Extinderea geometrică
Extinderea fasciculului
Extinderea geometrică și întinderea optică sunt două cantități, utilizate în radiometrie și în fotometrie , care caracterizează partea radiației luminoase emise de o sursă extinsă care ajunge la un receptor. Unitatea lor în sistemul internațional este metrul pătrat-steradian (m 2 · sr).
Fasciculul este setul de raze de legătură cu oricare dintre punctele de pe suprafața emițătoare la oricare dintre punctele de pe suprafața de recepție. Extinderea geometrică poate fi văzută ca mărimea geometrică care caracterizează dimensiunea acestui canal sau a acestui tub de transfer. Poate fi definit atât din punctul de vedere al receptorului, cât și al sursei. Extinderea geometrică face posibilă legarea a două mărimi fotometrice sau radiometrice, pe de o parte fluxul luminos și luminanța luminoasă și, pe de altă parte, fluxul energetic și luminanța energetică .
Φv{\ displaystyle \ Phi _ {vb}}
Lv{\ displaystyle L_ {vb}}
Φe{\ displaystyle \ Phi _ {e}}
Le{\ displaystyle L_ {e}}![}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215152abc1ee4b5269c9e54083298fd88d0ab0a9)
Extinderea optică, la rândul său, face posibilă luarea în considerare a variațiilor indicelui de refracție al mediului în timpul propagării: acesta din urmă influențează dispersia razelor de lumină. Conservarea întinderii unui fascicul printr-un sistem optic exprimă conservarea puterii luminoase a acestui fascicul și, prin urmare, absența pierderii în sistem. Noțiunea este legată de cea a invariantului Lagrange-Helmholtz , constantă și într-un sistem optic perfect. Este un concept fundamental în optica non-imagistică .
Definiții
Extinderea geometrică elementară
Să luăm în considerare o sursă de lumină și un receptor , ambele extinse, adică alcătuite dintr-un set de puncte, separate printr-un mediu perfect transparent. Pentru a studia transmisia luminii între aceste două suprafețe este necesar să se studieze contribuția fiecărui punct de la iluminarea fiecărui punct de . Folosim calculul infinitezimal, astfel extinderea geometrică a unui element de suprafață către un element de suprafață este exprimată:
Σ{\ displaystyle \ Sigma}
S{\ displaystyle S}
Σ{\ displaystyle \ Sigma}
S{\ displaystyle S}
dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}
dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}![{\ mathrm d} S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ba425d7d7a0f229457dea3c0be4a47ea303cc3)
d2G=dΣ cosαΣ dΩΣ=dΣ cosαΣ dS cosαSd2{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} G = \ mathrm {d} \ Sigma ~ \ cos {\ alpha _ {\ Sigma}} ~ \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma} = {\ frac {\ mathrm {d} \ Sigma ~ \ cos {\ alpha _ {\ Sigma}} ~ \ mathrm {d} S ~ \ cos {\ alpha _ {S}}} {d ^ {2}}}}
.
-
dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}
și două elemente de suprafață suficient de mici , astfel încât acestea să poată fi asimilate părți ale planului, aparținând respectiv și legate printr - un fascicul de lumină elementar.dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}
Σ{\ displaystyle \ Sigma}
S{\ displaystyle S}![S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
-
nu→Σ{\ displaystyle {\ vec {n}} _ {\ Sigma}}
și sunt vectorii normali ai unității elementelor de suprafață și respectiv .nu→S{\ displaystyle {\ vec {n}} _ {S}}
dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}
dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}![{\ mathrm d} S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ba425d7d7a0f229457dea3c0be4a47ea303cc3)
-
αΣ{\ displaystyle \ alpha _ {\ Sigma}}
și sunt unghiurile dintre direcția de propagare și vectorul normal corespunzător, respectiv și .αS{\ displaystyle \ alpha _ {S}}
nu→Σ{\ displaystyle {\ vec {n}} _ {\ Sigma}}
nu→S{\ displaystyle {\ vec {n}} _ {S}}![{\ displaystyle {\ vec {n}} _ {S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f016a54d8a5f4592e109ccd414396e99e041cbd2)
-
dΩΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma}}
este unghiul solid la care elementul de suprafață este privit din elementul de suprafață , prin definiție .dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}
dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}
dΩΣ=dS cosαS/d2{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma} = {\ mathrm {d} S ~ \ cos {\ alpha _ {S}}} / {d ^ {2}}}![{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma} = {\ mathrm {d} S ~ \ cos {\ alpha _ {S}}} / {d ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4d0082dd41deb32edcd5e019c33d7047c0ab8c)
-
d{\ displaystyle d}
distanța celor două suprafețe elementare și .dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}
dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}![{\ mathrm d} S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ba425d7d7a0f229457dea3c0be4a47ea303cc3)
Este interesant să observăm următoarea proprietate: întinderea geometrică a viermilor este egală cu întinderea geometrică a viermilor . Într-adevăr, canalul care leagă cele două suprafețe este același.
dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}
dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}
dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}
dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}![{\ mathrm d} \ Sigma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b5a697b83b5d1313e6f58d91a8c6eed8873420)
Extindere geometrică integrală
Extinderea geometrică, uneori calificată ca totală, globală sau integrală, care leagă suprafețele și este integrala dublă pe și de întinderea elementară, pe părțile celor două suprafețe și care sunt vizibile de la una la alta. Prin urmare, sfera sistemului în ansamblu este:
Σ{\ displaystyle \ Sigma}
S{\ displaystyle S}
dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}
dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}
Σ{\ displaystyle \ Sigma}
S{\ displaystyle S}![S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
G=∫Σ∫Sd2G.{\ displaystyle G = \ int _ {\ Sigma} \! \ int _ {S} \ mathrm {d ^ {2}} G.}![{\ displaystyle G = \ int _ {\ Sigma} \! \ int _ {S} \ mathrm {d ^ {2}} G.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731be1c2892954ecfb2fda319f4fde80c0a71b40)
Din nou, întinderea geometrică a fasciculului care se conectează și este aceeași în funcție de faptul dacă fasciculul elementar este luat în considerare la început sau la final.
Σ{\ displaystyle \ Sigma}
S{\ displaystyle S}![S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
Gama optică elementară
Pe tot parcursul propagării, fasciculul de lumină poate fi deviat, urmând una sau mai multe reflecții sau refracții , iar geometria sa poate fi modificată: întinderea geometrică se poate schimba. Gama optică face posibilă luarea în considerare a variațiilor indicelui de refracție. Expresia sa este dată de:
d2O=nu2 d2G{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} O = n ^ {2} ~ \ mathrm {d} ^ {2} G}
.
Extensia optică elementară este un invariant optic: se păstrează în reflexii și refracții.
nu2 d2G{\ displaystyle n ^ {2} ~ \ mathrm {d} ^ {2} G}![{\ displaystyle n ^ {2} ~ \ mathrm {d} ^ {2} G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5157a3a57e923e132015a62c8a7a44ca0e1273b)
Demonstrație
Legea lui Snell-Descartes , face posibil să se stabilească:
nu1 păcatθ1=nu2 păcatθ2{\ displaystyle n_ {1} ~ \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} ~ \ sin \ theta _ {2}}![{\ displaystyle n_ {1} ~ \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} ~ \ sin \ theta _ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf8cbaaa7735ee3dbfa96a72e665baf3f6f7c5ac)
,
apoi luând diferențialul,
nu1 cosθ1 dθ1=nu2 cosθ2 dθ2{\ displaystyle n_ {1} ~ \ cos \ theta _ {1} ~ \ mathrm {d} \ theta _ {1} = n_ {2} ~ \ cos \ theta _ {2} ~ \ mathrm {d} \ theta _ {2}}![{\ displaystyle n_ {1} ~ \ cos \ theta _ {1} ~ \ mathrm {d} \ theta _ {1} = n_ {2} ~ \ cos \ theta _ {2} ~ \ mathrm {d} \ theta _ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd1df69a208d005a616cafce59e172b32fd3149)
.
