Aplicație multiliniară
În algebra liniară , o hartă multiliniare este o hartă cu mai multe vectoriale variabile și valori vectoriale , care este liniar în fiecare variabilă. O aplicație multiliniară cu valori scalare se numește formă multiliniară . O aplicație multiliniară cu două variabile vectoriale se numește biliniară .
Câteva exemple clasice:
Studiul sistematic al aplicațiilor multiliniare face posibilă obținerea unei definiții generale a determinantului, a produsului extern și a multor alte instrumente cu un conținut geometric. Ramura algebrei corespunzătoare este algebra multiliniară . Dar există, de asemenea, foarte multe aplicații în contextul varietăților , în topologia diferențială .
Definiție
Sunt un întreg k > 0 și vector spații pe același corp K . O aplicatie
E1,...,Ek,F{\ displaystyle E_ {1}, \ ldots, E_ {k}, F}
f:E1×...×Ek→F{\ displaystyle f: E_ {1} \ times \ ldots \ times E_ {k} \ to F}se spune că este multiliniar (sau mai exact: k - liniar ) dacă este liniar în fiecare variabilă, adică dacă, pentru vectori și scalari a și b ,
X1,...,Xk,Xeu′{\ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {k}, x '_ {i}}
f(X1,...,Xeu-1,laXeu+bXeu′,Xeu+1,...,Xk)=laf(X1,...,Xeu,...,Xk)+bf(X1,...,Xeu′,...Xk).{\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {i-1}, ax_ {i} + bx '_ {i}, x_ {i + 1}, \ dots, x_ {k}) = af ( x_ {1}, \ dots, x_ {i}, \ dots, x_ {k}) + bf (x_ {1}, \ dots, x '_ {i}, \ dots x_ {k}).}În mod informal, putem reprezenta o hartă k- liniară ca o hartă a produsului cu k termeni, cu o proprietate de tip distributiv .
Toate aplicațiile k -linéaires de la F este un subspațiu al spațiului F E 1 × ... × E n toate aplicațiile E 1 × ... × E n în F . Prin urmare, este un spațiu vector, pe care îl denotăm sau mai simplu atunci când . Spațiul de K- liniare forme pe E este notat .
E1×...×Ek{\ displaystyle E_ {1} \ times \ ldots \ times E_ {k}}L(E1,...,Ek;F){\ displaystyle L (E_ {1}, \ ldots, E_ {k}; F)}Lk(E;F){\ displaystyle L_ {k} (E; F)}E1=...=Ek=E{\ displaystyle E_ {1} = \ ldots = E_ {k} = E}Lk(E;K){\ displaystyle L_ {k} (E; K)}Lk(E){\ displaystyle L_ {k} (E)}
În cazul în care k = 1 , vom găsi spațiul de hărți liniare de E în F . Pe de altă parte, dacă k > 1 , nu trebuie să confundăm spațiul hărților multiliniare cu spațiul hărților liniare pe spațiul vectorial al produsului . De exemplu, de la K × K la K , înmulțirea este biliniară, dar nu liniară, în timp ce proiecția este liniară, dar nu biliniară.
L(E;F){\ displaystyle L (E; F)}L(E1,...,Ek;F){\ displaystyle L (E_ {1}, \ ldots, E_ {k}; F)}L(E1×...×Ek;F){\ displaystyle L (E_ {1} \ times \ ldots \ times E_ {k}; F)} E1×...×Ek{\ displaystyle E_ {1} \ times \ ldots \ times E_ {k}}(X1,X2)↦X1X2{\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ mapsto x_ {1} x_ {2}}(X1,X2)↦X1{\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ mapsto x_ {1}}
Scrierea componentelor
Dacă (finit sau nu) sunt bazele respective ale spațiilor , aplicația (liniară) a restricției
B1,...,Bk{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {1}, \ ldots, {\ mathcal {B}} _ {k}}E1,...,Ek{\ displaystyle E_ {1}, \ ldots, E_ {k}}
L(E1,...,Ek;F)→FB1×...×Bk,f↦f|B1×...×Bk{\ displaystyle L (E_ {1}, \ ldots, E_ {k}; F) \ to F ^ {{\ mathcal {B}} _ {1} \ times \ ldots \ times {\ mathcal {B}} _ {k}}, \ qquad f \ mapsto f_ {| {\ mathcal {B}} _ {1} \ times \ ldots \ times {\ mathcal {B}} _ {k}}}este bijectivă (deci este un izomorfism de spații vectoriale ), adică o k hartă -Linear este determinată în întregime de valorile pe k -tuples vectorilor bazelor, iar aceste valori pot fi orice vectori F .
