Ecuația Schröder-van Laar
În chimia fizică , ecuația Schröder-van Laar reprezintă evoluția compoziției unui amestec lichid binar (compus din două specii chimice ) în funcție de temperatură atunci când se solidifică doar unul dintre cele două corpuri (ambele corpuri sunt nemiscibile în faza solidă ). Cu alte cuvinte, reprezintă curba de îngheț a amestecului lichid sau curba de solubilitate a solidului în lichid.
Această ecuație se mai numește ecuația Schröder-Le Chatelier sau ecuația Schröder-van Laar-Le Chatelier . A fost propus independent de Le Chatelier în 1885, Schröder în 1893 și van Laar în 1903. Descrie lichidul unei diagrame de fază lichid-solid când cele două solide pure sunt complet nemiscibile și face posibilă determinarea temperaturii și a compoziției eutectic . Limita sa este legea criometriei atunci când cantitatea din faza lichidă a corpului care nu se solidifică este neglijabilă în comparație cu cea a corpului care se solidifică.
Această ecuație poate fi extinsă la cazul solidelor miscibile și la cazul soluțiilor non- ideale . Apoi , de asemenea , face posibil să reprezinte solidus din diagrama de fază lichidă solidă.
State
Solide nemiscibile
Luați în considerare un amestec binar, format din cele două specii chimice și , lichid sub presiune constantă. Se presupune că corpurile și nu sunt miscibile în faza solidă, adică doar unul dintre cele două corpuri se solidifică la răcirea lichidului, celălalt rămânând în faza lichidă. Se presupune aici că corpul se solidifică treptat în timpul operației de răcire.
LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}} P{\ displaystyle P}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}
Ecuația Schröder-van Laar se referă compoziția lichidului la temperatura echilibrului lichid-solid ; este scris:
LA{\ displaystyle {\ text {A}}}
Ecuația Schröder-van Laar
lnXLA=ΔfusHLARTfus, A[1-Tfus, AT]-ΔfusVSP,LAR[1-Tfus, AT+ln(Tfus, AT)]{\ displaystyle \ ln x _ {\ text {A}} = {\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}} \ over RT _ {\ text {fus, A}}} \ left [1 - {T _ {\ text {fus, A}} \ over T} \ right] - {\ Delta _ {\ text {fus}} C_ {P, {\ text {A}}} \ over R } \ left [1- {T _ {\ text {fus, A}} \ over T} + \ ln \! \ Left ({T _ {\ text {fus, A}} \ over T} \ right) \ dreapta]}
|
cu:
-
P{\ displaystyle P} presiunea echilibrului lichid-solid;
-
R{\ displaystyle R}constanta universală a gazelor ideale ;
-
T{\ displaystyle T}temperatura echilibrului lichid-solid sub presiune ;P{\ displaystyle P}
-
Tfus, A{\ displaystyle T _ {\ text {fus, A}}}temperatura de fuziune a pură substanță sub presiune ;LA{\ displaystyle {\ text {A}}}P{\ displaystyle P}
-
XLA{\ displaystyle x _ {\ text {A}}}fracția molară a corpului în faza lichidă;LA{\ displaystyle {\ text {A}}}
-
ΔfusVSP,LA{\ displaystyle \ Delta _ {\ text {fus}} C_ {P, {\ text {A}}}}abaterea capacităților termice izobarice molare ale corpului lichid pur și solid la :
LA{\ displaystyle {\ text {A}}}Tfus, A{\ displaystyle T _ {\ text {fus, A}}}
-
ΔfusVSP,LA=VS¯P,LAeu, *(Tfus, A)-VS¯P,LAs, *(Tfus, A){\ displaystyle \ Delta _ {\ text {fus}} C_ {P, {\ text {A}}} = {\ bar {C}} _ {P, {\ text {A}}} ^ {\ text {l, *}} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) - {\ bar {C}} _ {P, {\ text {A}}} ^ { \ text {s, *}} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right)} ;
-
VS¯P,LAeu, *{\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P, {\ text {A}}} ^ {\ text {l, *}}}molar de căldură izobară capacitatea lichidului pur corpului ;LA{\ displaystyle {\ text {A}}}
-
VS¯P,LAs, *{\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P, {\ text {A}}} ^ {\ text {s, *}}}capacitatea izobarică molară a corpului solid pur;LA{\ displaystyle {\ text {A}}}
-
ΔfusHLA{\ displaystyle \ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}}}entalpia de topire a pure substanței la .LA{\ displaystyle {\ text {A}}}Tfus, A{\ displaystyle T _ {\ text {fus, A}}}
Capacitățile termice ale lichidului și ale solidului unei substanțe pure sunt în general destul de apropiate:
ΔfusVSP,LA≈0{\ displaystyle \ Delta _ {\ text {fus}} C_ {P, {\ text {A}}} \ approx 0}ecuația poate fi simplificată prin:
Ecuația Schröder-van Laar simplificată
lnXLA=ΔfusHLARTfus, A[1-Tfus, AT]{\ displaystyle \ ln x _ {\ text {A}} = {\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}} \ over RT _ {\ text {fus, A}}} \ stânga [1 - {T _ {\ text {fus, A}} \ peste T} \ dreapta]}
|
Solide miscibile
Dacă cele două solide sunt miscibile , soluțiile lichide și solide fiind ideale , ecuația Schröder-van Laar poate fi extinsă ca:
Soluții lichide și solide ideale
ln(XLAlXLAs)=ΔfusHLARTfus, A[1-Tfus, AT]-ΔfusVSP,LAR[1-Tfus, AT+ln(Tfus, AT)]{\ displaystyle \ ln \! \ left ({x _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} \ peste x _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}} \ right ) = {\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}} \ over RT _ {\ text {fus, A}}} \ left [1- {T _ {\ text {fus, A}} \ over T} \ right] - {\ Delta _ {\ text {fus}} C_ {P, {\ text {A}}} \ over R} \ left [1- {T _ {\ text { fus, A}} \ over T} + \ ln \! \ left ({T _ {\ text {fus, A}} \ over T} \ right) \ right]}
cu și a fracțiunilor molare ale corpului în fazele lichidă și solidă , respectiv.
