Ecuația Pauli

Ecuația Pauli este o ecuație non-relativistă a mecanicii cuantice , care corespunde cu cea a lui Schrödinger pentru particule de spin 1/2 într - un câmp electromagnetic .

În 1927, Wolfgang Pauli a postulat această ecuație drept ecuația electronului , apoi, în 1928, a fost demonstrată de Paul Dirac ca o aproximare nerelativistă a ecuației sale . În 1969, Jean-Marc Lévy-Leblond a demonstrat-o din nou prin liniarizarea ecuației lui Schrödinger .

Formulare

Notând:

${\ displaystyle \ Psi (t, {\ vec {r}}) = {\ binom {\ Psi _ {+}} {\ Psi _ {-}}}}$ funcția de stat a particulei, în cazul în care este amplitudinea probabilitatea de a observa spin , ${\ displaystyle \ Psi _ {\ pm}}$ ${\ displaystyle \ pm 1/2}$
${\ displaystyle \ q}$ sarcina particulei, masa acesteia, $\ m$
${\ displaystyle \ mathbb {A} = \ left (U ({\ vec {r}}, t), {\ vec {A}} ({\ vec {r}}, t) \ right)}$ cvadrilete-potențialul câmpului electromagnetic ambiant, câmpul magnetic , ${\ displaystyle {\ vec {B}} = \ nabla \ times {\ vec {A}}}$
${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} = \ left (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3} \ right)}$ vectorul matricilor Pauli .

Ecuația Pauli este:

{\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ Psi ({\ vec {r}}, t) \ over \ partial t} = \ left ({1 \ over 2m} \ left ({\ vec {P}} + q {\ vec {A}} ({\ vec {r}}, t) \ right) ^ {2} + qU ({\ vec {r}}, t) - {q \ hbar \ over 2m} {\ vec {\ sigma}}. {\ vec {B}} ({\ vec {r}}, t) \ right) \ Psi ({\ vec {r}}, t)}

Din expresia anterioară putem deduce hamiltonianul lui Pauli:

{\ displaystyle H = {1 \ peste 2m} \ left ({\ vec {\ sigma}}. [{\ vec {P}} - q {\ vec {A}} ({\ vec {r}}, t )] \ right) ^ {2} + qU ({\ vec {r}}, t)}

Demonstrație

Sa nu uiti asta: ${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}}. {\ vec {B}} = {\ vec {\ sigma}}. ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}) = \ sigma _ {x} [{\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}] _ {x} + \ sigma _ {y} [{\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec { A}}] _ {y} + \ sigma _ {z} [{\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}] _ {z}}$

Cu matricile Pauli:

{\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ quad \ sigma _ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \ \ i & 0 \ end {pmatrix}} \ quad \ sigma _ {z} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}

Rotația are ca expresie:

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}} = {\ begin {pmatrix} \ nabla _ {y} A_ {z} - \ nabla _ {z} A_ {y} \\ \ nabla _ {z} A_ {x} - \ nabla _ {x} A_ {z} \\\ nabla _ {x} A_ {y} - \ nabla _ {y} A_ {x} \ end {pmatrix}} }

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {\ sigma}}. {\ vec {B}} = {\ begin {pmatrix} ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}) _ {z } & ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}) _ {x} -i ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}) _ {y} \\ ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}) _ {x} + i ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}) _ {y} & - ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}) _ {z} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} \ nabla _ {x} A_ {y} - \ nabla _ {y} A_ {x} & \ nabla _ {y} A_ {z} - \ nabla _ {z} A_ {y} -i (\ nabla _ {z} A_ {x} - \ nabla _ {x} A_ {z}) \\\ nabla _ {y} A_ {z} - \ nabla _ {z} A_ {y } + i (\ nabla _ {z} A_ {x} - \ nabla _ {x} A_ {z}) & - \ nabla _ {x} A_ {y} + \ nabla _ {y} A_ {x} \ sfârșit {pmatrix}}}

Prin aplicarea acestui operator la spinor obținem: ${\ displaystyle [\ psi] ({\ vec {r}}) = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {+} ({\ vec {r}}) \\\ psi _ {-} ({\ vec {r}}) \ end {pmatrix}}}$

♦ Pentru termen

{\ displaystyle [{\ vec {\ sigma}}. {\ vec {B}}] _ {11}:}

{\ displaystyle (\ nabla _ {x} A_ {y} - \ nabla _ {y} A_ {x}) \ psi _ {+} = \ nabla _ {x} A_ {y} \ psi _ {+} - \ nabla _ {y} A_ {x} \ psi _ {+}}

{\ displaystyle = \ nabla _ {x} (A_ {y} \ psi _ {+}) - A_ {y} \ nabla _ {x} \ psi _ {+} - \ nabla _ {y} (A_ {x } \ psi _ {+}) + A_ {x} \ nabla _ {y} \ psi _ {+}}

{\ displaystyle = [\ nabla _ {x} A_ {y} - \ nabla _ {y} A_ {x} + A_ {x} \ nabla _ {y} -A_ {y} \ nabla _ {x}] \ psi _ {+} = [[{\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}] _ {z} + [{\ vec {A}} \ times {\ vec {\ nabla}}] _ {z}] \ psi _ {+}}

♦ Pentru termen

{\ displaystyle [{\ vec {\ sigma}}. {\ vec {B}}] _ {12}:}

${\ displaystyle \ nabla _ {y} A_ {z} \ psi _ {-} - \ nabla _ {z} A_ {y} \ psi _ {-} - i (\ nabla _ {z} A_ {x} \ psi _ {-} - \ nabla _ {x} A_ {z} \ psi _ {-}) =: \ nabla _ {y} (A_ {z} \ psi _ {-}) - A_ {z} \ nabla _ {y} \ psi _ {-} - \ nabla _ {z} (A_ {y} \ psi _ {-})}$

{\ displaystyle + A_ {y} \ nabla _ {z} \ psi _ {-} - i (\ nabla _ {z} (A_ {x} \ psi _ {-}) - A_ {x} \ nabla _ { z} \ psi _ {-} \ nabla _ {x} (A_ {z} \ psi _ {-}) + A_ {z} \ nabla _ {x} \ psi _ {-})}

{\ displaystyle = [({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}) _ {x} + ({\ vec {A}} \ times {\ vec {\ nabla}}) _ { x}] \ psi _ {-} - i [({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}) _ {y} + ({\ vec {A}} \ times {\ vec { \ nabla}}) _ {y}] \ psi _ {-}}

Ceea ce ne permite să concluzionăm:

{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}}. {\ vec {B}} = {\ vec {\ sigma}} ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}) + {\ vec {\ sigma}} ({\ vec {A}} \ times {\ vec {\ nabla}})}

Ne vom aminti: ${\ displaystyle {\ vec {P}} = {\ frac {\ hbar} {i}} {\ vec {\ nabla}} \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}}. {\ vec {B}} = {\ frac {i} {q \ hbar}}. {\ vec {\ sigma}} [({\ vec {P}} \ times q {\ vec {A}}) + (q {\ vec {A}} \ times {\ vec {P}})] = - {\ frac {i} {q \ hbar}}. {\ vec {\ sigma}} [({\ vec {P}} - q {\ vec {A}}) \ times ({\ vec {P}} - q {\ vec {A}})]}$