Calculul (sau calcul ) este o ramură a matematicii dezvoltate din algebra și geometria , care implică două idei majore complementare:
Aceste două concepte definesc operații inverse în sensul precis definit de teoremele fundamentale ale calculului . Aceasta înseamnă că au prioritate egală. Cu toate acestea, abordarea educațională obișnuită începe cu calcul diferențial.
Dezvoltarea calculului este atribuită lui Arhimede , Fermat , Leibniz și Newton . Cu toate acestea, atunci când calculul infinitesimal a fost inițial dezvoltat, a apărut o controversă cu privire la cine era responsabil pentru acesta între Leibniz și Newton, ascunzând contribuția lui Fermat din partea publicului larg. Algoritmul trecerii la limita pentru a calcula tangenta la o curbă este într - adevăr o invenție a Fermat (maxime și minime metoda) în 1636 și a fost publică din 1667, deoarece raportate de Huygens la Academia de Științe . Evoluțiile ulterioare, ale lui Leibniz și Newton (care erau în legătură cu Huygens), se referă la notații. Contribuția majoră a lui Leibniz a fost, fără îndoială , sistemul său de scor .
Controversa a fost totuși nefericită, deoarece a împărțit mulți ani matematicienii vorbitori de limba engleză și cei din restul Europei . Acest lucru a întârziat mult timp progresul analizei (matematica bazată pe calcul) în Marea Britanie . Terminologia și notațiile lui Newton erau în mod clar mai puțin flexibile decât cele ale lui Leibniz. Ei au fost încă păstrate până la începutul secolului al XIX - lea secol , când activitatea Societății Analitică a introdus notația Leibniz cu succes în Marea Britanie.
Barrow , Descartes , Huygens și Wallis au contribuit, de asemenea, într-o măsură mai mică la dezvoltarea calculului.
Kowa Seki , un matematician japonez contemporan din Leibniz și Newton, a afirmat, de asemenea, câteva principii fundamentale ale calculului integral. Cu toate acestea, întreruperea contactelor cu Orientul Îndepărtat în acest moment nu a permis diseminarea operei sale în Europa.
Justificarea principală pentru dezvoltarea calculului diferențial a fost găsirea unei soluții la „problema tangentă”.
Bazele conceptuale ale calculului infinitesimal includ noțiunile de funcții , limite , secvențe infinite , serie infinită și continuitate . Aceste instrumente includ tehnici de manipulare simbolică asociate cu algebra elementară și inducția matematică .
Versiunea modernă a calculului, numită „ analiză reală ” , constă dintr-o derivare riguroasă a rezultatelor calculului, precum și generalizări precum teoria măsurătorilor și analiza funcțională .
Teorema fundamentală a analizei arată că diferențierea și integrarea sunt, într-un anumit sens, operații inverse. Această „descoperire” de Newton și Leibniz este la originea exploziei rezultatelor analitice. Această legătură ne permite să găsim variația totală a unei funcții pe un interval de la variația sa instantanee, prin integrarea acesteia din urmă. Teorema fundamentală ne oferă, de asemenea, o metodă pentru a calcula multe integrale definite algebric, fără a merge efectiv la limită, prin găsirea antiderivativului . De asemenea, ne permite să rezolvăm câteva ecuații diferențiale. O ecuație diferențială este o ecuație care leagă o funcție de derivatele sale. Ecuațiile diferențiale sunt fundamentale în știință.
Calculul diferențial constă în găsirea ratelor de variație instantanee (sau derivate ) a valorii unei funcții în raport cu variațiile parametrilor ei. Acest concept se află în centrul multor probleme de fizică . De exemplu, teoria de bază a circuitelor electrice este formulată în termeni de ecuații diferențiale pentru a descrie sistemele oscilante.
Derivata unei funcții face posibilă găsirea extremelor sale ( minime și maxime ) prin studierea variațiilor sale. O altă aplicație a calculului diferențial este metoda lui Newton , un algoritm care face posibilă găsirea zerourilor unei funcții prin abordarea ei locală prin tangențele sale . Aceasta este doar o scurtă prezentare generală a numeroaselor aplicații ale calculului în probleme care, la prima vedere, nu sunt formulate în acești termeni.
Unii atribuie paternitatea calculului diferențial lui Fermat .
Calculul integral studiază metodele de găsire a integralei unei funcții. Poate fi definită ca limita sumei de termeni care fiecare corespunde suprafeței unei benzi subțiri subtendute de graficul funcției. Astfel definită, integrarea oferă un mijloc eficient de a calcula aria sub o curbă, precum și aria și volumul solidelor, cum ar fi o sferă sau un con .
Pentru a concretiza aceste noțiuni, considerăm în plan ( xOy ) un dreptunghi de laturi x și y din care două puncte opuse sunt O și M ( x , y ) . Suprafața sa este egală cu xy și depinde de coordonatele x și y ale punctului M . Urmând o abordare intuitivă, ar trebui să denotăm prin dx o variație foarte mică a variabilei x . Când punctul M este supus unei deplasări foarte mici, suprafața se va schimba și putem scrie că S + dS = ( x + dx ) × ( y + dy ) = xy + x dy + y dx + dx dy , iar noi poate deduce cu ușurință că dS = x dy + y dx + dx dy .
O aplicație numerică simplă în care x și y sunt metri și dx și dy sunt centimetri ilustrează faptul că dx dy este neglijabil în comparație cu alte cantități.
Putem da o stare matematică precisă notațiilor dx și dy (care sunt forme diferențiale ) și cantității dx dy care este apoi de ordinul doi . Calculul precedent este de fapt un calcul de dezvoltare limitat la ordinea 1, care implică primele derivate ale funcției xy față de cele două variabile.
Prin urmare, scriem:
Toate aceste egalități sunt moduri diferite de a scrie un produs dot din doi vectori:
sauInteresul introducerii acestor vectori pentru a exprima variația unei funcții a mai multor parametri este de a vizualiza faptul că funcția va varia cel mai mult în direcția vectorului de gradient și că nu va varia pentru niciun parametru de modificare într-o direcție. perpendicular pe gradient.
căci în exemplul nostru de dreptunghi.Dezvoltarea și utilizarea calculului infinitesimal au avut consecințe importante în practic toate domeniile. Este baza multor științe, în special fizică . Aproape toate tehnicile și tehnologiile moderne utilizează fundamental calculul.
Acest lucru sa răspândit cu ecuații diferențiale , calcul vectorial , calcul de variații , analize complexe sau geometrie diferențială .