XLAl{\ displaystyle x _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}}}XLAs{\ displaystyle x _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}
Generalizare
În cazul general, adică în cazul în care soluțiile solide și lichide nu sunt ideale , avem:
Caz general
ln(laLAllaLAs)=ln(XLAlγLAlXLAsγLAs)=ΔfusHLARTfus, A[1-Tfus, AT]-ΔfusVSP,LAR[1-Tfus, AT+ln(Tfus, AT)]{\ displaystyle \ ln \! \ left ({a _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} \ peste un _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}} \ right ) = \ ln \! \ left ({x _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} \ gamma _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} \ over x _ { \ text {A}} ^ {\ text {s}} \ gamma _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}} \ right) = {\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}} \ over RT _ {\ text {fus, A}}} \ left [1- {T _ {\ text {fus, A}} \ over T} \ right] - {\ Delta _ {\ text {fus}} C_ {P, {\ text {A}}} \ over R} \ left [1- {T _ {\ text {fus, A}} \ over T} + \ ln \! \ Stânga ({T _ {\ text {fus, A}} \ peste T} \ dreapta) \ dreapta]}
cu:
-
laLAl{\ displaystyle a _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}}}și a activităților chimice ale organismului la respectiv în fazele lichide și solide;laLAs{\ displaystyle a _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}T{\ displaystyle T}
-
XLAl{\ displaystyle x _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}}}și a fracțiunilor molare ale corpului în fazele lichide și solide, respectiv;XLAs{\ displaystyle x _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}
-
γLAl{\ displaystyle \ gamma _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}}}și a coeficienților de activitate ale organismului la respectiv în fazele lichide și solide, cum ar fi și .γLAs{\ displaystyle \ gamma _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}T{\ displaystyle T}laLAl=XLAlγLAl{\ displaystyle a _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} = x _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} \ gamma _ {\ text {A}} ^ { \ text {l}}}laLAs=XLAsγLAs{\ displaystyle a _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}} = x _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}} \ gamma _ {\ text {A}} ^ { \ text {s}}}
Demonstrație
Considerăm un amestec binar, format din două corpuri și , în echilibru lichid-solid sub presiune constantă la temperatură . Demonstrația se efectuează inițial în cazul general, cu singura ipoteză că proprietățile fizice ale corpului pot fi considerate constante între temperatura de topire a corpului pur și temperatura amestecului. Raționamentul efectuat asupra corpului este valabil și pentru corp .
LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}P{\ displaystyle P}T{\ displaystyle T}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}Tfus, A{\ displaystyle T _ {\ text {fus, A}}}T{\ displaystyle T}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}
În echilibrul lichid-solid avem egalitatea potențialelor chimice pentru organism :
LA{\ displaystyle {\ text {A}}}
(
1 )
μLAl=μLAs{\ displaystyle \ mu _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} = \ mu _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}}
cu:
-
μLAl{\ displaystyle \ mu _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}}}potențialul chimic al organismului în fază lichidă la ;LA{\ displaystyle {\ text {A}}}T{\ displaystyle T}
-
μLAs{\ displaystyle \ mu _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}}potențialul chimic al corpului în fază solidă la .LA{\ displaystyle {\ text {A}}}T{\ displaystyle T}
Potențialele chimice ale corpului în soluție sunt scrise în termeni de potențialele chimice ale corpului pur:
(
1a )
μLAl=μLAl,∗+RTlnlaLAl{\ displaystyle \ mu _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} = \ mu _ {\ text {A}} ^ {{\ text {l}}, *} + RT \, \ ln a _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}}}
(
1b )
μLAs=μLAs,∗+RTlnlaLAs{\ displaystyle \ mu _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}} = \ mu _ {\ text {A}} ^ {{\ text {s}}, *} + RT \, \ ln a _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}}
cu:
-
μLAl,∗{\ displaystyle \ mu _ {\ text {A}} ^ {{\ text {l}}, *}}și potențialele chimice ale substanței pure în fazele lichide și, respectiv, solide;μLAs,∗{\ displaystyle \ mu _ {\ text {A}} ^ {{\ text {s}}, *}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}T{\ displaystyle T}
-
laLAl{\ displaystyle a _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}}}și a activităților chimice ale organismului la respectiv în fazele lichide și solide;laLAs{\ displaystyle a _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}T{\ displaystyle T}
-
R{\ displaystyle R}constanta universală a gazelor ideale .
