Volumul unei mingi

Volumul unei minge de rază $R$ este:

{\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}}}

π R 3

Istorie

Euclid , în propunerea 18 a cărții XII a Elementelor sale , în jurul anului 300 î.Hr. JC., Afirmă că volumul unei bile este proporțional cu cubul diametrului acesteia . El demonstrează acest rezultat prin metoda epuizării , încadrând mingea cu poliedre .

Arhimede , în Despre sferă și cilindru (c. 220 î.Hr.) compară volumele unei bile, a unui cilindru și a unui con. El cunoaște volumul cilindrului și al conului și demonstrează că, dacă o bilă este înscrisă într-un cilindru, atunci volumul acestei mingi este egal cu două treimi din cel al cilindrului circumscris (și să dubleze volumul conului având aceeași bază și aceeași înălțime ca cilindrul). El demonstrează că raportul dintre zonele sferei și cilindrul este același cu volumul părților spațiului pe care le delimitează; ceea ce afirmă după cum urmează:

„Un cilindru care are o bază egală cu un cerc mare al unei sfere și o înălțime egală cu diametrul acestei sfere, este egal cu de trei ori jumătate din această sferă, iar aria acestui cilindru este, de asemenea, egală cu trei ori de jumătate din suprafața aceleiași sfere. "

Această descoperire îl va face un matematician deosebit de important în istorie. Este atât de mândru de el încât dă instrucțiuni pentru ca mormântul său să fie gravat cu o sferă înscrisă într-un cilindru.

Demonstrații

Prin metoda epuizării

Principiul metodei epuizării (atribuit lui Eudoxus din Cnidus ) este un dublu raționament de către absurd , presupunând mai întâi că volumul este mai mare decât $4 / 3$ $π R 3$ , apoi că este mai mic și pentru a obține o contradicție în fiecare caz. Deși această demonstrație este riguroasă, presupune să știm deja rezultatul care urmează să fie stabilit; înainte de descoperirea palimpsestului lui Arhimede , nu se știa cum reușise să obțină cele din tratatul Despre sferă și cilindru .

Prin calcul integral

Metoda lui Arhimede (redescoperită în palimpsestul care îi poartă numele ) constă în tăierea mingii în discuri subțiri, deci cilindri, al căror volum se adaugă (asimilat produsului suprafeței lor prin grosimea lor). În limbajul modern, aceasta echivalează cu calcularea limitei unei sume Riemann și, prin urmare, cu calcularea unei integrale definite . Dacă luăm în considerare variabila h care merge de la - R la R , cilindrul corespunzător înălțimii h și de grosime infinitesimală d h are pentru raza r h satisfăcătoare, conform teoremei pitagoreice r h 2 + h 2 = R 2 ; deoarece volumul acestui cilindru este $π$ r h 2 d h , obținem ca volum al mingii

{\ displaystyle V = \ int _ {- R} ^ {R} \ pi (R ^ {2} -h ^ {2}) {\ rm {d}} h = {\ frac {4 \ pi R ^ { 3}} {3}}.}

În mod similar și mai general, volumul unui "capac", porțiune a unei bile limitată de două plane paralele, la o distanță $D \leq 2 R$ , și dintre care unul este tangent la sferă, este

{\ displaystyle V_ {D} = \ int _ {RD} ^ {R} \ pi (R ^ {2} -h ^ {2}) {\ rm {d}} h = {\ frac {\ pi D ^ {2} (3R-D)} {3}}}

( $V 2 R = V$ ).

Mai general, volumul unei „felii” de grosime $D$ între două planuri cu dimensiunile $H$ și $H '$ (unde $- R < H' < H < R$ ), este

${\ displaystyle V_ {H, H '} = \ int _ {H'} ^ {H} \ pi (R ^ {2} -h ^ {2}) {\ rm {d}} h = {\ frac { \ pi D (3R ^ {2} - (H ^ {2} + HH '+ H' ^ {2}))} {3}}}$ (cu $D = H - H '$ ).

Note și referințe

„Sferele sunt între ele în trei motive ale diametrelor lor” ( traducere de F. Peyrard, 1804 despre Gallica ).
Marc Szwajcer (digitalizare), traducere de François Peyrard , 1807, „ Lucrările lui Arhimede ” , despre antichitatea greacă și latină din Evul Mediu, locul lui Philippe Remacle .
(în) „ Arhimede ” , Encyclopædia Britannica .
Mai multe detalii despre acest mormânt găsiți în articolul „ Arhimede ”.

Articole similare