Coeficient binomial

În matematică , coeficienții binomiali , definiți pentru orice număr natural $n$ și orice număr natural $k$ mai mic sau egal cu $n$ , dau numărul de părți ale $k$ elemente dintr-un set de $n$ elemente. Le denotăm (citiți „ k printre n ”) sau $C$ $\ textstyle {n \ alege k}$ $k n$ (citiți „numărul de combinații de k între n ”).

Cele două notații sunt recomandate de standardul ISO / CEI 80000-2 : 2009: prima este cea a „coeficientului binomial” (2-10.4) și a doua cea a „numărului de combinații fără repetare” (2-10.6) .

Această cantitate se exprimă utilizând funcția factorială :

{n \ alege k} = C_ {n} ^ {k} \, = {\ frac {n!} {k! (nk)!}}

Coeficienții binomiali sunt implicați în multe domenii ale matematicii: dezvoltarea binomială în algebră , enumerare , extinderea seriilor , legile probabilității etc.

Ele pot fi generalizate, în anumite condiții, la numere complexe.

Stabilirea formulei

Expresia numărului de părți cu $k$ elemente, adică a numărului de $k-$ combinații dintr-un set cu $n$ elemente, este determinată prin calcularea în două moduri diferite a numărului de $k-$ aranjamente din acest set, pentru a cunoaște ${\ displaystyle \ textstyle {n \ alege k}}$

{\ displaystyle A_ {n} ^ {k} = {\ frac {n!} {(nk)!}} = {n \ alege k} k!}

Compararea celor două calcule dă expresia algebrică a lui , pentru $k$ variind de la 0 la $n$ : ${\ displaystyle \ textstyle {n \ alege k}}$

{\ displaystyle C_ {n} ^ {k} = {n \ alege k} = {\ frac {n!} {k! (nk)!}} \ qquad {\ mbox {(1)}}}

în special, (într-un set cu $n$ elemente, există exact o parte cu 0 elemente: setul gol ) și la fel ,. ${\ displaystyle \ textstyle {n \ choose 0} = {\ frac {n!} {1 \ times n!}} = 1}$ ${\ displaystyle \ textstyle {n \ choose n} = {\ frac {n!} {n! \ times 1}} = 1}$

Dacă $k$ este strict negativ sau strict mai mare decât $n$ , coeficientul binomial este zero.

Exemplu : într-un set de 4 elemente { a , b , c , d }, există părți din două elemente și anume: { a , b }, { a , c }, { a , d }, { b , c } , { b , d }, { c , d }. ${\ displaystyle \ textstyle {4 \ choose 2} = 6}$

Proprietatea recursivă a coeficienților binomiali ai numerelor întregi

O relație importantă, formula lui Pascal, leagă coeficienții binomiali: pentru orice pereche $( n , k )$ de $numere$ naturale,

{n \ alege k} + {n \ alege k + 1} = {n + 1 \ alege k + 1} \ qquad {\ mbox {(2)}}

O demonstrăm clasic printr-un raționament combinatoriu elementar, dar putem folosi și forma factorială.

Dă naștere triunghiului Pascal care permite un calcul rapid al coeficienților pentru valori mici de $n$ :

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

Coeficienții pentru 0 ≤ $k$ ≤ $n$ apar în al $n-$ lea rând. Triunghiul este construit plasând 1 la capetele fiecărui rând și completând rândul trasând suma celor două numere adiacente din rândul de sus. $k$ este citit de la stânga la dreapta pe a $n-$ a linie începând de la 0 la $n$ . ${\ displaystyle \ textstyle {n \ alege k}}$

Folosirea coeficienților binomiali

Dezvoltarea perechii lui Newton

Aceste numere sunt coeficienții care apar prin extinderea $nth$ puterea de $x + y$ :

(x + y) ^ {n} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {n \ alege k} x ^ {{nk}} y ^ {k} \ qquad (3)

De exemplu, uitându-ne la a cincea linie a triunghiului lui Pascal, primim imediat că:

\ (x + y) ^ {5} = x ^ {5} + 5x ^ {4} y + 10x ^ {3} y ^ {2} + 10x ^ {2} y ^ {3} + 5xy ^ {4 } + y ^ {5} \,

Derivată a ordinii n a unui produs de funcții

Fie $n$ un număr întreg mai mare sau egal cu 1 și $f$ și $g$ două funcții de $n$ ori diferențiate la un punct $x$ , atunci produsul lor $fg$ este, de asemenea, de $n$ ori diferențiat la punctul $x$ , iar derivata ordinii $n$ este dată de formula lui Leibniz :

(fg) ^ {{(n)}} (x) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {n \ alege k} \ f ^ {{(nk)}} (x) \ g ^ {{(k)}} (x).