Mai concret și presupunând simplificarea notațiilor care
E1=...=EkșiB1=...=Bk=(eeu)eu=1,...,nu,{\ displaystyle E_ {1} = \ ldots = E_ {k} \ quad {\ text {și}} \ quad {\ mathcal {B}} _ {1} = \ ldots = {\ mathcal {B}} _ { k} = (e_ {i}) _ {i = 1, \ ldots, n},}putem descompune fiecare vector
Xj=∑eu=1nuXeu,jeeu.{\ displaystyle x_ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i, j} e_ {i}.}Apoi , expresia unui k -Linear formular pe k -uplet devine
X1,...,Xk{\ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {k}}
f(X1,...,Xk)=f(∑eu1=1nuXeu1,1eeu1,...,∑euk=1nuXeuk,keeuk)=∑eu1=1nu...∑euk=1nu∏j=1kXeuj,jf(eeu1,...,eeuk).{\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = f \ left (\ sum _ {i_ {1} = 1} ^ {n} X_ {i_ {1}, 1} e_ {i_ {1}}, \ dots, \ sum _ {i_ {k} = 1} ^ {n} X_ {i_ {k}, k} e_ {i_ {k}} \ right) = \ sum _ {i_ {1 } = 1} ^ {n} \ dots \ sum _ {i_ {k} = 1} ^ {n} \ prod _ {j = 1} ^ {k} X_ {i_ {j}, j} f (e_ { i_ {1}}, \ dots, e_ {i_ {k}}).}Cunoașterea valorilor determină pe deplin harta k- liniară f .
nuk{\ displaystyle n ^ {k}}f(eeu1,...,eeuk){\ displaystyle f (e_ {i_ {1}}, \ dots, e_ {i_ {k}})}
În special, spațiul formelor k- liniare pe un spațiu vector E de dimensiune n are pentru dimensiune .
Lk(E){\ displaystyle L_ {k} (E)}nuk{\ displaystyle n ^ {k}}
Simetrie și antisimetrie
Se spune
o cereref∈Lk(E;F){\ displaystyle f \ în L_ {k} (E; F)}
-
simetric dacă schimbul de doi vectori nu modifică rezultatul:
f(X1,...,Xk)=f(X1,...,Xeu-1,Xj,Xeu+1,...,Xj-1,Xeu,Xj+1,...,Xk){\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = f (x_ {1}, \ dots, x_ {i-1}, x_ {j}, x_ {i + 1}, \ dots , x_ {j-1}, x_ {i}, x_ {j + 1}, \ dots, x_ {k})} ;
-
antisimetric dacă schimbul a doi vectori are ca efect schimbarea rezultatului obținut în opusul său:
f(X1,...,Xk)=-f(X1,...,Xeu-1,Xj,Xeu+1,...,Xj-1,Xeu,Xj+1,...,Xk){\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = - f (x_ {1}, \ dots, x_ {i-1}, x_ {j}, x_ {i + 1}, \ puncte, x_ {j-1}, x_ {i}, x_ {j + 1}, \ dots, x_ {k})}.
