Ecuația lui Böttcher
Ecuația Bottcher , numit după Lucjan Bottcher (1872-1937), este ecuația funcțională
F(h(z))=(F(z))nu ,{\ displaystyle F (h (z)) = (F (z)) ^ {n} ~,}sau
- h este o funcție analitică dată cu un punct fix super-atrăgător de ordine n a, adică într-un vecinătate a, cu n ≥ 2h(z)=la+vs.(z-la)nu+O((z-la)nu+1) ,{\ displaystyle h (z) = a + c (za) ^ {n} + O ((za) ^ {n + 1}) ~,}
-
F este funcția necunoscută.
Logaritmul acestei ecuații funcționale echivalează cu ecuația Schroder .
Soluţie
Lucian Emil Böttcher schițează o dovadă în 1904 cu privire la existența unei soluții analitice F într-un vecinătate a punctului fix a , astfel încât F ( a ) = 0. Această soluție este uneori numită coordonata Böttcher . (Demonstrația completă a fost publicată de Joseph Ritt în 1920, care a ignorat formularea originală.)
Coordonata Böttcher (logaritmul funcției Schröder ) conjugă h (z) h (z) într-o vecinătate a punctului fix cu funcția z n . Un caz deosebit de important este atunci când h (z) este un polinom de grad n și a = ∞.
Aplicații
Ecuația Bottcher joacă un rol fundamental în domeniul dinamicii olomorfe care studiaza iterație de polinoame ale unei variabile complexe .
Proprietățile globale ale coordonatei Böttcher au fost studiate de Fatou , Douady și Hubbard .
Vezi și tu
Referințe
-
LE Böttcher , „ Principalele legi ale convergenței iterațiilor și aplicarea lor la analiză (în limba rusă) ”, Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch. , vol. 14,1904, p. 155–234
-
Joseph Ritt , „ Despre iterația funcțiilor raționale ”, Trans. Amar. Matematica. Soc , vol. 21, n o 3,1920, p. 348–356 ( DOI 10.1090 / S0002-9947-1920-1501149-6 )
-
Stawiska, Małgorzata (15 noiembrie 2013).
-
CC Cowen , „ Soluții analitice ale ecuației funcționale a lui Böttcher în discul unitar ”, Aequationes Mathematicae , vol. 24,1982, p. 187–194 ( DOI 10.1007 / BF02193043 )
-
P. Fatou , „ Despre ecuații funcționale, I ”, Buletinul Societății Matematice din Franța , vol. 47,1919, p. 161–271 ( citește online )
-
A. Douady și J. Hubbard , „ Studiu dinamic al polinoamelor complexe (prima parte) ”, Publ. Matematica. Orsay ,1984( citește online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">