Rescriem relația ( 1 ):
(
2 )
μLAl,∗-μLAs,∗=-RTln(laLAllaLAs){\ displaystyle \ mu _ {\ text {A}} ^ {{\ text {l}}, *} - \ mu _ {\ text {A}} ^ {{\ text {s}}, *} = - RT \, \ ln \! \ Left ({a _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} \ peste un _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}} \ right )}}
Având în vedere identitatea entalpiei libere molare și potențialul chimic al unei substanțe pure, relația Gibbs-Helmholtz dă pentru orice substanță pură, indiferent de fază, lichidă sau solidă:
(
3 )
(∂μ∗T∂T)P=-H¯∗T2{\ displaystyle \ left ({\ partial {\ mu ^ {*} \ over T} \ over \ partial T} \ right) _ {P} = - {{\ bar {H}} ^ {*} \ over T ^ {2}}}
cu molar entalpia al corpului pur. Prin introducerea molar de căldură izobarice capacitatea substanței pure în faza luate în considerare, avem:
H¯∗{\ displaystyle {\ bar {H}} ^ {*}}VS¯P∗{\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P} ^ {*}}
(∂H¯∗∂T)P=VS¯P∗{\ displaystyle \ left ({\ partial {\ bar {H}} ^ {*} \ over \ partial T} \ right) _ {P} = {\ bar {C}} _ {P} ^ {* }}pe care o integrăm între , temperatura de topire a substanței pure sub presiune și :
Tfus{\ displaystyle T _ {\ text {fus}}}P{\ displaystyle P}T{\ displaystyle T}
∫TfusTdH¯∗=∫TfusTVS¯P∗(T)dT{\ displaystyle \ int _ {T _ {\ text {fus}}} ^ {T} \ mathrm {d} {\ bar {H}} ^ {*} = \ int _ {T _ {\ text {fus} }} ^ {T} {\ bar {C}} _ {P} ^ {*} \! \ Left (T \ right) \, \ mathrm {d} T}Având în vedere că variază puțin în funcție de temperatură, obținem:
VS¯P∗{\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P} ^ {*}}
H¯∗(T)-H¯∗(Tfus)=VS¯P∗(Tfus)⋅(T-Tfus){\ displaystyle {\ bar {H}} ^ {*} \! \ left (T \ right) - {\ bar {H}} ^ {*} \! \ left (T _ {\ text {fus}} \ dreapta) = {\ bar {C}} _ {P} ^ {*} \! \ left (T _ {\ text {fus}} \ right) \ cdot \ left (TT _ {\ text {fus} } \ dreapta)}Injectăm această relație în ( 3 ) pe care o integrăm între și :
Tfus{\ displaystyle T _ {\ text {fus}}}T{\ displaystyle T}
∫TfusTd(μ∗T)=-∫TfusTH¯∗(Tfus)+VS¯P∗(Tfus)⋅(T-Tfus)T2dT{\ displaystyle \ int _ {T _ {\ text {fus}}} ^ {T} \ mathrm {d} \! \ left ({\ mu ^ {*} \ over T} \ right) = - \ int _ {T _ {\ text {fus}}} ^ {T} {{\ bar {H}} ^ {*} \! \ Left (T _ {\ text {fus}} \ right) + {\ bar {C }} _ {P} ^ {*} \! \ Left (T _ {\ text {fus}} \ right) \ cdot \ left (TT _ {\ text {fus}} \ right) \ over T ^ {2 }} \, \ mathrm {d} T}
μ∗(T)T-μ∗(Tfus)Tfus=-[-H¯∗(Tfus)T+VS¯P∗(Tfus)⋅lnT+VS¯P∗(Tfus)TfusT]TfusT=H¯∗(Tfus)⋅[1T-1Tfus]+VS¯P∗(Tfus)⋅[1-TfusT-ln(TTfus)]{\ displaystyle {\ mu ^ {*} \! \ left (T \ right) \ over T} - {\ mu ^ {*} \! \ left (T _ {\ text {fus}} \ right) \ over T_ {\ text {fus}}} = - \ left [- {{\ bar {H}} ^ {*} \! \ Left (T _ {\ text {fus}} \ right) \ over T} + { \ bar {C}} _ {P} ^ {*} \! \ Left (T _ {\ text {fus}} \ right) \ cdot \ ln T + {\ bar {C}} _ { P} ^ {*} \! \ Left (T _ {\ text {fus}} \ right) {T _ {\ text {fus}} \ over T} \ right] _ {T _ {\ text {fus} }} ^ {T} = {\ bar {H}} ^ {*} \! \ Left (T _ {\ text {fus}} \ right) \ cdot \ left [{1 \ over T} - {1 \ peste T _ {\ text {fus}}} \ right] + {\ bar {C}} _ {P} ^ {*} \! \ left (T _ {\ text {fus}} \ right) \ cdot \ left [1- {T _ {\ text {fus}} \ over T} - \ ln \! \ left ({T \ over T _ {\ text {fus}}} \ right) \ right]}
Prin introducerea entropiei molare a substanței pure în faza luată în considerare și prin luarea în considerare a relației:
S¯∗{\ displaystyle {\ bar {S}} ^ {*}}
μ∗(Tfus)=H¯∗(Tfus)-TfusS¯∗(Tfus){\ displaystyle \ mu ^ {*} \! \ left (T _ {\ text {fus}} \ right) = {\ bar {H}} ^ {*} \! \ left (T _ {\ text {fus }} \ right) -T _ {\ text {fus}} {\ bar {S}} ^ {*} \! \ left (T _ {\ text {fus}} \ right)}noi obținem :
μ∗(T)=H¯∗(Tfus)-TS¯∗(Tfus)+TVS¯P∗(Tfus)⋅[1-TfusT-ln(TTfus)]{\ displaystyle \ mu ^ {*} \! \ left (T \ right) = {\ bar {H}} ^ {*} \! \ left (T _ {\ text {fus}} \ right) -T { \ bar {S}} ^ {*} \! \ left (T _ {\ text {fus}} \ right) + T {\ bar {C}} _ {P} ^ {*} \! \ left (T _ {\ text {fus}} \ right) \ cdot \ left [1- {T _ {\ text {fus}} \ over T} - \ ln \! \ Left ({T \ over T _ {\ text {fus}}} \ right) \ right]}care este disponibil pentru corpul pur în fiecare dintre cele două faze:
LA{\ displaystyle {\ text {A}}}
μLAl,∗(T)=H¯LAl,∗(Tfus, A)-TS¯LAl,∗(Tfus, A)+TVS¯P,LAl,∗(Tfus, A)⋅[1-Tfus, AT-ln(TTfus, A)]{\ displaystyle \ mu _ {\ text {A}} ^ {{\ text {l}}, *} \! \ left (T \ right) = {\ bar {H}} _ {\ text {A}} ^ {{\ text {l}}, *} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) -T {\ bar {S}} _ {\ text {A}} ^ { {\ text {l}}, *} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) + T {\ bar {C}} _ {P, {\ text {A} }} ^ {{\ text {l}}, *} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) \ cdot \ left [1- {T _ {\ text {fus, A }} \ over T} - \ ln \! \ left ({T \ over T _ {\ text {fus, A}}} \ right) \ right]}