Se pot efectua mai multe schimburi succesive de vectori. Se realizează astfel o permutare a vectorilor, obținută ca o succesiune de transpuneri. La fiecare pas, rezultatul este nemodificat dacă f este simetric și schimbat în opusul său dacă f este antisimetric. În cele din urmă, efectul unei permutări generale a vectorilor nu este să modifice rezultatul dacă f este simetric și să se înmulțească cu semnătura permutării dacă f este antisimetric. În rezumat, denotând grupul simetric al indexului :
Sk{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {k}}k{\ displaystyle k}
- dacă f este simetric atunci:
∀σ∈Sk,f(Xσ(1),...,Xσ(k))=f(X1,...,Xk){\ displaystyle \ forall \ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {k}, \; f (x _ {\ sigma (1)}, \ dots, x _ {\ sigma (k)}) = f (x_ {1}, \ dots, x_ {k})} ;
- dacă f este antisimetric atunci:
∀σ∈Sk,f(Xσ(1),...,Xσ(k))=ε(σ)f(X1,...,Xk).{\ displaystyle \ forall \ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {k}, \; f (x _ {\ sigma (1)}, \ dots, x _ {\ sigma (k)}) = \ varepsilon (\ sigma) f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}).}Subseturile corespunzătoare ale , denotate respectiv și , sunt subspatii vectoriale. Dacă caracteristica corpului K este egală cu 2, acestea sunt egale.
Lk(E;F){\ displaystyle L_ {k} (E; F)}Sk(E;F){\ displaystyle S_ {k} (E; F)}LAk(E;F){\ displaystyle A_ {k} (E; F)}
Aplicație alternativă
Se spune că o aplicație alternează dacă este anulată de fiecare dată când este evaluată pe un k -plu care conține doi vectori identici:
f∈Lk(E;F){\ displaystyle f \ în L_ {k} (E; F)}
[∃eu≠j,Xeu=Xj]⇒f(X1,...,Xk)=0.{\ displaystyle [\ exists i \ neq j, x_ {i} = x_ {j}] \ Rightarrow f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = 0.}În mod echivalent, o hartă k- liniară este alternată dacă dispare peste toate k- upleturile legate. În special, în cazul în care k este strict mai mare decât dimensiunea E , atunci singura alternativ k harta -Linear de la F este harta nulă.
Ek{\ displaystyle E ^ {k}}Ek{\ displaystyle E ^ {k}}
Orice aplicație alternativă multiliniară este antisimetrică.
Dacă caracteristica câmpului K este diferită de 2, se verifică invers: se alternează orice aplicație antisimetrică multiliniară.
Aplicație alternativă n- liniară în dimensiunea n
În această secțiune presupunem că spațiul E este de dimensiune finită n și studiem cazul particular k = n . Pentru F = K , acest studiu oferă o definiție alternativă a determinării într-o bază e a unui vector n- triplu sau a matricei , atunci când este definit în prealabil de formula Leibniz .
Dacă E are o bază , putem descompune fiecare vector
e=(e1,...,enu){\ displaystyle e = (e_ {1}, \ dots, e_ {n})}
Xj=∑eu=1nuXeu,jeeu{\ displaystyle x_ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i, j} e_ {i}}.
Apoi, expresia unei n -Linear formă f pe n -tuple ( vezi mai sus ) este simplificată atunci când f este alternata (deci și antisimetrică):
X1,...,Xnu{\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}
f(X1,...,Xnu)=(∑σ∈Snuε(σ)∏j=1nuXσ(j),j)f(e1,...,enu)=dete(X1,...,Xnu)f(e1,...,enu){\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ left (\ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ varepsilon (\ sigma) \ prod _ {j = 1} ^ {n} X _ {\ sigma (j), j} \ right) f (e_ {1}, \ dots, e_ {n}) = {\ det} _ {e} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) f (e_ {1}, \ dots, e_ {n})}.
Astfel, cunoașterea vectorului unic este suficientă pentru a determina complet funcția f , iar harta este forma alternativă unică n- liniară f astfel încât .
f(e1,...,enu){\ displaystyle f (e_ {1}, \ dots, e_ {n})} dete{\ displaystyle {\ det} _ {e}}f(e1,...,enu)=1{\ displaystyle f (e_ {1}, \ dots, e_ {n}) = 1}
Teorema - Dacă E este de dimensiune n , atunci spațiul aplicațiilor n alternând -linéaires E n în F este izomorfă F .
