Număr abundent

În matematică , un număr abundent este un număr întreg natural diferit de zero care este strict mai mic decât suma divizorilor proprii  ; cu alte cuvinte, este un întreg strict pozitiv n astfel încât:

2nu<σ(nu) ,{\ displaystyle 2n <\ sigma (n) \,}

unde este suma divizorilor întregi pozitivi ai lui n , inclusiv n de data aceasta. σ(nu){\ displaystyle \ sigma (n)}

Exemple:

• Luați numărul 10:
  • Divizorii lui 10 sunt 1, 2 și 5.
  • Suma 1 + 2 + 5 dă 8.
  • Dar 8 este mai mic decât 10. Concluzie: 10 nu este deci un număr abundent.
• Luați numărul 12:
  • Divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4 și 6.
  • Suma 1 + 2 + 3 + 4 + 6 dă 16.
  • Și 16 este mai mare decât 12. Concluzie: 12 este deci un număr abundent.

Primele numere abundente sunt: ​​12, 18, 20, 24, 30, 36, ... (vezi continuare A005101 din OEIS ).

Valoarea se numește abundența lui n . Numerele a căror abundență este zero sunt numerele perfecte , iar numerele a căror abundență este strict negativă numerele deficitare . σ(nu)-2nu{\ displaystyle \ sigma (n) -2n \,}

Un număr abundent a cărui abundență este egală cu 1 este numit aproape perfect , dar nu se știe în acest moment dacă există. Pe de altă parte, vom observa că 20 are o abundență egală cu 2.

Orice multiplu strict al unui număr perfect sau abundent este abundent. Prin urmare, există un număr infinit de numere abundente, începând cu multiplii stricți ai lui 6.

Istoric

Numere abundente au fost introduse în jurul anului 130 d.Hr. de Nicomaques de Gerasius în Introducerea sa în aritmetică .

Numere abundente primitive

Un număr abundent se spune că este primitiv dacă nu este un multiplu strict al unui număr abundent; deși în prezent nu știm dacă există o infinitate de numere perfecte, știm cum să găsim o infinitate de numere primitive abundente, cum ar fi numerele de formă unde este un număr prim impar care nu este un număr Mersenne și cea mai mare putere a 2 mai puțin decât (când este un număr Mersenne prim, este perfect). 2nup{\ displaystyle 2 ^ {n} p}p{\ displaystyle p}2nu{\ displaystyle 2 ^ {n}}p{\ displaystyle p}p{\ displaystyle p}2nup{\ displaystyle 2 ^ {n} p}

Primul număr impar (și primitiv) abundent este  ; întrucât nu am găsit niciodată un număr perfect impar (dar nu am demonstrat niciodată că nu a existat niciunul), știm că există o infinitate de numere primare impar impar (vezi continuarea A006038 a OEIS care are ca subsecvență infinită A007741 din OEIS lipsit de primul său termen). 945=33.5.7{\ displaystyle 945 = 3 ^ {3} .5.7}

Anecdotă despre cel mai mic ciudat abundent: rezultatul unei coajă, a fost scris într - o carte de Edward Lucas , în secolul al XIX - lea  secol că cea mai mică a fost ciudat abundente (7 a fost înlocuit de neatenție 79). Această eroare a fost copiată în multe cărți, în special în dicționarul foarte serios de matematică (PUF), unde a fost corectată doar în ediția din 2005. 10665=33.5.79{\ displaystyle 10665 = 3 ^ {3} .5.79}

Primele numere primare abundente ciudate (945, 1575, 2205, 3465, 4095, 5355 etc.) sunt multipli de 3 și 5, dar aceasta nu este o proprietate generală; cel mai mic ciudat non-multiplu abundent din 3 este și pentru orice număr întreg k , există o infinitate de numere primitive abundente care nu sunt divizibile cu niciunul dintre primele k numere prime (a se vedea continuarea A047802 din OEIS ). 52.7.11.13.17.19.23.29=5391411025{\ displaystyle 5 ^ {2} .7.11.13.17.19.23.29 = 5391411025}

Pe de altă parte, pentru orice număr întreg k , există doar un număr finit de numere abundente primare impare al căror număr de divizori primi este egal cu k .

Evaluare și referință

1. (în) Leonard Eugene Dickson , „  finitudinea numerelor perfecte impare cu abundente și primitive n factori primi distincti  ” , american J. Math. , vol.  35,1913, p.  413-422 ( DOI  10.2307 / 2370405 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">