Triunghiul lui Pascal (2.1)

În matematică , triunghiul lui Pascal (2,1) (sau triunghiul lui Lucas ) este un set triunghiular .

Șirurile de triunghiul lui Pascal (2,1) - a continuat A029653 din OEIS - sunt clasic ordonate începând cu rândul n = 0 la partea de sus ( - lea rând). Intrările din fiecare rând sunt numerotate din stânga începând cu k = 0 și sunt de obicei compensate de numerele din rândurile adiacente, astfel încât să formeze un triunghi.

Triunghiul se bazează pe Triunghiul lui Pascal, al doilea rând fiind (2,1) și prima celulă din fiecare rând fiind 2.

Această construcție este legată de coeficienții binomiali , unul dintre termeni fiind . ${\ displaystyle 2x + y}$

{\ displaystyle (2x + y) (x + y) ^ {n-1}}

Proprietăți

Triunghiul lui Pascal (2,1) are multe proprietăți și conține mai multe modele de numere. Ne putem gândi la ea ca o soră triunghiul lui Pascal, în același mod în care o Lucas secvență este o secvență de soră a secvenței Fibonacci .

Rând

Cu excepția primului rând n = 0, 1, suma elementelor dintr-un singur rând este de două ori suma rândului dinaintea sa. De exemplu, rândul 1 are o valoare de 3, rândul 2 are o valoare de 6, rândul 3 are o valoare de 12 și așa mai departe. Acest lucru se datorează faptului că fiecare element dintr-un rând produce două elemente în rândul următor: unul în stânga și unul în dreapta. Suma elementelor rândului n este egală cu . (continuare A003945 din OEIS continuare A007283 din OEIS ) ${\ displaystyle 3 \ times 2 ^ {n-1}}$
Valoarea unui rând , în cazul în care fiecare intrare este considerată o zecimală, este o putere de 11 înmulțit cu 21 ( pentru rândul n). Deci, în rândul doi, ⟨2, 3, 1⟩ devine și ⟨2, 9, 16, 14, 6, 1⟩ în rândul cinci devine (după rearanjare) 307461, adică . Această proprietate este explicată de x = 10 în expansiunea binomială a lui (2 x + 1) ( x + 1) n −1 . Dar x poate fi ales pentru a permite rândurilor să reprezinte valori în orice bază . 21×11nu-1{\ displaystyle 21 \ times 11 ^ {n-1}} ${\ displaystyle 21 \ times 11 ^ {n-1}}$ 21×11{\ displaystyle 21 \ times 11} ${\ displaystyle 21 \ times 11}$ 21×114{\ displaystyle 21 \ times 11 ^ {4}} ${\ displaystyle 21 \ times 11 ^ {4}}$
- În baza 3 : ${\ displaystyle 231_ {3} = 7 \ ori 4 (28)}$
- ${\ displaystyle (2,5,4,1) \ rightarrow 11011_ {3} = 7 \ times 4 ^ {2} (112)}$
- În baza 9: ${\ displaystyle 231_ {9} = 19 \ ori 10 (190)}$
- , ${\ displaystyle 2541_ {9} = 19 \ times 10 ^ {2} (1900)}$
- ${\ displaystyle (2,9,16,14,6,1) \ rightarrow 318561_ {9} = 19 \ times 10 ^ {4} (190000)}$
Polaritate: Când rândurile triunghiulare ale lui Pascal sunt adăugate și scăzute împreună succesiv, fiecare rând cu un număr mediu, adică având un număr impar de numere întregi, va fi întotdeauna 0. De exemplu, rândul 4 este 2 7 9 5 1, deci formula ar fi 9 - (7 + 5) + (2 + 1) = 0, rândul 6 este 2 11 25 30 20 7 1, deci formula ar fi 30 - (25 + 20) + (11 + 7) - (2 + 1) = 0. Deci, fiecare rând din triunghiul Pascal este egal cu 0 atunci când luați numărul din mijloc, apoi scădeți numerele întregi direct lângă centru, apoi adăugați numerele întregi care urmează, apoi scădeți și așa mai departe până când ajunge la capătul rândului.
- Sau putem spune că atunci când luăm primul termen la rând, scădem al doilea termen, apoi adăugăm al treilea termen, apoi scădem și așa mai departe, până când ajungeți la sfârșitul rândului, rezultatul este întotdeauna egal cu 0.
- rândul 3: 2 - 3 + 1 = 0
- rândul 4: 2 - 5 + 4 - 1 = 0
- rândul 5: 2 - 7 + 9 - 5 + 1 = 0
- rândul 6: 2 - 9 + 16 - 14 + 6 - 1 = 0
- rândul 7: 2 - 11 + 25 - 30 + 20 - 7 + 1 = 0
- rândul 8: 2 - 13 + 36 - 55 + 50 - 27 + 8 - 1 = 0

