Ecuația Weierstrass

În matematică , o ecuație Weierstrass , numită și formă Weierstrass , este o formă simplificată a ecuației unei curbe eliptice . Simplificarea formei generale

y2+la1Xy+la3y=X3+la2X2+la4X+la6{\ displaystyle y ^ {2} + a_ {1} xy + a_ {3} y = x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {4} x + a_ {6}}

la forma Weierstrass se poate face prin schimbarea variabilei , dar depinde de caracteristica a câmpului comutativ K pe care este definit curba eliptică (adică domeniul căruia coeficienții de k apartin ).

Există trei tipuri de ecuații Weierstrass.

• Dacă caracteristica lui K este diferită de 2 și 3 (care include cazuri în care este zero, de exemplu atunci când K este câmpul de reali , complexe sau raționale ) atunci ecuația Weierstrass pentru o curbă eliptică este forma

y2=X3+laX+b{\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b} unde a , b sunt elemente K .

• Dacă caracteristica lui K este 3 (de exemplu dacă K este câmpul finit cu 3 elemente r ) atunci se aplică una dintre următoarele două simplificări:

y2=X3+laX2+b{\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax ^ {2} + b} (caz obișnuit) y2=X3+laX+b{\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b} (caz supersingular) unde a , b sunt elemente K .

• Dacă caracteristica lui K este 2 (de exemplu, dacă K este câmpul finit cu 2 elemente r ) atunci se aplică una dintre următoarele două simplificări:

y2+Xy=X3+laX2+b{\ displaystyle y ^ {2} + xy = x ^ {3} + ax ^ {2} + b} (caz obișnuit) y2+vs.y=X3+laX+b{\ displaystyle y ^ {2} + cy = x ^ {3} + ax + b} (caz supersingular) unde a , b (respectiv, a , b , c ) sunt elemente K . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">