De exemplu, $(fg) '' '= f' '' g + 3f''g '+ 3f'g' '+ g' '' f.$

Combinatorie și statistici

Coeficienții binomiali sunt importanți în combinatorică , deoarece furnizează formule utilizate în problemele comune de numărare :

Numărul de părți $k-$ element dintr-un set de elemente $n$ este egal cu . Este, de asemenea, numărul de liste de lungime $n$ , alcătuit din 1 și 0 și având de $k$ ori elementul 1 și $n - k$ elementul 0. Aceste părți sau aceste liste se numesc combinații $k-$ fără repetare. $\ textstyle {n \ alege k}$
Numărul de secvențe de $n numere$ naturale a căror sumă este egală cu $k$ este egală cu . Este, de asemenea, numărul de moduri de a alege $k$ elemente ale unui set cu $n$ elemente dacă sunt permise repetări (numărul de combinații cu repetare ). $\ textstyle {n + k-1 \ alege k}$
În teoria probabilității și statisticile , coeficienții binomiali apar în definiția legii binomiale .
Sunt implicați în definirea polinoamelor Bernstein și în ecuația parametrică a unei curbe Bézier .
Dintr-un punct de vedere mai intuitiv, acest număr face posibil să știm câte extrageri de k elemente dintre n diferite pot efectua. Exemplu: cei patru ași ai unui pachet de cărți sunt cu fața în jos, vrem să știm câte posibilități de joc există dacă luăm simultan două cărți la întâmplare. Dacă urmăm formula, sunt șase. Pentru a fi convins, iată lista mâinilor:
1. as de inimi și as de diamante
2. asul inimilor și asul cluburilor
3. as de inimi și as de pică
4. as de diamante și as de cluburi
5. as de diamante și as de pică
6. as de bâte și as de pică

Nu există alte posibilități, deoarece ordinea nu contează („diamante - pică” este echivalent cu „pică - diamante”).

Divizori binomiali și coeficienți

Un număr întreg $n \geq 2$ este prim dacă și numai dacă toate pentru $k$ $= 1, ...,$ $n$ $- 1$ sunt divizibile cu $n$ . $\ textstyle {n \ alege k}$

Demonstrație

Pentru $0 < k < n$ , de la

k {n \ alege k} = n {n-1 \ alege k-1}

deducem că:

dacă $n$ este prim, deoarece nu împarte $k$ , se împarte în funcție de lema lui Euclid ; $\ textstyle {n \ alege k}$
dacă $n$ este compus și dacă $k$ este unul dintre factorii săi primi, atunci $n$ nu se împarte

{n \ choose k} = {\ frac nk} {n-1 \ choose k-1}

deoarece $k$ nu se împarte

{n-1 \ choose k-1} = {\ frac {(n-1) (n-2) \ ldots (n-k + 1)} {(k-1)!}}

deoarece $k$ , împărțind $n$ , nu împarte niciunul dintre $k - 1$ numere întregi care o preced.

Divizorii primi ai au următoarea proprietate ( teorema lui Kummer asupra coeficienților binomiali (în) ): $\ textstyle {n \ alege k}$

Dacă $p$ este un număr prim și $p r$ este cea mai mare putere a lui $p$ care împarte , atunci $r$ este egal cu numărul de numere întregi naturale $j$ astfel încât partea fracționată a lui $k$ $⁄$ $p$ $j$ este mai mare decât partea fracționată a lui $n$ $⁄$ $p$ $j$ . Este numărul de report în adunarea lui $k$ și $n - k$ , când aceste două numere sunt scrise în baza $p$ . $\ textstyle {n \ alege k}$

În special, este întotdeauna divizibil cu (mcd înseamnă cel mai mare divizor comun ). $\ textstyle {n \ alege k}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {n} {\ mathrm {pgcd} \, (n, k)}}}$

Regula face posibilă determinarea care sunt uniforme. Este suficient ca acest lucru să ia $p$ $= 2$ și $r$ $\geq 1$ . Scăderea lui $n$ cu $k$ necesită, prin urmare, cel puțin un report în binar . Aceasta înseamnă că, în expansiunea binară a lui $n$ , există cel puțin un 0 situat la același rang ca un 1 în expansiunea binară a lui $k$ . $\ textstyle {n \ alege k}$

În schimb, este ciudat dacă, de fiecare dată când $k$ are un 1 în expansiunea sa binară, este același pentru $n$ la același rang. Spunem că $k$ implică $n$ . De exemplu, dacă $n$ este de forma $2$ $p$ $- 1$ , toate cifrele sale binare sunt 1 și toate vor fi impare. Dacă $n$ $= 2$ $p$ , atunci $n$ are un singur 1 în expansiunea sa binară și numai și sunt impare, toate celelalte sunt pare. $\ textstyle {n \ alege k}$ $\ textstyle {n \ alege k}$ $\ textstyle {n \ alege 0}$ $\ textstyle {n \ alege n}$

