Convergență necondiționată

Să X un topologic grup abelian - de exemplu , un vector normat spațiu - și $( x n ) n \inℕ$ un rezultat al elementelor X . Noi spunem că seria $Σ x n$ converge necondiționat sau este convergentă commutatively dacă pentru orice permutare $σ$ : ℕ → ℕ, seria converge în X . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x _ {\ sigma (n)}}$

Orice serie absolut convergentă dintr-un spațiu Banach X este convergentă necondiționat. Conversa este adevărată dacă și numai dacă X are o dimensiune finită .

O bază Schauder a lui X se numește necondiționată dacă pentru toate x ∈ X , seria reprezentativă x converge necondiționat.

Legătură cu familiile rezumabile

Teorema - O serie de termeni generali $x n$ este convergentă commutativ dacă și numai dacă secvența $( x n ) n \inℕ$ este o familie sumabilă, iar toate sumele sunt atunci egale cu $\sum$ $n$ $\inℕ$ $x$ $n$ . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x _ {\ sigma (n)}}$

Dacă secvența este sumabilă, este imediat că toate seriile permutate converg (spre suma ei). Conversa - dacă toate seriile permutate converg, atunci secvența este sumabilă, fără a presupune a priori că sumele seriei sunt egale - se bazează pe două leme:

Lema 1 - Dacă toate seriile îndeplinesc criteriul Cauchy pentru serie , atunci secvența $($ $x$ $n$ $)$ $n$ $\inℕ$ îndeplinește criteriul Cauchy pentru familii : ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x _ {\ sigma (n)}}$

{\ displaystyle \ forall V {\ text {cartierul}} 0 \ quad \ există J_ {V} {\ text {finite}} \ subset \ mathbb {N} \ quad \ forall K {\ text {finite}} \ subset \ mathbb {N} \ quad \ left (K \ cap J_ {V} = \ varnothing \ Rightarrow \ sum _ {k \ in K} x_ {k} \ in V \ right).}

Demonstrație

Prin contrapunere , să presupunem că criteriul Cauchy pentru familii nu este verificat, adică există un vecinătate V a elementului neutru 0 al grupului X astfel încât:

{\ displaystyle \ forall J {\ text {finite}} \ subset \ mathbb {N} \ quad \ există K (J) {\ text {finite}} \ subset \ mathbb {N} \ quad K (J) \ cap J = \ varnothing {\ text {et}} \ sum _ {k \ în K (J)} x_ {k} \ notin V.}

Prin setarea J 0 = ∅ și, pentru orice număr natural n , J n +1 = J n ∪ K ( J n ), obținem o partiție a lui ℕ de K ( J n ). Există o permutare a lui ℕ în care elementele fiecărui K ( J n ) devin consecutive. Seria corespunzătoare nu îndeplinește criteriul Cauchy.

Lema 2 - Dacă $( x n ) n \inℕ$ îndeplinește criteriul Cauchy pentru familii și dacă una dintre serii converge, atunci $($ $x$ $n$ $)$ $n$ $\inℕ$ este o familie sumabilă. ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x _ {\ sigma (n)}}$

Demonstrație

Să presupunem că $( x n ) n \inℕ$ îndeplinește criteriul Cauchy pentru familii și - fără pierderea generalității - că seria este convergentă, de sumă S , adică: ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x_ {n}}$

{\ displaystyle \ forall V {\ text {cartierul}} 0 \ quad \ există N_ {V} \ quad \ forall n \ geq N_ {V} \ quad S- \ sum _ {k = 0} ^ {n} x_ {k} \ în V.}

Să J V un set asociat cu V în criteriul Cauchy pentru familii, J un set finit de numere întregi care conțin naturale J V , iar n un număr întreg legat superior atât J și N V . Setul {0,…, n } \ J este apoi disjunct de J V , deci

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} x_ {k} \ right) - \ sum _ {k \ în J} x_ {k} \ în V.}

Deducem asta

{\ displaystyle \ forall V {\ text {cartierul}} 0 \ quad \ există J_ {V} {\ text {finite}} \ subset \ mathbb {N} \ quad \ forall J {\ text {finite}} \ subset \ mathbb {N} \ quad \ left (J \ supset J_ {V} \ Rightarrow S- \ sum _ {k \ in J} x_ {k} \ in V + V \ right),}

dovedind că secvența este suma summable de S .

Alte caracterizări

Teoremă - O serie de termeni generali $x n$ este convergentă commutativ dacă și numai dacă pentru orice secvență $( ε n ) n \inℕ$ cu $ε n$ = ± 1, seria converge sau dacă orice subserie ( $n$ $0$ $<$ $n$ $1$ $<$ $n$ $2$ $<...$ ) converge. ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ varepsilon _ {n} x_ {n}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {m = 0} ^ {\ infty} x_ {n_ {m}}}$

Această teoremă rezultă din Lema 2 de mai sus și din Lema următoare, care este dovedită ca Lema 1:

Lema 3 - Dacă toate subseriile îndeplinesc criteriul Cauchy pentru serie, atunci secvența îndeplinește criteriul Cauchy pentru familii.

Note și referințe

Bourbaki , TG , III.44 .
Cf. Teorema Dvoretzky-Rogers .
Gustave Choquet , Curs de analiză, Volumul II: Topologie , p. 228-229.
.

Vezi și tu

Articole similare

Bibliografie

(ro) Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant și Václav Zizler, Analiza funcțională și geometria infinită-dimensională , 2000 ( ISBN 978-0-387-95219-2 )