μLAs,∗(T)=H¯LAs,∗(Tfus, A)-TS¯LAs,∗(Tfus, A)+TVS¯P,LAs,∗(Tfus, A)⋅[1-Tfus, AT-ln(TTfus, A)]{\ displaystyle \ mu _ {\ text {A}} ^ {{\ text {s}}, *} \! \ left (T \ right) = {\ bar {H}} _ {\ text {A}} ^ {{\ text {s}}, *} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) -T {\ bar {S}} _ {\ text {A}} ^ { {\ text {s}}, *} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) + T {\ bar {C}} _ {P, {\ text {A} }} ^ {{\ text {s}}, *} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) \ cdot \ left [1- {T _ {\ text {fus, A }} \ over T} - \ ln \! \ left ({T \ over T _ {\ text {fus, A}}} \ right) \ right]}
Avem astfel relația:
(
5 )
μLAl,∗(T)-μLAs,∗(T)=[H¯LAl,∗(Tfus, A)-H¯LAs,∗(Tfus, A)]-T⋅[S¯LAl,∗(Tfus, A)-S¯LAs,∗(Tfus, A)]+T⋅[VS¯P,LAl,∗(Tfus, A)-VS¯P,LAs,∗(Tfus, A)]⋅[1-Tfus, AT-ln(TTfus, A)]{\ displaystyle \ mu _ {\ text {A}} ^ {{\ text {l}}, *} \! \ left (T \ right) - \ mu _ {\ text {A}} ^ {{\ text {s}}, *} \! \ left (T \ right) = \ left [{\ bar {H}} _ {\ text {A}} ^ {{\ text {l}}, *} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) - {\ bar {H}} _ {\ text {A}} ^ {{\ text {s}}, *} \! \ left (T_ {\ text {fus, A}} \ right) \ right] -T \ cdot \ left [{\ bar {S}} _ {\ text {A}} ^ {{\ text {l}}, *} \ ! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) - {\ bar {S}} _ {\ text {A}} ^ {{\ text {s}}, *} \! \ left (T_ {\ text {fus, A}} \ right) \ right] + T \ cdot \ left [{\ bar {C}} _ {P, {\ text {A}}} ^ {{\ text {l}}, *} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) - {\ bar {C}} _ {P, {\ text {A}}} ^ { {\ text {s}}, *} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) \ right] \ cdot \ left [1- {T _ {\ text {fus, A} } \ over T} - \ ln \! \ left ({T \ over T _ {\ text {fus, A}}} \ right) \ right]}
Prin introducerea entalpiei de fuziune a substanței pure , prin definiție relațiile :
ΔfusHLA{\ displaystyle \ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}
ΔfusHLA=H¯LAl,∗(Tfus, A)-H¯LAs,∗(Tfus, A)=Tfus, A⋅[S¯LAl,∗(Tfus, A)-S¯LAs,∗(Tfus, A)]{\ displaystyle \ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}} = {\ bar {H}} _ {\ text {A}} ^ {{\ text {l}}, *} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) - {\ bar {H}} _ {\ text {A}} ^ {{\ text {s}}, *} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) = T _ {\ text {fus, A}} \ cdot \ left [{\ bar {S}} _ {\ text {A}} ^ { {\ text {l}}, *} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) - {\ bar {S}} _ {\ text {A}} ^ {{\ text {s}}, *} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) \ right]}și diferența de capacități termice:
ΔfusVSP,LA=VS¯P,LAl,∗(Tfus, A)-VS¯P,LAs,∗(Tfus, A){\ displaystyle \ Delta _ {\ text {fus}} C_ {P, {\ text {A}}} = {\ bar {C}} _ {P, {\ text {A}}} ^ {{ \ text {l}}, *} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right) - {\ bar {C}} _ {P, {\ text {A}}} ^ {{\ text {s}}, *} \! \ left (T _ {\ text {fus, A}} \ right)}rescriem relația ( 5 ):
μLAl,∗(T)-μLAs,∗(T)=ΔfusHLA⋅[1-TTfus, A]+T⋅ΔfusVSP,LA⋅[1-Tfus, AT-ln(TTfus, A)]{\ displaystyle \ mu _ {\ text {A}} ^ {{\ text {l}}, *} \! \ left (T \ right) - \ mu _ {\ text {A}} ^ {{\ text {s}}, *} \! \ left (T \ right) = \ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}} \ cdot \ left [1- {T \ over T _ { \ text {fus, A}}} \ right] + T \ cdot \ Delta _ {\ text {fus}} C_ {P, {\ text {A}}} \ cdot \ left [1- {T _ {\ text {fus, A}} \ over T} - \ ln \! \ Left ({T \ over T _ {\ text {fus, A}}} \ right) \ right]}apoi relația ( 2 ), pentru a termina cu relația generală:
Caz general
ln(laLAllaLAs)=ΔfusHLARTfus, A[1-Tfus, AT]-ΔfusVSP,LAR[1-Tfus, AT-ln(TTfus, A)]{\ displaystyle \ ln \! \ left ({a _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} \ peste un _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}} \ right ) = {\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}} \ over RT _ {\ text {fus, A}}} \ left [1- {T _ {\ text {fus, A}} \ over T} \ right] - {\ Delta _ {\ text {fus}} C_ {P, {\ text {A}}} \ over R} \ left [1- {T _ {\ text { fus, A}} \ over T} - \ ln \! \ left ({T \ over T _ {\ text {fus, A}}} \ right) \ right]}
Dacă solidul și lichidul sunt soluții ideale , atunci în relațiile ( 1a ) și ( 1b ):
laLAl=XLAl{\ displaystyle a _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} = x _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}}}
laLAs=XLAs{\ displaystyle a _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}} = x _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}}
cu și a fracțiunilor molare ale corpului în fazele lichidă și solidă , respectiv. Avem astfel curba ideală:
XLAl{\ displaystyle x _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}}}XLAs{\ displaystyle x _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}
Soluții lichide și solide ideale