Generalizări

În primul rând, așa cum s-a spus mai sus, interpretarea combinatorie duce la starea convențională pentru $n$ $<$ $k$ (deoarece nu există subseturi cu $k$ elemente ale unui set cu $n$ elemente dacă $n$ $<$ $k$ ) și, de asemenea, pentru $k$ $<0$ . $\ textstyle {n \ alege k} = 0$ $\ textstyle {n \ alege k} = 0$

Scrierea , pentru orice număr întreg $n$ și orice număr întreg $k$ între 1 și $n$ , în formă permite să se ia în considerare o posibilă extensie și pentru întregul număr negativ $n$ și pentru întregul întreg strict pozitiv $k$ folosind următoarea expresie: $\ textstyle {n \ alege k}$ $\ textstyle {n \ choose k} = {\ frac {\ prod _ {{i = 0}} ^ {{k-1}} (ni)} {k!}}$

{n \ choose k} = {\ frac {\ displaystyle \ prod _ {{i = 0}} ^ {{k-1}} (ni)} {k!}}

Dacă stabilim $n = - m$ , avem următoarea relație:

{-m \ alege k} = {m + k-1 \ alege k} (- 1) ^ {k}

Această formă a coeficienților binomiali este utilizată atât în formula binomului negativ , cât și în definiția legii binomului negativ.

Pentru orice număr complex $z$ și orice număr natural $k$ , definim coeficientul binomial după cum urmează: ${\ displaystyle \ textstyle {z \ alege k}}$

{z \ choose k} = {\ frac {z (z-1) (z-2) \ cdots (z-k + 1)} {k!}} = {\ frac {(z) _ {k}} {k !}}

unde este simbolul Pochhammer pentru factorii descendenți (în special ). $(\ cdot) _ {k}$ $\ textstyle {z \ choose 0} = {\ frac {(z) _ {0}} {0!}} = {\ frac 11} = 1$

Această formă a coeficienților binomiali este utilizată în formula binomială generalizată .

Pentru orice număr întreg $k$ , expresia este un polinom în $z$ de grad $k$ cu coeficienți raționali . Orice polinom $p$ $($ $z$ $)$ de grad $d$ poate fi scris reciproc în formă $\ textstyle {z \ alege k}$

p (z) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{d}} a_ {k} {z \ alege k}

;

acest lucru duce, de exemplu, la formulele lui Faulhaber .

O altă generalizare importantă a coeficienților binomiali pornește de la formula multinomială , care permite definirea coeficienților multinomiali .

În cele din urmă, calculul poate fi generalizat, utilizând funcția gamma . Rețineți că, pentru orice număr natural $n$ , $n$ $!$ $= Γ ($ $n$ $+1)$ , astfel, avem, pentru tot întregul $n$ și pentru tot întregul $k$ mai mic sau egal cu $n$ , $\ textstyle {n \ alege k}$

{n \ choose k} = {\ frac {\ Gamma (n + 1)} {\ Gamma (k + 1) \ Gamma (n-k + 1)}}

Deoarece funcția $Γ$ este definită pentru orice complex de , putem generaliza coeficientul binomial la toate complexele $s$ și $t$ diferite de numerele întregi negative și astfel încât $s - t$ să nu fie un număr întreg negativ, prin formula: ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ backslash \ mathbb {Z} _ {-}}$

{s \ choose t} = {\ frac {\ Gamma (s + 1)} {\ Gamma (t + 1) \ Gamma (s-t + 1)}}

;

Această formulă poate fi, de asemenea, scrisă mai simplu folosind funcția beta :

{s \ choose t} = {\ frac 1 {(s + 1) \ mathrm {B} (t + 1, s-t + 1)}}

;

Putem încerca să unificăm definițiile cu funcția gamma, rezolvând problema polului acestei funcții mergând la limită:

{s \ choose t} = \ lim _ {{u \ to s}} \ lim _ {{v \ to t}} {\ frac {\ Gamma (u + 1)} {\ Gamma (v + 1) \ Gamma (uv + 1)}}

Ordinea limitelor este importantă. Această definiție dă o valoare infinită coeficientului binomial în cazul în care $s$ este un întreg negativ și $t$ nu este un întreg (ceea ce nu este în contradicție cu definiția anterioară, deoarece nu a luat în considerare acest caz).

