Cartea a XII-a a Elementelor lui Euclid
Cartea XII din Elementele lui Euclid continuă studiul geometriei în spațiu, a început în Volumul XI . Se ocupă de volume de figuri mai complexe decât paralelipipedul , și anume piramide și conuri , și parțial sfera . Pentru aceasta a folosit metoda epuizării , care, timp de câteva secole, a fost singura metodă care a putut fi utilizată pentru a determina suprafețele și volumele înainte de invenția calculului integral .
Are 18 propuneri.
Propuneri
Propunerile sunt distribuite după cum urmează:
- Proprietatea discului . Prop. 1 prevede că aria unui poligon înscris într - un cerc este proporțională cu pătratul a diametrului . Această propoziție este utilizată și în Prop. 2, care afirmă că aria discului este proporțională cu pătratul diametrului. Pentru aceasta, procedăm printr-un dublu raționament prin absurditate prin utilizarea unui disc de referință și prin presupunerea că un alt disc are o suprafață fie mai mare, fie mult mai mică decât cea pe care i-ar fi dată prin simpla proporționalitate cu pătratul diametrului. În fiecare caz, ajungem la o contradicție prin aproximarea discului cât de mult dorit de poligoane . Acest dublu raționament al absurdului constituie fundamentul metodei epuizării . Mai mult, dovada aproximării pe cât de precisă se dorește a unui disc prin poligoane se bazează pe axioma lui Arhimede , expusă în prop . 1 din Cartea X.
- Volumul piramidei . Prop. 3 - 9 urmăresc să arate că volumul unei piramide este o treime din aria bazei înmulțită cu înălțimea. Este suficient prin tăiere pentru a raționa pe piramide cu o bază triunghiulară. Pentru aceasta, prop. 3 trece la împărțirea unei astfel de piramide în două prisme și două piramide mai mici, procesul fiind iterat în prop. 4, astfel încât volumul piramidelor mici să fie neglijabil și să se reducă la volume de prisme, studiat în ultima propunere a cărții a XI-a . Putem arăta apoi, încă cu metoda epuizării, că volumul piramidei este proporțional cu înălțimea (prop. 5), cu aria bazei (prop. 6) și că trei piramide de același volum dați o prismă cu aceeași bază și aceeași înălțime (prop. 7). Volumul prismei fiind cunoscut, este deci același pentru cel al piramidei.
Trebuie remarcat faptul că calculul volumului piramidei se bazează pe metoda epuizării - strămoșul calculului integral - și ne putem întreba dacă acest pas este necesar. Nu este posibil să dovedim această proprietate printr-o diviziune finită simplă, așa cum facem în plan pentru a determina aria unui triunghi? Această întrebare face obiectul celei de-a treia probleme a lui Hilbert în 1900 și răspunsul este nu: utilizarea calculului integral este necesară pentru a determina volumul piramidei.
- Volumul conului . În elementele de la 10 la 15, Euclid urmează o abordare comparabilă pentru a determina volumul conului cu o bază circulară. Pentru aceasta, aproximează baza circulară cât de mult se dorește de poliedre, conform prop. 1 deja văzută, și astfel se reduce la volumul piramidei.
- Volumul sferei . Prop. 16-18 stabilesc doar că volumul sferei este proporțional cu cubul diametrului. Pentru aceasta, înscriem în sfera piramidelor superioare centrul sferei astfel încât să abordăm volumul acesteia cât mai aproape posibil. Această abordare va fi continuată de Arhimede care, după ce a reușit să determine că aria sferei este egală cu de patru ori aria unui disc cu aceeași rază, va putea deduce expresia volumului .
Bibliografie
- Lucrările lui Euclid, traducere de F. Peyrard, Paris (1819), nou tipărit de Jean Itard, Éditions Albert Blanchard (1993)
- Euclide ( trad. Bernard Vitrac), Elementele [ detaliile edițiilor ]
linkuri externe
Documente online pe site-ul Gallica al BNF