ln(XLAlXLAs)=ΔfusHLARTfus, A[1-Tfus, AT]-ΔfusVSP,LAR[1-Tfus, AT-ln(TTfus, A)]{\ displaystyle \ ln \! \ left ({x _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} \ peste x _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}} \ right ) = {\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}} \ over RT _ {\ text {fus, A}}} \ left [1- {T _ {\ text {fus, A}} \ over T} \ right] - {\ Delta _ {\ text {fus}} C_ {P, {\ text {A}}} \ over R} \ left [1- {T _ {\ text { fus, A}} \ over T} - \ ln \! \ left ({T \ over T _ {\ text {fus, A}}} \ right) \ right]}
Dacă solidul constă din corpul pur, atunci obținem ecuația Schröder-van Laar :
LA{\ displaystyle {\ text {A}}}XLAs=1{\ displaystyle x _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}} = 1}
Ecuația Shröder-van Laar
lnXLAl=ΔfusHLARTfus, A[1-Tfus, AT]-ΔfusVSP,LAR[1-Tfus, AT-ln(TTfus, A)]{\ displaystyle \ ln x _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} = {\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}} \ over RT _ {\ text {fus, A}}} \ left [1- {T _ {\ text {fus, A}} \ over T} \ right] - {\ Delta _ {\ text {fus}} C_ {P, {\ text {A}}} \ over R} \ left [1- {T _ {\ text {fus, A}} \ over T} - \ ln \! \ Left ({T \ over T _ {\ text {fus, A}}} \ right) \ right]}
Aplicații
Determinarea unui eutectic
Considerăm un amestec de două corpuri și în echilibru lichid-solid. Ecuația Schröder-van Laar se bazează pe ipoteza solide și non- miscibil . Prin urmare, nu poate reprezenta pe deplin lichidul amestecului binar de la substanța pură (adică și ) la substanța pură (adică și ). În cazul a două solide nemiscibile, există un punct numit eutectic în care lichidul este în echilibru cu un solid cu aceeași compoziție (vezi figura opusă). Pentru a descrie lichidul unui astfel de sistem, se aplică ecuația Schröder-van Laar:
LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}XLA=1{\ displaystyle x _ {\ text {A}} = 1}T=Tfus, A{\ displaystyle T = T _ {\ text {fus, A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}XLA=0{\ displaystyle x _ {\ text {A}} = 0}T=Tfus, B{\ displaystyle T = T _ {\ text {fus, B}}}
- către corp , între axa care reprezintă acest corp pur și eutectic, pentru a urmări ramura lichidului între domenii și :LA{\ displaystyle {\ text {A}}}L{\ displaystyle {\ text {L}}}A + L{\ displaystyle {\ text {A + L}}}
lnXLA=ΔfusHLARTfus, A[1-Tfus, AT]{\ displaystyle \ ln x _ {\ text {A}} = {\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}} \ over RT _ {\ text {fus, A}}} \ stânga [1 - {T _ {\ text {fus, A}} \ peste T} \ dreapta]}- apoi către corp , între eutectică și axa care reprezintă acest corp pur, pentru a urmări ramura lichidului între domenii și :B{\ displaystyle {\ text {B}}}L{\ displaystyle {\ text {L}}}L + B{\ displaystyle {\ text {L + B}}}
lnXB=ΔfusHBRTfus, B[1-Tfus, BT]{\ displaystyle \ ln x _ {\ text {B}} = {\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {B}} \ over RT _ {\ text {fus, B}}} \ stânga [1 - {T _ {\ text {fus, B}} \ peste T} \ dreapta]}cu:
-
T{\ displaystyle T} temperatura ;
-
Tfus, A{\ displaystyle T _ {\ text {fus, A}}}și temperaturile de topire respective ale corpului și ale corpului ;Tfus, B{\ displaystyle T _ {\ text {fus, B}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}
-
XLA{\ displaystyle x _ {\ text {A}}}și fracțiunile molare ale corpului și corpului în lichid (cu stres );XB{\ displaystyle x _ {\ text {B}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}XLA+XB=1{\ displaystyle x _ {\ text {A}} + x _ {\ text {B}} = 1}
-
ΔfusHLA{\ displaystyle \ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}}}și entalpiile de fuziune respective ale corpului și respectiv ale corpului la și .ΔfusHB{\ displaystyle \ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {B}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}Tfus, A{\ displaystyle T _ {\ text {fus, A}}}Tfus, B{\ displaystyle T _ {\ text {fus, B}}}
La eutectică există simultan prezența a trei faze: lichidul binar, corpul solid pur și corpul solid pur. Cele două ramuri ale lichidului se întâlnesc acolo. Prin urmare, putem scrie pentru echilibrele dintre lichid și fiecare dintre cele două solide:
LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}
ln(1-XB)=ΔfusHLARTfus, A[1-Tfus, ATE]{\ displaystyle \ ln \! \ left (1-x _ {\ text {B}} \ right) = {\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}} \ over RT _ { \ text {fus, A}}} \ left [1- {T _ {\ text {fus, A}} \ peste T _ {\ text {E}}} \ right]}
lnXB=ΔfusHBRTfus, B[1-Tfus, BTE]{\ displaystyle \ ln x _ {\ text {B}} = {\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {B}} \ over RT _ {\ text {fus, B}}} \ stânga [1 - {T _ {\ text {fus, B}} \ peste T _ {\ text {E}}} \ dreapta]}
cu temperatura eutecticii. Avem astfel un sistem de două ecuații cu două necunoscute: și .