Pentru o variație a unghiului de incidență , unghiul refractat variază cu . Prin multiplicarea celor două relații precedente, vine
dθ1{\ displaystyle d \ theta _ {1}}
dθ2{\ displaystyle d \ theta _ {2}}![{\ displaystyle d \ theta _ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf8aa32213ee78ef31f93036ec5de14ba4ce580)
nu12cosθ1(păcatθ1dθ1dϕ)=nu22cosθ2(păcatθ2dθ2dϕ),{\ displaystyle n_ {1} ^ {2} \ cos \ theta _ {1} \! \ left (\ sin \ theta _ {1} \, \ mathrm {d} \ theta _ {1} \, \ mathrm { d} \ phi \ right) = n_ {2} ^ {2} \ cos \ theta _ {2} \! \ left (\ sin \ theta _ {2} \, \ mathrm {d} \ theta _ {2} \, \ mathrm {d} \ phi \ right),}![{\ displaystyle n_ {1} ^ {2} \ cos \ theta _ {1} \! \ left (\ sin \ theta _ {1} \, \ mathrm {d} \ theta _ {1} \, \ mathrm { d} \ phi \ right) = n_ {2} ^ {2} \ cos \ theta _ {2} \! \ left (\ sin \ theta _ {2} \, \ mathrm {d} \ theta _ {2} \, \ mathrm {d} \ phi \ right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e125c1121f525b24aa5b0ec638d1152ff7fa95)
unde întregul a fost, de asemenea, înmulțit cu, deoarece unghiul nu se schimbă în timpul refracției, cele două raze rămân în același plan. Recunoaștem, între paranteze, expresia unghiului solid, astfel încât expresia devine:
dϕ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ phi}
ϕ{\ displaystyle \ phi}![\ phi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4)
nu12 cosθ1 dΩ1=nu22 cosθ2 dΩ2{\ displaystyle n_ {1} ^ {2} \ \ cos \ theta _ {1} \ \ mathrm {d} \ Omega _ {1} = n_ {2} ^ {2} \ \ cos \ theta _ {2} \ \ mathrm {d} \ Omega _ {2}}![{\ displaystyle n_ {1} ^ {2} \ \ cos \ theta _ {1} \ \ mathrm {d} \ Omega _ {1} = n_ {2} ^ {2} \ \ cos \ theta _ {2} \ \ mathrm {d} \ Omega _ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11b65e4067ac56b51a4d61c90186550339e4882f)
.
În cele din urmă, înmulțim cu :
dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}![{\ displaystyle \ mathrm {d} S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ba425d7d7a0f229457dea3c0be4a47ea303cc3)
nu12 dS cosθ1 dΩ1=nu22 dS cosθ2 dΩ2{\ displaystyle n_ {1} ^ {2} \ \ mathrm {d} S \ \ cos \ theta _ {1} \ \ mathrm {d} \ Omega _ {1} = n_ {2} ^ {2} \ \ mathrm {d} S \ \ cos \ theta _ {2} \ \ mathrm {d} \ Omega _ {2}}![{\ displaystyle n_ {1} ^ {2} \ \ mathrm {d} S \ \ cos \ theta _ {1} \ \ mathrm {d} \ Omega _ {1} = n_ {2} ^ {2} \ \ mathrm {d} S \ \ cos \ theta _ {2} \ \ mathrm {d} \ Omega _ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122105686cbfe7e8a486ae43599353a3027bb0ca)
,
adică
nu12 dG1=nu22 dG2⇔dO1=dO2{\ displaystyle n_ {1} ^ {2} \ \ mathrm {d} G_ {1} = n_ {2} ^ {2} \ \ mathrm {d} G_ {2} \ Leftrightarrow \ mathrm {d} O_ {1 } = \ mathrm {d} O_ {2}}![{\ displaystyle n_ {1} ^ {2} \ \ mathrm {d} G_ {1} = n_ {2} ^ {2} \ \ mathrm {d} G_ {2} \ Leftrightarrow \ mathrm {d} O_ {1 } = \ mathrm {d} O_ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9345213a2ff82d404ca454878bb0c96c237a9899)
.