Diagonale

Diagonalele triunghiului lui Pascal (2,1) conțin numere figurate :

Diagonalele care trec prin marginile din dreapta conțin doar 1, în timp ce diagonalele care trec prin marginile din dreapta conțin doar 2 secunde, cu excepția primei celule.
Diagonalele de lângă diagonala marginii stângi conțin numerele impare în ordine.
Diagonalele de lângă diagonala muchiei din dreapta conțin numerele naturale în ordine.
Mergând spre interior, următoarea pereche de diagonale conține numerele pătrat și triunghi minus 1, în ordine.
Următoarea pereche de diagonală conține numerele piramidale pătrate în ordine, iar următoarea pereche de numere dă piramidale în 4 dimensiuni (continuare A002415 din OEIS ).

Paternii globali

Modelul obținut prin colorarea numai a numerelor impare din triunghiul lui Pascal seamănă foarte mult cu fractalul numit triunghiul Sierpinski . Această asemănare devine din ce în ce mai precisă pe măsură ce sunt luate în considerare noi rânduri; În limită, pe măsură ce numărul de rânduri se apropie de infinit, modelul rezultat este triunghiul Sierpinski, presupunând un perimetru fix. Mai general, numerele pot fi colorate diferit în funcție de faptul dacă sunt multipli de 3, 4 etc. Acest lucru are ca rezultat alte modele similare.
Imaginați-vă că fiecare număr din triunghi este un nod dintr-o rețea care este conectat la numerele adiacente de deasupra și de dedesubt. Acum, pentru orice nod din grilă, numărarea numărului de căi din grilă (fără revenire) care conectează acel nod la nodul superior al triunghiului. Răspunsul este numărul Pascal (2,1) asociat cu acest nod.
O proprietate a triunghiului este dezvăluită dacă rândurile sunt justificate la stânga. În triunghiul de sub dungile diagonale colorate rezumă numărul Fibonacci și numărul Lucas .

1
2	1
2	3	1
2	5	4	1
2	7	9	5	1
2	9	16	14	6	1
2	11	25	30	20	7	1
2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

1
2	1
2	3	1
2	5	4	1
2	7	9	5	1
2	9	16	14	6	1
2	11	25	30	20	7	1
2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

Această construcție este, de asemenea, legată de extinderea , prin poziționare . ${\ displaystyle x ^ {n} + {\ frac {1} {x ^ {n}}}}$ ${\ displaystyle y = x + {\ frac {1} {x}}}$
asa de

{\ displaystyle {\ begin {align} x ^ {0} + {\ frac {1} {x ^ {0}}} & = 2 \\ [5pt] x ^ {1} + {\ frac {1} { x ^ {1}}} & = y \\ [5pt] x ^ {2} + {\ frac {1} {x ^ {2}}} & = y ^ {2} -2 \\ [5pt] x ^ {3} + {\ frac {1} {x ^ {3}}} & = y ^ {3} -3y \\ [5pt] x ^ {4} + {\ frac {1} {x ^ {4 }}} & = y ^ {4} -4y ^ {2} +2 \\ [5pt] x ^ {5} + {\ frac {1} {x ^ {5}}} & = y ^ {5} -5y ^ {3} + 5y \ end {align}}}

Referințe

(în) " (1.2) -Triunghiul pascal - OeisWiki " pe oeis.org (accesat la 23 februarie 2016 )
" A029653 - OEIS " , pe oeis.org (accesat la 24 decembrie 2015 )
Wolfram, S., „ Teoria calculului automatelor celulare ”, com. Matematica. Fizic. , vol. 96,1984, p. 15–57 ( DOI 10.1007 / BF01217347 , Bibcode 1984CMaPh..96 ... 15W )
„ O valoare exactă pentru constanta structurii fine. - Page 7 - fizică și matematică " pe Stiinta Forum (accesat la 1 st februarie 2016 )

1
2	1
2	3	1
2	5	4	1
2	7	9	5	1
2	9	16	14	6	1
2	11	25	30	20	7	1
2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

1
2	1
2	3	1
2	5	4	1
2	7	9	5	1
2	9	16	14	6	1
2	11	25	30	20	7	1
2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

1
2	1
2	3	1
2	5	4	1
2	7	9	5	1
2	9	16	14	6	1
2	11	25	30	20	7	1
2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

1
2	1
2	3	1
2	5	4	1
2	7	9	5	1
2	9	16	14	6	1
2	11	25	30	20	7	1
2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

1
2	1
2	3	1
2	5	4	1
2	7	9	5	1
2	9	16	14	6	1
2	11	25	30	20	7	1
2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

1
2	1
2	3	1
2	5	4	1
2	7	9	5	1
2	9	16	14	6	1
2	11	25	30	20	7	1
2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1