TE{\ displaystyle T _ {\ text {E}}}TE{\ displaystyle T _ {\ text {E}}}XB{\ displaystyle x _ {\ text {B}}}
Exemplu
Clorura de argint AgClși
clorură de zinc ZnCb 2nu sunt miscibile în stare solidă. Proprietățile acestor două corpuri sunt date în tabelul următor.
Proprietățile AgClși ZnCl 2
Specii
|
Temperatura de topire (° C)
Tfus{\ displaystyle T _ {\ text {fus}}} |
Entalpia de fuziune (kJ / mol)
ΔfusH{\ displaystyle \ Delta _ {\ text {fus}} H} |
Masa molară (g / mol)
M{\ displaystyle M} |
---|
AgCl |
455
|
13.2
|
143,32
|
ZnCl 2 |
283
|
23.2
|
136,28
|
Obținem pentru eutectică:
- temperatura = 506,75 K = 233,6 ° C ;TE{\ displaystyle T _ {\ text {E}}}
- fracția molară a ZnCl 2 : = 0,614, sau 60,2 % din masă.XZnCl2{\ displaystyle x _ {{\ text {ZnCl}} _ {2}}}
Diagrama fazei experimentale AgCl-ZnCl 2dezvăluie un eutectic la
504 K (
231 ° C ) cu o fracție molară = 0,465 sau 45,2 % în masă.
XZnCl2{\ displaystyle x _ {{\ text {ZnCl}} _ {2}}}
Legea criometriei
Se consideră întotdeauna că corpurile și nu sunt miscibile în faza solidă și că faza lichidă este o soluție ideală. Dacă corpul este neglijabil în lichid în comparație cu corpul , fie în ceea ce privește fracția molară , atunci prin dezvoltare limitată :
LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}XB≈0{\ displaystyle x _ {\ text {B}} \ approx 0}
lnXLA=ln(1-XB)≈-XB{\ displaystyle \ ln x _ {\ text {A}} = \ ln \! \ left (1-x _ {\ text {B}} \ right) \ approx -x _ {\ text {B}}}Rescriem ecuația simplificată Schröder-van Laar:
XB=ΔfusHLARTfus, AT[Tfus, A-T]{\ displaystyle x _ {\ text {B}} = {\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}} \ over R \, T _ {\ text {fus, A}} \ , T} \ left [T _ {\ text {fus, A}} - T \ right]}
Tfus, A-T=RTfus, ATΔfusHLAXB{\ displaystyle T _ {\ text {fus, A}} - T = {R \, T _ {\ text {fus, A}} \, T \ over \ Delta _ {\ text {fus}} H _ { \ text {A}}} x _ {\ text {B}}}
Deoarece suntem foarte aproape de corpul pur:
LA{\ displaystyle {\ text {A}}}
T≈Tfus, A{\ displaystyle T \ approx T _ {\ text {fus, A}}}obținem în cele din urmă legea criometriei :
Legea criometriei:
Tfus, A-T=RTfus, A2ΔfusHLAXB{\ displaystyle T _ {\ text {fus, A}} - T = {R \, {T _ {\ text {fus, A}}} ^ {2} \ over \ Delta _ {\ text {fus}} H_ {\ text {A}}} x _ {\ text {B}}}
Deoarece numai corpul se solidifică, temperatura este temperatura sa de topire în prezența corpului . Termenul din dreapta al egalității precedente fiind pozitiv, avem : corpul determină deci temperatura de topire a corpului să scadă proporțional cu fracția sa molară în faza lichidă .
LA{\ displaystyle {\ text {A}}}T{\ displaystyle T}B{\ displaystyle {\ text {B}}}T<Tfus, A{\ displaystyle T <T _ {\ text {fus, A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}
Pe de altă parte, curba fiind lichidul diagramei binare, avem abordarea corpului pur . Panta lichidului nu este deci zero, mai mult decât atât este negativă; cu alte cuvinte, tangenta lichidului în nu este orizontală, este o linie descrescătoare. În tangenta la lichid este o linie de pantă în creștere . Cele 2 anterioare care arată o eutectică sunt defecte, deoarece cele două tangente liquidus la intersecțiile axelor și sunt orizontale acolo. Figura 1 este mai realist.