Acest lucru arată că întinderea optică a luminii refractate este conservată. Am putea obține același rezultat în cazul reflecției cu și .
dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}
nu1=nu2{\ displaystyle n_ {1} = n_ {2}}
θ1=-θ2{\ displaystyle \ theta _ {1} = - \ theta _ {2}}![{\ displaystyle \ theta _ {1} = - \ theta _ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25372fc758204e9c4787bd3996be84091d93fe16)
Gama optică completă
Prin urmare, sfera sistemului în ansamblu este:
O=∫Σ∫Sd2O=nu2 G{\ displaystyle O = \ int _ {\ Sigma} \! \ int _ {S} \ mathrm {d ^ {2}} O = n ^ {2} ~ G}![{\ displaystyle O = \ int _ {\ Sigma} \! \ int _ {S} \ mathrm {d ^ {2}} O = n ^ {2} ~ G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0a9e97c9e37de42add579aa79baa27875e4788)
.
Se poate arăta că întinderea optică este păstrată dacă este supusă fenomenelor de refracție și reflexie. Prin urmare, este conservat și atunci când razele trec printr-un sistem optic perfect. Această conservare poate fi demonstrată în diferite moduri, de la optica hamiltoniană sau prin a doua lege a termodinamicii. Pe de altă parte, întinderea nu este menținută atunci când razele sunt împrăștiate , ceea ce duce la o creștere a unghiului solid al fasciculului de lumină. Prin urmare, într-un sistem real, întinderea poate rămâne constantă sau crește, dar nu poate scădea. Aceasta este o consecință directă a creșterii entropiei sistemului, care poate fi compensată doar prin disponibilitatea informațiilor a priori care fac posibilă reconstituirea unei fronturi de undă coerente, prin conjugarea fazelor .
nu2G{\ displaystyle n ^ {2} G}![{\ displaystyle n ^ {2} G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71de1b61c629dfdf656bfc3b8bb432f23ad0a406)
Coerența unui fascicul de lumină
S-a dovedit că un fascicul monocromatic de lungime de undă este coerent pe o întindere geometrică apropiată de .
λ{\ displaystyle \ lambda}
λ2{\ displaystyle \ lambda ^ {2}}![\ lambda ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/852130fa360f0bd8dda19f023a90f16293611563)
Factorul de formă
În cazul obișnuit al radiației în aer, unde , întinderea geometrică a fasciculului de lumină elementar poate lua forma:
nu=1{\ displaystyle n = 1}![n = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425)
d2G=π dΣ(cosθΣ cosθSπ d2 dS){\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} G = \ pi ~ \ mathrm {d} \ Sigma \ left ({\ frac {\ cos {\ theta _ {\ Sigma}} ~ \ cos {\ theta _ { S}}} {\ pi ~ d ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} S \ right)}![{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} G = \ pi ~ \ mathrm {d} \ Sigma \ left ({\ frac {\ cos {\ theta _ {\ Sigma}} ~ \ cos {\ theta _ { S}}} {\ pi ~ d ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} S \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d591eb9503c8faa6cc2d2ac5c478815899e18402)
.
Termenul dintre paranteze este factorul de bază al transferului de viermi .
dΣ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Sigma}
dS{\ displaystyle \ mathrm {d} S}![{\ mathrm d} S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ba425d7d7a0f229457dea3c0be4a47ea303cc3)
Vezi și tu
linkuri externe
-
Curs de radiații , Capitolul 3: Măsurarea geometrică a grinzilor. Olivier Perrot (2010).
Referințe
-
François Desvignes, Radiometrie. Fotometrie , Publicații tehnice pentru ingineri ( citiți online )
-
Jean-Pierre Goure , Optica în instrumente: General , Paris, Lavoisier ,1 st februarie 2011, 324 p. ( ISBN 978-2-7462-1917-5 , citit online )
-
Bernard Balland , Geometric Optics: imagery and instruments , Lausanne, Presses polytechniques et universitaire romandes ,2007, 860 p. ( ISBN 978-2-88074-689-6 , citit online )
-
Luke Audaire, Detectoare de radiații optice , Inginerie tehnică de editare ( citiți online )
-
(în) Julio Chaves , Introducere în Nonimaging Optics, Ediția a doua , CRC Press ,2015, 786 p. ( ISBN 978-1-4822-0673-9 , citit online )
-
Curs online de la Observatorul de la Paris , mai 2010
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">