LAnu(E;F){\ displaystyle A_ {n} (E; F)}
Notă: această teoremă face posibilă orientarea spațiilor vectoriale reale alegând, în cazul în care F = R, în linia A alternând forme n-liniare, una sau alta dintre jumătatea de linii A 'sau A' și prin numind planuri vectoriale orientate perechile (E, A) sau (E, A ').
Aplicație k alternativă -dimensiune liniară n> k
Revenind la cazul unei hărți k- liniare alternative în dimensiunea n , presupunem de data aceasta că n> k (amintiți-vă că, dacă n <k , orice hartă k- liniară alternativă este zero). Doar o parte din rezultatele anterioare poate fi extinsă. Este întotdeauna posibil să ștergeți termeni în care același vector apare de două ori; el vine
f(X1,...,Xk)=∑(eu1,...,euk)∈J∏j=1kXeuj,jf(eeu1,...,eeuk){\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = \ sum _ {(i_ {1}, \ dots, i_ {k}) \ in J} \ prod _ {j = 1} ^ {k} X_ {i_ {j}, j} f (e_ {i_ {1}}, \ dots, e_ {i_ {k}})}unde J este mulțimea de k- upluri cu fiecare în [| 1, n |] și toate distincte. Mai mult, prin antisimetrie, este posibil să reordonați termenii în f astfel încât să păstrați o singură combinație de termeni ai formei
(eu1,...,euk){\ displaystyle (i_ {1}, ..., i_ {k})}euj{\ displaystyle i_ {j}}euj{\ displaystyle i_ {j}}
f(eeu1,...,eeuk) cu 1≤eu1<eu2<⋯<euk-1<euk≤nu.{\ displaystyle f (e_ {i_ {1}}, \ dots, e_ {i_ {k}}) \ qquad {\ text {cu}} 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ dots <i_ {k-1} <i_ {k} \ leq n.}Numărul de astfel de k- duplicate reordonate este coeficientul binomial , iar o formă alternativă k- liniară se caracterizează prin datele valorii lui f pe aceste k- duplicate. În cele din urmă, teorema anterioară se generalizează în:
(nuk){\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}
Teorema - În cazul în care E este de dimensiune n , atunci spațiul de k alternativ -Linear hărți ale E k în F este izomorfă
LAk(E;F){\ displaystyle A_ {k} (E; F)}
F(nuk).{\ displaystyle F ^ {\ tbinom {n} {k}}.}
Mai precis, formula de descompunere poate fi scrisă folosind noțiunea de determinant: fiecare coeficient este un minor al matricei reprezentative pentru familia de vectori din baza lui .
Xeu{\ displaystyle x_ {i}}ej{\ displaystyle e_ {j}}
f(X1,...,Xk)=∑1≤eu1<eu2<⋯<euk-1<euk≤nu|Xeu1;1Xeu1;2...Xeu1;kXeu2;1Xeu2;2...Xeu2;k⋮⋮⋱⋮Xeuk;1Xeuk;2...Xeuk;k|f(eeu1,...,eeuk).{\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ dots <i_ {k-1} <i_ {k} \ leq n} {\ begin {vmatrix} X_ {i_ {1}; 1} & X_ {i_ {1}; 2} & \ dots & X_ {i_ {1}; k} \\ X_ {i_ {2} ; 1} & X_ {i_ {2}; 2} & \ dots & X_ {i_ {2}; k} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ X_ {i_ {k}; 1} & X_ {i_ {k}; 2} & \ dots & X_ {i_ {k}; k} \ end {vmatrix}} f (e_ {i_ {1}}, \ dots, e_ {i_ {k}}) .}Notă
-
Pentru o demonstrație, vezi de exemplu lecția despre Wikiversitate .
-
Jean Dieudonné, Algebră liniară și geometrie elementară , Paris, Hermann ,1964, pp. 78-83 pentru planuri vectoriale
Vezi și tu
Articole similare
Algebră externă • Anticomutativitate • Permanentă • Tensor
Bibliografie
Roger Godement , curs de Algebră