Ecuația lui Schröder

Ecuația Schröder este o ecuație funcțională cu o singură variabilă, poartă numele matematicianului Ernst Schröder .

Fie o funcție h și o constantă s astfel încât s ≠ 0 și s ≠ 1, găsiți funcția f astfel încât:

f(h(X))=sf(X){\ displaystyle f (h (x)) = sf (x)}

{\ displaystyle f (h (x)) = sf (x)}

Ecuația Schröder este ecuația valorii proprii a operatorului de compoziție C h care asociază o funcție f cu funcția compusă f • h. Acesta joacă un rol fundamental în domeniul ecuațiilor funcționale: este o ecuație liniară simplă și soluțiile sale sunt adesea utilizate în construcția de soluții la ecuații mai complicate. Poate fi folosit pentru a calcula rădăcini pătrate funcționale .

Soluții

Aplicații

Linearizarea ecuațiilor funcționale

Fie o ecuație funcțională liniară a formei:

f(g(X))=h(X)f(X)+F(X){\ displaystyle f (g (x)) = h (x) f (x) + F (x)}

{\ displaystyle f (g (x)) = h (x) f (x) + F (x)}

unde f : I → I este necunoscut, g , h , F sunt cunoscute și g ( I ) sunt incluse în I .

Dacă funcția σ este soluția ecuației Schröder pentru funcția g și constanta s , atunci schimbarea variabilei:

{y=σ(X)f¯(y)=f(X){\ displaystyle {\ begin {cases} y = \ sigma (x) \\ {\ bar {f}} (y) = f (x) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = \ sigma (x) \\ {\ bar {f}} (y) = f (x) \ end {cases}}}

conduce la următoarea ecuație, care este mai ușor de rezolvat:

f¯(sy)=h¯(y)f¯(y)+F¯(y){\ displaystyle {\ bar {f}} (sy) = {\ bar {h}} (y) {\ bar {f}} (y) + {\ bar {F}} (y)} ${\ displaystyle {\ bar {f}} (sy) = {\ bar {h}} (y) {\ bar {f}} (y) + {\ bar {F}} (y)}$ Cu . ${\ displaystyle {\ bar {h}} (y) = h (\ sigma ^ {- 1} (y)), \; {\ bar {F}} (y) = F (\ sigma ^ {- 1} (y))}$

Relația cu alte ecuații funcționale

Ecuația Schröder aparține familiei de ecuații de conjugare ( „ecuații conjugate” ) de forma:

f(h(X))=H(f(X)){\ displaystyle f (h (x)) = H (f (x))}

{\ displaystyle f (h (x)) = H (f (x))}

la fel ca și ecuațiile lui Abel și Böttcher .

Vezi și tu

Referințe

(de) Schröder, Ernst, „ Ueber iterirte Functionen ” , Math. Ann , n o 3 (2)1870, p. 296–322 (doi: 10.1007 / BF01443992)
(en) Efthimiou, Costas, Introducere în ecuații funcționale. ,2010( citiți online ) , pagina 247