pentru funcția sinusoidală:

{\ displaystyle \ sin (2 \ alpha) = 2 \ sin (\ alpha) \ cos (\ alpha)}

găsim expresia și, în consecință, a , ...: ${\ displaystyle \ cos (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ cos (2 \ alpha)}$ ${\ displaystyle \ cos (4 \ alpha)}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ cos (\ alpha) & = {\ frac {\ sin (2 \ alpha)} {2 \ sin (\ alpha)}} \\\ cos (2 \ alpha) & = {\ frac {\ sin (4 \ alpha)} {2 \ sin (2 \ alpha)}} \\\ cos (4 \ alpha) & = {\ frac {\ sin (8 \ alpha)} {2 \ sin (4 \ alpha)}} \\ & {} \, \, \, \ vdots \\\ cos (2 ^ {n-1} \ alpha) & = {\ frac {\ sin (2 ^ {n} \ alfa)} {2 \ sin (2 ^ {n-1} \ alfa)}}. \ end {align}}}

Înmulțind toate aceste expresii între ele, obținem:

{\ displaystyle \ cos (\ alpha) \ cos (2 \ alpha) \ cos (4 \ alpha) \ cdots \ cos (2 ^ {n-1} \ alpha) = {\ frac {\ cancel {\ sin (2 \ alpha)}} {2 \ sin (\ alpha)}} \ cdot {\ frac {\ cancel {\ sin (4 \ alpha)}} {2 \ {\ cancel {\ sin (2 \ alpha)}}} } \ cdot {\ frac {\ cancel {\ sin (8 \ alpha)}} {2 \ {\ cancel {\ sin (4 \ alpha)}}}} \ cdots {\ frac {\ sin (2 ^ {n } \ alpha)} {2 \ {\ cancel {\ sin (2 ^ {n-1} \ alpha)}}}}}

În partea dreaptă a expresiei, numeratorii și numitorii intermediari se anulează reciproc, lăsând doar primul numitor și numeratorul final (se spune că este un produs telescopic ), precum și o putere de 2 în numitor ( deoarece există termeni); vine atunci: ${\ displaystyle sin (\ alpha)}$ ${\ displaystyle sin (2 ^ {n} \ alpha)}$ $2 ^ {n}$ $nu$

{\ displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} \ cos (2 ^ {k} \ alpha) = {\ frac {\ sin (2 ^ {n} \ alpha)} {2 ^ {n } \ sin (\ alpha)}}}

care echivalează cu generalizarea identității.

Dovezi geometrice

Pentru a demonstra legea lui Morrie, în 2008 a fost publicată o dovadă geometrică care utilizează un eneagon obișnuit, apoi o altă în 2015.

Acestea din urmă se bazează pe enneagon de mai jos contra, partea 1. Fie , , și cercuri, respectiv , , și . ${\ displaystyle ABCDEFGHI}$ $M$ $J$ $K$ $L$ $[AB]$ ${\ displaystyle [BD]}$ ${\ displaystyle [DF]}$ ${\ displaystyle [BF]}$

Arătăm că , și . ${\ displaystyle \ alpha = 20 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ beta = 40 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ gamma = 80 ^ {\ circ}}$

Calculul unghiurilor

${\ displaystyle \ angle DEF = \ unghi CDE = \ unghi ABC = 140 ^ {\ circ}}$ deoarece sunt unghiuri interne ale unui eneagon regulat.

