În geometria plană , un oval Descartes este setul de puncte M care îndeplinește o ecuație de forma b F 1 M + a F 2 M = c F 1 F 2 , unde a , b și c sunt trei numere nereale nule și F 1 , F 2 două puncte date numite focare.
Pentru fiecare oval nedegenerat, al focarelor F 1 și F 2 , există un al treilea focal F 3 și parametri noi care fac din curbă un oval al focarelor F 1 , F 3 . Acesta este motivul pentru care vorbim despre cele trei focare ale unui oval.
Setul de puncte M astfel încât | b F 1 M ± a F 2 M | = | c F 1 F 2 | se numește oval complet și combină două curbe de tipul anterior. Un oval complet este un caz special al unei curbe quartice .
Numele „Descartes oval” se referă la matematicianul René Descartes care a fost primul care le-a studiat în probleme de refracție .
René Descartes face aluzie la aceste curbe în Dioptria sa, dar le studiază mai profund în Geometria sa . El nu le prezintă direct prin ecuația lor bifocală, ci cu ajutorul unei construcții. Motivația sa este practică: este să caute curbe de stigmatism perfect. Adică curbele care separă două medii cu indici diferiți astfel încât toate razele care provin dintr-un anumit punct al primului mediu converg prin refracție pe un anumit punct al celui de-al doilea mediu.
Ovalele interioare au această particularitate: dacă ovalul ecuației b F 1 M + a F 2 M = c F 1 F 2 unde 0 < a < c < b separă un mediu interior de index b de un mediu exterior d Indicele a atunci razele provenite de la F 2 și întâlnirea ovalului se vor refracta în F 1 .
Descartes mobilizează, în acest studiu, noile sale cunoștințe despre legea refracției, precum și tehnicile sale de atragere a tangențelor la curbe. El încheie cu prezentarea de ochelari care să permită combinarea a două ovale pentru a asigura stigmatismul absolut.
El propune, de asemenea, un mijloc mecanic de a construi astfel de ovali pentru coeficienții b și un număr întreg natural atunci când c = ( a + b ) / 2, cu o metodă similară metodei grădinarului.
Curba este studiată și de Isaac Newton , Adolphe Quételet, care studiază cele două ramuri ale curbei și dă ecuația polară, de Michel Chasles . Arthur Cayley , Hieronymus Georg Zeuthen și Hammond dezvoltă metode de construcție mecanică.
Considerăm curba ecuației bipolare b F 1 M + a F 2 M = c F 1 F 2 . Putem, fără pierderea generalității, să presupunem a + b > 0. Dacă c <min ( a , b ), curba este goală.
Când 0 < a = b < c setul de puncte M este o elipsă, al treilea focal este trimis la infinit. În general este considerat a fi un oval degenerat.
Când a + b = 0, setul de puncte M este o jumătate de hiperbolă. Al treilea focus este trimis la infinit. Este, de asemenea, un caz degenerat.
Când a = ± c , al treilea focar este confundat cu F 1 și ovalul complet este un melc Pascal .
Ecuația | b MF 1 ± a MF 2 | = | c F 1 F 2 | poate fi scris în continuare în următoarea formă quartică:
În cazul unui oval nedegenerat, luând pentru originea O baricentrul lui F 1 și F 2 atribuit coeficienții b ² și - a ² și pentru vectorul astfel încât F 1 are pentru abscisă α = a ². Atunci F 2 are abscisa β = b ². Prin setarea γ = c ², ecuația ovalului devine: unde σ 1 , σ 2 și σ 3 sunt funcțiile simetrice ale realilor α , β și γ :
Natura simetrică a rolurilor jucate de realii α , β și γ face posibilă afirmarea că aceeași ecuație carteziană va fi obținută pentru ovalul cu focarele F 1 și F 3 ( γ , 0) și cu ecuația | c MF 1 ± a MF 3 | = | b F 1 F 3 | precum și pentru ovalul focarelor F 2 și F 3 și ecuația | c MF 2 ± b MF 3 | = | a F 1 F 3 |.
De asemenea, putem decide să luăm ca origine punctul de mijloc al segmentului [F 1 F 2 ] sau unul dintre focare pentru a obține ecuații alternative.
În sistemul de coordonate cu centrul F 1 și a cărui axă principală este orientată spre F 2 , dacă notăm cu d = F 1 F 2 , ovalul complet al ecuației | b MF 1 ± a MF 2 | = | c F 1 F 2 | are ecuația polară:
Deoarece produsul celor două rădăcini ale acestei ecuații este independent de θ , ovalul complet este invariant prin inversarea centrului F 1 și a raportului .
Considerăm ovalul ecuației | b F 1 M ± a F 2 M | = | c F 1 F 2 |.
Dacă ovalul nu este degenerat, al treilea focar este baricentrul punctelor F 1 și F 2 afectate de coeficienții b ² - c ² și c ² - a ²
Cele 4 vârfuri ale ovalului complet sunt baricentrele punctelor F 1 și F 2 atribuite coeficienților ( b - c , a + c ), ( b - c , - a + c ), ( b + c , a - c ), ( b + c , - a - c ).
Normalul la ovalul ecuației b F 1 M + a F 2 M = c F 1 F 2 în punctul M are pentru vectorul de direcție:
Astfel, dacă numim θ 1 unghiul pe care F 1 M îl face cu normalul și θ 2 unghiul pe care F 2 M îl face cu normalul, avem egalitate: .
Pentru 0 < b < a , găsim aici legea Snell-Descartes . Dacă ovalul separă două puncte medii, unul cu indexul b conținând F 1 și celălalt cu indexul a conținând F 2 și dacă M este primul punct de întâlnire a semidreptei [F 1 M) cu l 'oval, atunci raza F 1 M) se refractează în MF 2
Michel Chasles propune construcția unui oval complet folosind două cercuri cu centrele F 1 și F 2 și un punct C situat în dreapta (F 1 F 2 ). O linie este rotită în jurul lui C astfel încât să întâlnească primul cerc în două puncte M 1 și N 1 și al doilea cerc în M 2 și N 2 . Punctele de întâlnire ale liniilor (F 1 M 1 ) și (F 1 N 1 ) cu liniile (F 2 M 2 ) și (F 2 N 2 ) apoi desenează un oval complet când linia pivotează în jurul lui C.
Un oval Descartes este proiecția verticală într-un plan orizontal al intersecției a două conuri de revoluție cu axe verticale diferite. Focarele sunt apoi proiecțiile vârfurilor celor două conuri. Această interpretare face posibilă găsirea într-un mod relativ simplu a anumitor proprietăți geometrice ale ovalelor.
Dacă ovalul complet are ecuația | b MF 1 ± a MF 2 | = | c F 1 F 2 | și dacă punctele O și P sunt definite ca barycenters din F 1 și F 2 atribuit coeficienții b ² și - un ² pentru O, și a și b pentru P, atunci oval este caustic secundar prin refracție raportul n = | a / c | a cercului (Γ) cu centrul O, care trece prin P, în raport cu focarul F 1 . Prin urmare, este învelișul cercurilor (Γ M ) cu centrele M situate pe (Γ) și razele F 1 M / n .
Fiecare cerc (Γ M ) este tangent la oval în două puncte T M și T ' M întotdeauna aliniate cu al treilea focar al ovalului.