T=f(XB){\ displaystyle T = f \! \ left (x _ {\ text {B}} \ right)}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}T′=df(XB)dXB=-RTfus, A2ΔfusHLA{\ displaystyle T ^ {\ prime} = {\ mathrm {d} f \! \ left (x _ {\ text {B}} \ right) \ over \ mathrm {d} x _ {\ text {B}} } = - {R \, {T _ {\ text {fus, A}}} ^ {2} \ over \ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}}}}XB=0{\ displaystyle x _ {\ text {B}} = 0}XB=0{\ displaystyle x _ {\ text {B}} = 0}XB=1{\ displaystyle x _ {\ text {B}} = 1}T′=RTfus, B2ΔfusHB{\ displaystyle T ^ {\ prime} = {R \, {T _ {\ text {fus, B}}} ^ {2} \ over \ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {B }}}}XB=0{\ displaystyle x _ {\ text {B}} = 0}XB=1{\ displaystyle x _ {\ text {B}} = 1}
Trasarea unei diagrame de fază ideale
Considerăm un amestec de două corpuri și în echilibru lichid-solid. Cele două solide sunt complet miscibile și soluțiile lichide și solide sunt ideale . Sistemul, la presiune constantă, este descris prin cele patru ecuații:
LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}
ln(XLAlXLAs)=ΔfusHLARTfus, A[1-Tfus, AT]{\ displaystyle \ ln \! \ left ({x _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} \ peste x _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}} \ right ) = {\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}} \ over RT _ {\ text {fus, A}}} \ left [1- {T _ {\ text {fus, A}} \ peste T} \ dreapta]}
ln(XBlXBs)=ΔfusHBRTfus, B[1-Tfus, BT]{\ displaystyle \ ln \! \ left ({x _ {\ text {B}} ^ {\ text {l}} \ peste x _ {\ text {B}} ^ {\ text {s}}} \ right ) = {\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {B}} \ over RT _ {\ text {fus, B}}} \ left [1- {T _ {\ text {fus, B}} \ peste T} \ dreapta]}
XLAl+XBl=1{\ displaystyle x _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} + x _ {\ text {B}} ^ {\ text {l}} = 1}
XLAs+XBs=1{\ displaystyle x _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}} + x _ {\ text {B}} ^ {\ text {s}} = 1}
cu:
-
T{\ displaystyle T} temperatura ;
-
Tfus, A{\ displaystyle T _ {\ text {fus, A}}}și temperaturile de topire respective ale corpului și ale substanței pure;Tfus, B{\ displaystyle T _ {\ text {fus, B}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}
-
XLAl{\ displaystyle x _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}}}și fracțiunile molare ale corpului și ale corpului în soluția lichidă;XBl{\ displaystyle x _ {\ text {B}} ^ {\ text {l}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}
-
XLAs{\ displaystyle x _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}}și fracțiunile molare ale corpului și corpului în soluția solidă;XBs{\ displaystyle x _ {\ text {B}} ^ {\ text {s}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}
-
ΔfusHLA{\ displaystyle \ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}}}și respectivele entalpii de fuziune ale corpului pur și respectiv ale substanței pure la și .ΔfusHB{\ displaystyle \ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {B}}}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}B{\ displaystyle {\ text {B}}}Tfus, A{\ displaystyle T _ {\ text {fus, A}}}Tfus, B{\ displaystyle T _ {\ text {fus, B}}}
Noi intrebam:
λLA(T)=exp(ΔfusHLARTfus, A[1-Tfus, AT]){\ displaystyle \ lambda _ {\ text {A}} \! \ left (T \ right) = \ exp \! \ left ({\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {A}} \ over RT _ {\ text {fus, A}}} \ left [1- {T _ {\ text {fus, A}} \ over T} \ right] \ right)}
λB(T)=exp(ΔfusHBRTfus, B[1-Tfus, BT]){\ displaystyle \ lambda _ {\ text {B}} \! \ left (T \ right) = \ exp \! \ left ({\ Delta _ {\ text {fus}} H _ {\ text {B}} \ over RT _ {\ text {fus, B}}} \ left [1- {T _ {\ text {fus, B}} \ over T} \ right] \ right)}
Pentru o anumită temperatură avem:
T{\ displaystyle T}
XLAl=λLA1-λBλLA-λB{\ displaystyle x _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} = \ lambda _ {\ text {A}} {1- \ lambda _ {\ text {B}} \ over \ lambda _ { \ text {A}} - \ lambda _ {\ text {B}}}}
XBl=λB1-λLAλB-λLA{\ displaystyle x _ {\ text {B}} ^ {\ text {l}} = \ lambda _ {\ text {B}} {1- \ lambda _ {\ text {A}} \ over \ lambda _ { \ text {B}} - \ lambda _ {\ text {A}}}}
XLAs=1-λBλLA-λB{\ displaystyle x _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}} = {1- \ lambda _ {\ text {B}} \ over \ lambda _ {\ text {A}} - \ lambda _ {\ text {B}}}}
XBs=1-λLAλB-λLA{\ displaystyle x _ {\ text {B}} ^ {\ text {s}} = {1- \ lambda _ {\ text {A}} \ over \ lambda _ {\ text {B}} - \ lambda _ {\ text {A}}}}
Dacă se alege, în mod arbitrar, corpul ca referință, variind temperatura între și , curba este lichidul diagramei de fază, curba este solidul , vezi figura 3 .
B{\ displaystyle {\ text {B}}}T{\ displaystyle T}Tfus, A{\ displaystyle T _ {\ text {fus, A}}}Tfus, B{\ displaystyle T _ {\ text {fus, B}}}T=f(XBl){\ displaystyle T = f \! \ left (x _ {\ text {B}} ^ {\ text {l}} \ right)}T=g(XBs){\ displaystyle T = g \! \ left (x _ {\ text {B}} ^ {\ text {s}} \ right)}
Exemplu
Cupru Cuși
nichel Nisunt miscibile în orice proporție în stare solidă și amestecul lor are un comportament ideal. Proprietățile acestor două corpuri sunt date în tabelul următor.
Proprietăți cu și Ni
Specii
|
Punct de topire (K)
Tfus{\ displaystyle T _ {\ text {fus}}} |
Entalpia de fuziune (kJ / mol)
ΔfusH{\ displaystyle \ Delta _ {\ text {fus}} H} |
---|
Cu |
1.357,8
|
13.26
|
Sau |
1728.3
|
17.48
|
Valorile prezentate în tabelul următor sunt obținute pentru diferite temperaturi.
Valorile calculate ale lichidului și solidului sistemului ideal Cu-Ni
Temperatura (K)
T{\ displaystyle T} |
1.357,8
|
1.400
|
1.450
|
1.500
|
1.550
|
1.600
|
1.650
|
1.700
|
1728.3
|
---|
Fracția molară a Ni lichid XSaul{\ displaystyle x _ {\ text {Ni}} ^ {\ text {l}}}
|
0
|
0,095 2
|
0,214 9
|
0,341 5
|
0,474 8
|
0,614 5
|
0,760 5
|
0,912 6
|
1
|
---|
Fracția molară de Ni solid XSaus{\ displaystyle x _ {\ text {Ni}} ^ {\ text {s}}}
|
0
|
0,126 6
|
0,271 4
|
0,410 9
|
0,545 9
|
0,667 3
|
0,805 5
|
0.930 9
|
1
|
---|
Putem desena
Figura 4 .