Suma unghiurilor lui este , prin urmare ${\ displaystyle \ triangle KEF}$ ${\ displaystyle 180 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ alpha = 180 ^ {\ circ} - \ angle KEF- \ angle EKF = 180 ^ {\ circ} - {\ frac {\ angle DEF} {2}} - 90 ^ {\ circ} = 180 ^ {\ circ} -70 ^ {\ circ} -90 ^ {\ circ} = 20 ^ {\ circ}}$
${\ displaystyle \ angle BDL = \ angle CDL- \ alpha = {\ frac {\ angle CDE} {2}} - 20 ^ {\ circ} = 70 ^ {\ circ} -20 ^ {\ circ} = 50 ^ {\ circ}}$ .
Suma unghiurilor lui este , prin urmare . ${\ displaystyle \ triangle BDL}$ ${\ displaystyle 180 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ beta = 180 ^ {\ circ} - \ angle BDL- \ angle BLD = 180 ^ {\ circ} -50 ^ {\ circ} -90 ^ {\ circ} = 40 ^ {\ circ}}$
${\ displaystyle \ gamma = \ angle ABC- \ alpha - \ beta = 140 ^ {\ circ} -20 ^ {\ circ} -40 ^ {\ circ} = 80 ^ {\ circ}}$ .

${\ displaystyle \ triangle KEF}$ este dreptunghi în , prin urmare . Acum, pentru că este punctul de mijloc al , prin urmare: $K$ ${\ displaystyle \ textstyle \ cos (\ alpha) = {\ frac {| KF |} {| EF |}}}$ ${\ displaystyle | DF | = 2 \ cdot | KF |}$ $K$ ${\ displaystyle [DF]}$

{\ displaystyle | DF | = 2 \ cdot | EF | \ cdot \ cos (20 ^ {\ circ})}

${\ displaystyle \ triangle DFL}$ este dreptunghi în , prin urmare . Acum, pentru că este punctul de mijloc al , prin urmare: $L$ ${\ displaystyle \ textstyle \ cos (\ beta) = {\ frac {| LF |} {| DF |}}}$ ${\ displaystyle | BF | = 2 \ cdot | LF |}$ $L$ ${\ displaystyle [BF]}$

{\ displaystyle | BF | = 2 \ cdot | DF | \ cdot \ cos (40 ^ {\ circ})}

${\ displaystyle \ triangle BFM}$ este dreptunghi în , prin urmare . Acum, pentru că este punctul de mijloc al , prin urmare: $M$ ${\ displaystyle \ textstyle \ cos (\ gamma) = {\ frac {| BM |} {| BF |}}}$ ${\ displaystyle | AB | = 2 \ cdot | BM |}$ $M$ $[AB]$

{\ displaystyle | AB | = 2 \ cdot | BF | \ cdot \ cos (80 ^ {\ circ})}

Cu toate acestea, deoarece acestea sunt laturile eneagonei și prin înlocuirea și cu expresiile de mai sus, obținem: ${\ displaystyle | AB | = | EF | = 1}$ ${\ displaystyle | BF |}$ ${\ displaystyle | DF |}$

{\ displaystyle 1 = 8 \ cdot \ cos (20 ^ {\ circ}) \ cdot \ cos (40 ^ {\ circ}) \ cdot \ cos (80 ^ {\ circ})}

Autorii acestei dovezi au publicat ulterior, în 2016, o dovadă geometrică a unui alt caz particular al generalizării legii lui Morrie, acolo unde și . $n = 3$ ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ pi} {7}}}$

Referințe

(ro) James Gleick , Genius: The Life and Science of Richard Feynman , New York, Pantheon Books ,1992, 532 p. ( ISBN 0-679-40836-3 ).

Gleick, op. cit. , p. 450 : „ [ pag. ] 47 IF A BOY NUMED MORRIE JACOBS: Feynman către Morris Jacobs, 27 ianuarie 1987, CIT [California Institute of Technology Archives]. " .
Gleick, op. cit. , p. 47 : „ Dacă un băiat pe nume Morrie Jacobs i-ar spune că cosinusul de 20 de grade înmulțit cu cosinusul de 40 de grade înmulțit cu cosinusul de 80 de grade ar fi egal cu exact o optime, el și-ar aminti curiozitatea pentru tot restul vieții sale și și-ar aminti că stătea în magazinul de piele al tatălui lui Morrie când a aflat-o. " .

