Z-matrice

În matematică , o -matrice este o matrice pătrată reală ale cărei elemente extra-diagonale sunt negative. Aceste matrice aduc proprietăți particulare problemelor complementarității liniare . Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}

Opusul unei -matrici este o matrice Metzler (și invers). Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}

Definiții

Un pătrat reală matrice este un -matrix dacă toate sale -suplimentare cu diagonala elemente sunt negative: M∈Rnu×nu{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}

∀(eu,j)∈{1,...,nu}2 cu eu≠j avem Meuj⩽0.{\ displaystyle \ forall \, (i, j) \ in \ {1, \ ldots, n \} ^ {2} ~ {\ mbox {cu}} ~ i \ neq j ~ {\ mbox {pe a}} ~ M_ {ij} \ leqslant 0.}

Elementele diagonalei pot fi de semn arbitrar. M{\ displaystyle M}

Notăm setul de -matrici de orice ordine. Numim -matricitate proprietatea unei matrice de a aparțineZ{\ displaystyle \ mathbf {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}Z.{\ displaystyle \ mathbf {Z}.}

Proprietate

Complementaritatea liniară

Cele -matrices aduc proprietăți particulare la problemele complementarității liniare . Să ne amintim definiția acestor probleme. Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}

Pentru un vector , notația înseamnă că toate componentele vectorului sunt pozitive. Având în vedere o matrice pătrată reală și un vector , o problemă de complementaritate liniară constă în găsirea unui vector astfel încât , și , care este scris în formă scurtă după cum urmează: v∈Rnu{\ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {n}}v⩾0{\ displaystyle v \ geqslant 0}veu{\ displaystyle v_ {i}}M∈Rnu×nu{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}q∈Rnu{\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}X∈Rnu{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}X⩾0{\ displaystyle x \ geqslant 0}MX+q⩾0{\ displaystyle Mx + q \ geqslant 0}X⊤(MX+q)=0{\ displaystyle x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0}

CL(M,q):0⩽X⊥(MX+q)⩾0.{\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.}

Se notează setul admisibil al acestei probleme

Adm(M,q): ={X∈Rnu:X⩾0, MX+q⩾0}.{\ displaystyle {\ mbox {Adm}} (M, q): = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: x \ geqslant 0, ~ Mx + q \ geqslant 0 \}.}

Z{\ displaystyle \ mathbf {Z}}-problema de complementaritate matricială și liniară  -  Pentru o matrice , următoarele proprietăți sunt echivalente: M∈Rnu×nu{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}

1. M∈Z{\ displaystyle M \ in \ mathbf {Z}},
2. pentru tot ceea ce face posibil, conține un minim (pentru ordinul a ) , care este o soluție de .q{\ displaystyle q}CL⁡(M,q){\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q)}Adm⁡(M,q){\ displaystyle \ operatorname {Adm} ​​(M, q)}⩽{\ displaystyle \ leqslant}Rnu{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}CL⁡(M,q){\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q)}

Din acest rezultat deducem că

Z⊂Î0.{\ displaystyle \ mathbf {Z} \ subset \ mathbf {Q} _ {0}.}

unde este setul de matrice astfel încât a are o soluție pentru tot ceea ce face admisibilă problema complementarității. Î0{\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {0}}M{\ displaystyle M}CL⁡(M,q){\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q)}q∈Rnu{\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

Aplicații

Chimie

În chimie , o matrice Z este o reprezentare a atomilor dintr-o moleculă (sau orice sistem de atomi). În loc să reprezinte coordonatele carteziene ale atomului , matricea Z se află în coordonatele interne , care specifică pozițiile atomilor în ceea ce privește lungimile legăturii , unghiurile de legătură și unghiurile diedrice . Prin convenție, la convertirea în coordonate carteziene, primul atom se află la origine și al doilea se află pe axa z (de unde și denumirea de „matrice Z”). Utilizarea matricilor Z este foarte comună în chimia de calcul și modelarea moleculară , deoarece o reprezentare în coordonate interne reduce timpul de calcul.

De exemplu, metanul , în coordonatele carteziene și unitățile ångströms , ar fi fost reprezentat ca:

C 0.000000 0.000000 0.000000 H 0.628736 0.628736 0.628736 H -0.628736 -0.628736 0.628736 H -0.628736 0.628736 -0.628736 H 0.628736 -0.628736 -0.628736

Matricea Z ar fi

C H 1 1.089000 H 1 1.089000 2 109.4710 H 1 1.089000 2 109.4710 3 120.0000 H 1 1.089000 2 109.4710 3 -120.0000

Ar trebui folosite valori mult mai puține; de fapt, numai lungimea legăturii dintre carbon și hidrogen nu este specificată de simetria moleculei.

Anexe

Articole similare

• Complementaritatea liniară
• Matrice Metzler  (în)
• Z-matrice (chimie)

Bibliografie

• (ro) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Problema complementarității liniare . Clasici în matematică aplicată 60. SIAM, Philadelphia, PA, SUA.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">