Punct de topire congruent
Ipoteza idealității nu ne permite să reprezentăm cazuri de punct de topire congruent . La un punct de topire congruent, lichidul și solidul au aceeași compoziție (spre deosebire de eutectic, în cazul unui punct de topire congruent, cele două solide sunt complet miscibile):
XLAl=XLAs{\ displaystyle x _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} = x _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}}}
XBl=XBs{\ displaystyle x _ {\ text {B}} ^ {\ text {l}} = x _ {\ text {B}} ^ {\ text {s}}}
este :
λLA1-λBλLA-λB=1-λBλLA-λB{\ displaystyle \ lambda _ {\ text {A}} {1- \ lambda _ {\ text {B}} \ over \ lambda _ {\ text {A}} - \ lambda _ {\ text {B}}} = {1- \ lambda _ {\ text {B}} \ over \ lambda _ {\ text {A}} - \ lambda _ {\ text {B}}}}
λB1-λLAλB-λLA=1-λLAλB-λLA{\ displaystyle \ lambda _ {\ text {B}} {1- \ lambda _ {\ text {A}} \ over \ lambda _ {\ text {B}} - \ lambda _ {\ text {A}}} = {1- \ lambda _ {\ text {A}} \ over \ lambda _ {\ text {B}} - \ lambda _ {\ text {A}}}}
Singurele soluții sunt:
-
λLA=1{\ displaystyle \ lambda _ {\ text {A}} = 1}, sau și , corpul este pur;T=Tfus, A{\ displaystyle T = T _ {\ text {fus, A}}}XLAl=XLAs=1{\ displaystyle x _ {\ text {A}} ^ {\ text {l}} = x _ {\ text {A}} ^ {\ text {s}} = 1}LA{\ displaystyle {\ text {A}}}
-
λB=1{\ displaystyle \ lambda _ {\ text {B}} = 1}, sau și , corpul este pur.T=Tfus, B{\ displaystyle T = T _ {\ text {fus, B}}}XBl=XBs=1{\ displaystyle x _ {\ text {B}} ^ {\ text {l}} = x _ {\ text {B}} ^ {\ text {s}} = 1}B{\ displaystyle {\ text {B}}}
Un punct de topire congruent este o dovadă a non-idealității soluțiilor lichide și solide. Aliaj aur-cupru are un punct de topire congruentă și , prin urmare , nu este ideal; diagrama sa de fază (a se vedea figura 5 ), prin urmare, nu poate fi trasată folosind ecuația Schröder-van Laar. Pentru a reprezenta acest tip de comportament, este necesar să se utilizeze forma generală a ecuației care cuprinde activități chimice .
Note și referințe
Note
-
M. Malinovský Chem. zvesti, 30 (6), 721-729 (1976) .
-
(în) Michel Soustelle, Transformări de fază , vol. 5, John Wiley & Sons , col. "Seria de inginerie chimică - Set de termodinamică chimică",iunie 2016, 230 p. ( ISBN 978-1-84821-868-0 , citit online ) , p. 102.
-
H. Le Chatelier, CR Acad. Sc. , 1885, 100, p. 441 ..
-
H. Le Chatelier, CR Acad. Sc. , 1894, 118, p. 638 ..
-
I. Schröder, Z. Phys. Chem. , 1893, 11, p. 449.
-
JJ van Laar, Arh. Néerl. 1903, II, 8, p . 264 .
-
JJ van Laar, Z. Phys. Chem. , 1908, 63, p. 216.
-
Rousseau 1987 , p. 45-47.
-
Mesplède p. 182 .
-
(în) Alina Wojakowska , Agata Górniak , A. Wojakowski și Stanisława Plińska , „ Studii ale echilibrelor de fază în sistemele ZnCl 2-AgClși ZnBr 2-AgBr ” , Journal of Thermal Analysis and Calorimetry , vol. 77, n o 1,2004, p. 41–47 ( ISSN 1388-6150 , DOI 10.1023 / B: JTAN.0000033186.52150.8d , citit online , accesat la 26 februarie 2020 ).
-
Mesplède p. 193 - p. 202 .
linkuri externe
Bibliografie
-
(ro) Wolfgang Beckmann, Cristalizarea: concepte de bază și aplicații industriale , John Wiley & Sons ,ianuarie 2013, 360 p. ( ISBN 978-3-527-65034-7 , citit online ) , p. 56.
-
(ro) Iam-Choon Khoo și Shin-Tson Wu, Optica și optica neliniară a cristalelor lichide , World Scientific ,1993, 425 p. ( ISBN 978-981-02-0934-6 , citit online ) , p. 12.
-
(ro) Ronald W. Rousseau, Handbook of Separation Process Technology , John Wiley & Sons ,1987, 1024 p. ( ISBN 978-0-471-89558-9 , citit online ) , p. 45-48.
-
Bruno Fosset, Jean-Bernard Baudin, Frédéric Lahitète și Valéry Prévost, Chimie all-in-one PC-PC *: Cursul de referință , Dunod , col. „Curs all-in-one, competiție școli de inginerie”,Iulie 2012, 1104 p. ( ISBN 978-2-10-058445-1 , citit online ) , p. 304.
-
J. Mesplède, Chimie: Termodinamică Materiale pentru PC: Curs, metodă, exerciții rezolvate , Éditions Bréal , col. „Noile detalii Bréal”,2004( ISBN 978-2-7495-2064-3 , citit online ) , p. 173.
Articole similare