În revista Mathematics , Mathematical Association of America :

(în) Gaston Brouwer, „ O generalizare a formulelor de dublare a unghiurilor pentru funcții trigonometrice ” , Revista de matematică , vol. 90, n o 1,februarie 2017, p. 12-18 ( DOI 10.4169 / math.mag.90.1.12 ).
(în) William A. Beyer, James D. Louck și Doron Zeilberger , „ Mușcătura matematică: o generalizare a unei curiozități pe care Feynman și-a amintit-o toată viața ” , Revista de matematică , vol. 69, n o 1,Februarie 1996, p. 43–44 ( DOI 10.2307 / 2691393 , citiți online ).
(în) Garry J. Tee, „ Math Bite: Generalizări suplimentare ale unei curiozități pe care Feynman și-a amintit-o toată viața ” , Revista de matematică , vol. 72, nr . 1,Februarie 1999, p. 44 ( JSTOR 2691313 , citiți online ).
(în) Samuel G. Moreno și Esther García-Caballero, " A Geometric Proof of Morrie's Formula-type " , Revista de matematică , vol. 89, nr . 3,iunie 2016, p. 214–215 ( DOI 10.4169 / math.mag.89.3.214 ).

(ro) Ernest C. Anderson, „ Morrie's Law and Experimental Mathematics ” , Journal of Recreational Mathematics , vol. 29, n o 21998, p. 85-88.

Anderson, op. cit. , p. 86: „ Prin urmare, am numit Ecuația (1)„ Legea lui Morrie ” ” .

( fr ) Eric W. Weisstein , „ Legea lui Morrie ” , pe MathWorld .

(ro) Glen Van Brummelen , Trigonometry: A Very Short Introduction , Oxford, Oxford University Press , col. „Seria de introduceri foarte scurte” ( nr . 626),2020, 163 p. ( ISBN 978-0-19-881431-3 ) , „Legea lui Morrie și prietenii” , p. 79–83 [ citește online ] .

Van Brummelen, op. cit. , p. 79.

Alte referințe:

(în) Paul J. Nahin (în) , Number-Crunching: Taming Unruly Computational Problems from Mathematical Physics to Science Fiction , Princeton and Oxford, Princeton University Press ,2011, 376 p. ( ISBN 978-0-691-14425-2 ) , p. 12, Challenge Problem 1.2 [ citiți online ] .
(în) Dennis S. Bernstein, Scalar, Vector, and Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas , Princeton și Oxford, Princeton University Press ,2018, 1547 p. ( ISBN 978-0-691-15120-5 și 978-0-691-17653-6 ) , p. 244–245, fapt 2.16.17 [ citește online ] .
(în) Philip Feinsilver, " Numerație, identități trigometrice și distribuții de tip cantor " , Simpozionul 28 anual anual Matematică Western Kentucky University din Bowling Green, Kentucky , Southern Illinois University Carbondale ,31 octombrie-1 st noiembrie 2008, p. 6.
(în) Clement V. Durell și Alan Robson, Advanced Trigonometry , George Bell & Sons,1930( citește online ), Exercițiul XII, 24, 25, 29, 30 și 31, p. 225–226 și răspunsuri p. 322.
(în) Eric W. Weisstein , CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (în) , Boca Raton / Londra / New York etc., Chapman & Hall / CRC,2003, A 2 -a ed. , 3242 p. ( ISBN 1-58488-347-2 ) , „Trigonometry Values Pi / 9” , p. 3057–3058 [ Citește online ] și (în) Eric W. Weisstein , " Trigonometry Angles - Pi / 9 " pe MathWorld .
(în) David Miles și Chris Pritchard, „ Three Trigonometric Results from a Regular Nonagon ” , Matematica în școală , vol. 37, nr . 5,Noiembrie 2008, p. 12-13 ( JSTOR 30212315 ).
(în) Samuel G. Moreno și Esther García-Caballero, " O dovadă geometrică a legii lui Morrie " , American Mathematical Monthly , vol. 122, n o 2februarie 2015, p. 168 ( DOI 10.4169 / amer.math.monthly.122.02.168 ).

Vezi și tu

Formule trigonometrice în kπ / 9