Produs mixt

În geometrie , produsul mixt este numele luat de determinant într-un cadru euclidian orientat. Valoarea sa absolută este interpretată ca volumul unui paralelotop .

Pentru produsul mixt într-un spațiu euclidian tridimensional orientat, a se vedea articolul geometrie vectorială .

Definiție

Fie E un spațiu euclidian orientat de dimensiunea n. Sau B bază ortonormală directă E . Produsul mixt din n vectori ai lui E este definit de ${\ displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {n}) \ mapsto [x_ {1}, ..., x_ {n}] = {\ det} _ {B} (x_ {1}, ..., x_ {n})}$

Nu depinde de baza ortonormală directă B aleasă.

Produsul mixt este zero dacă și numai dacă familia lui x i este înrudită, strict pozitivă dacă și numai dacă constituie o bază directă, valorează 1 dacă constituie și o bază ortonormală directă.

Verifică inegalitatea Hadamard

[x_ {1}, \ dots, x_ {n}] \ leq \ prod \ limits _ {{i = 1}} ^ {n} \ | x_ {i} \ |

Când vectorii formează o familie liberă, există egalitate dacă și numai dacă această familie este ortogonală. Cu alte cuvinte, lungimile laturilor fiind date, paralelotopul drept este cel cu cel mai mare volum.

Pentru fabricarea unor vectori particulari (cu coeficienți 1 și -1) care verifică cazul egalității, vezi matricea Hadamard .

Demonstrarea independenței bazei ortonormale directe

Endomorfismele care trimit o bază ortonormală directă pe o bază ortonormală directă sunt automorfismele ortogonale ale determinantului 1. Determinantul unei familii de vectori x 1 , ... x n în două baze ortonormale directe are deci aceeași valoare.

Într-un spațiu euclidian, și chiar într-un spațiu real prehilbertian de orice dimensiune, determinanții permit, de asemenea, calcularea volumelor de paralelotopi de orice dimensiune finită sub formă de matrice și determinanți Gram .

De această dată, acestea sunt volume neorientate și nu este posibil să oferiți o versiune orientată.

Legătura produsului mixt cu produsul extern și dualitatea Hodge

Prin dualitatea Hodge , este posibil să se treacă de la 0-vector 1 la un n -vector al formei de produs extern a vectorilor cu o bază ortonormală directă e 1 , ..., e n . Prin urmare, produsul extern al oricăror n vectori este scris

{\ displaystyle x_ {1} \ wedge x_ {2} \ wedge \ dots \ wedge x_ {n} = [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]. \ star 1}

Este, de asemenea, posibil să vedeți aplicația mixtă a produsului ca o formă duală n- liniară de 0-formă 1

{\ displaystyle [\ dots] = {\ rm {d}} e_ {1} \ wedge {\ rm {d}} e_ {2} \ wedge \ dots \ wedge {\ rm {d}} e_ {n} = \ stea 1}

Definiția generală a produsului încrucișat

Prin utilizarea produsului dot

Pentru toate de , cererea este o formă liniară. E fiind un spațiu euclidian cu dimensiuni finite, există un vector unic, notat astfel încât: ${\ displaystyle (x_ {1}, \ dots x_ {n-1})}$ ${\ displaystyle E ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle x \ in E \ to [x, x_ {1}, ..., x_ {n-1}]}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}}$

{\ displaystyle \ forall x \ in E, [x, x_ {1}, ..., x_ {n-1}] = \ left \ langle x \, | \, x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1} \ right \ rangle}

Vectorul se numește produs încrucișat al . ${\ displaystyle x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ dots x_ {n-1})}$

Aplicația pe produse încrucișate este (n-1) -alternă . Produsul încrucișat dispare dacă și numai dacă familia este înrudită.

Coordonatele produsului încrucișat sunt date de

{\ displaystyle x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1} = {\ begin {vmatrix} x_ {1} {} ^ {1} & \ cdots & x_ {1} {} ^ {n} \ \\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ x_ {n-1} {} ^ {1} & \ cdots & x_ {n-1} {} ^ {n} \\\ mathbf {e} _ {1 } & \ cdots & \ mathbf {e} _ {n} \ end {vmatrix}}}

prin notarea e i vectorilor bazei ortonormale directe. Cu alte cuvinte, coordonatele produsului încrucișat sunt cofactori ai acestei matrice.

Prin dualitatea Hodge

Definiția anterioară poate fi tradusă prin intermediul dualității Hodge după cum urmează, cu o corespondență între produsul încrucișat și produsul exterior al vectorilor n -1 . Produsul încrucișat este singurul vector astfel încât: $\ ori$ $\ wedge$ $x_ {i}$

{\ displaystyle x_ {1} \ wedge x_ {2} \ wedge \ dots \ wedge x_ {n-1} = \ star \ left (x_ {1} \ times x_ {2} \ times \ dots \ times x_ {n -1} \ dreapta)}

De asemenea, putem scrie, știind că, pentru un vector ( n -1) , avem : $\ eta$ ${\ displaystyle \ star \ star \ eta = (- 1) ^ {n-1} \; \ eta}$

{\ displaystyle x_ {1} \ times x_ {2} \ times \ dots \ times x_ {n-1} = (- 1) ^ {n-1} \ star \ left (x_ {1} \ wedge x_ {2 } \ wedge \ dots \ wedge x_ {n-1} \ right)}

Aceasta constituie o definiție alternativă a produsului încrucișat, echivalentă cu următoarea proprietate. Produsul transversală este singurul vector , astfel încât, pentru toate de , avem: ${\ displaystyle x_ {1} \ times x_ {2} \ times \ dots \ times x_ {n-1}}$ ${\ displaystyle (y_ {1}, \ dots y_ {n-1})}$ ${\ displaystyle E ^ {n-1}}$

{\ displaystyle [x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}, y_ {1}, \ dots, y_ {n-1}] = \ det (\ langle x_ {i} \, | \ , y_ {j} \ rangle) _ {1 \ leq i \ leq n-1,1 \ leq j \ leq n-1}}

. Demonstrație

Dacă observăm , atunci: ${\ displaystyle \ omega = \ stea 1}$

{\ displaystyle [x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}, y_ {1}, \ dots, y_ {n-1}] \, \ omega = (- 1) ^ {n-1 } [y_ {1}, \ dots, y_ {n-1}, x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}] \, \ omega}

{\ displaystyle = (- 1) ^ {n-1} y_ {1} \ wedge \ dots \ wedge y_ {n-1} \ wedge (x_ {1} \ times \ dots \ times x_ {n-1}) }

{\ displaystyle = y_ {1} \ wedge \ dots \ wedge y_ {n-1} \ wedge \ star (x_ {1} \ wedge \ dots \ wedge x_ {n-1})}

{\ displaystyle = \ left \ langle y_ {1} \ wedge \ dots \ wedge y_ {n-1} \, | \, x_ {1} \ wedge \ dots \ wedge x_ {n-1} \ right \ rangle \ , \ omega}

{\ displaystyle = \ det \ langle x_ {i} \, | \, y_ {j} \ rangle) _ {1 \ leq i \ leq n-1,1 \ leq j \ leq n-1} \, \ omega }

Note și referințe

Lelong-Ferrand / Arnaudies, curs de matematică, Algebra , t. Eu, Dunod,1974, p. 393
(în) „ Produs încrucișat ” pe ncatlab.org