Rezumatul generalizărilor

Generalizare	Câmp de definiție	Definiție	Notări și observații
${\ binom nk}$	$n \ in \ mathbb {N}$ ${\ displaystyle k \ in \ {0,1, \ dots, n \}}$	${\ displaystyle {\ frac {n!} {k! (nk)!}}}$	${\ displaystyle n! = 1 \ ori 2 \ ori \ puncte \ ori n}$ ${\ displaystyle 0! = 1}$
${\ binom nk}$	$n \ in \ mathbb {N}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$	${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {cl} {\ frac {n!} {k! (nk)!}} & {\ text {si}} k \ leq n \\ 0 & {\ text {altfel}} \ end {array}} \ right.}$
${\ displaystyle {\ binom {z} {k}}}$	${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$	${\ displaystyle {\ frac {(z) _ {k}} {k!}}}$	${\ displaystyle (z) _ {k} = z (z-1) \ dots (z-k + 1)}$ ${\ displaystyle (z) _ {0} = 1}$
${\ displaystyle {\ binom {z} {k}}}$	${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$	${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {cl} {\ frac {(z) _ {k}} {k!}} & {\ text {si}} k \ geq 0 \\ 0 & { \ text {altfel}} \ end {array}} \ right.}$
${\ displaystyle {\ binom {z} {w}}}$	${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} \ setminus (- \ mathbb {N}) ^ {}}$ ${\ displaystyle w \ in \ mathbb {C} \ setminus (- \ mathbb {N}) ^ {}}$ ${\ displaystyle zw \ notin (- \ mathbb {N}) ^ {*}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (z + 1)} {\ Gamma (w + 1) \ Gamma (z-w + 1)}}}$	$\Gamma$ denotă funcția gamma. ${\ displaystyle (- \ mathbb {N}) ^ {*} = \ {- 1, -2, -3, \ dots \}}$
${\ displaystyle {\ binom {z} {w}}}$	${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle w \ in \ mathbb {C}}$	${\ displaystyle \ lim _ {u \ to z} \ lim _ {v \ to w} {\ frac {\ Gamma (u + 1)} {\ Gamma (v + 1) \ Gamma (u-v + 1)}} }$	${\ displaystyle {\ binom {z} {w}} = \ infty {\ text {si}} z \ in (- \ mathbb {N}) ^ {} {\ text {and}} w \ notin (- \ mathbb {N}) ^ {}}$ ${\ displaystyle {\ binom {z} {w}} = 0 {\ text {si}} z, w \ notin (- \ mathbb {N}) ^ {} {\ text {și}} zw \ in ( - \ mathbb {N}) ^ {}}$

Formule care implică coeficienți binomiali

Presupunem că $k , n$ sunt numere întregi; complexe $x , y , z , z '$ .

Sa nu uiti asta:

{n \ alege k} + {n \ alege k + 1} = {n + 1 \ alege k + 1} \ qquad {\ mbox {(2)}}

(Formula lui Pascal )

(x + y) ^ {n} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {n \ alege k} x ^ {{nk}} y ^ {k} \ qquad (3)

( Formula binomială a lui Newton )

Următoarele formule pot fi utile:

{n \ alege k} = {n \ alege nk} \ qquad (4)

{n \ choose k} = {\ frac nk} {n-1 \ choose k-1} \ qquad (k> 0)

și mai general (uneori numită formula „pion”).

{z \ choose k} = {\ frac {z} {k}} {z-1 \ choose k-1} \ qquad (5)

Înlocuind în (3) $x = y = 1$ , obținem

\ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {n \ alege k} = 2 ^ {n} \ qquad (6)

;

Numeroase formule analoge pot fi obținute în acest fel; de exemplu, cu $x = 1$ și $y = -1$ , obținem

\ sum _ {{k = 0}} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n \ alege k} = 0

dacă

n > 0

;

cu $x = 1$ și $y = i$ (deci $y 2 = -1$ ), obținem

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} (- 1) ^ {k} {n \ alege 2k} = \ operatorname {Re} ((1 + i) ^ {n }) = 2 ^ {n / 2} \ cos (n \ pi / 4)}

În identitatea (3), prin înlocuirea $x$ cu 1 și luând derivata în 1 față de $y$ , vine

\ sum _ {{k = 1}} ^ {n} k {n \ alege k} = n2 ^ {{n-1}} \ qquad (7)

Prin extinderea $( x + y ) n ( x + y ) m = ( x + y ) m + n$ cu (3), obținem identitatea Vandermonde :

{\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {r} {n \ alege j} {m \ alege rj} = {n + m \ alege r}}

și mai general

{\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {r} {z \ choose j} {z '\ choose rj} = {z + z' \ choose r} \ qquad (8)}

Din expansiunea (8), înlocuind $m$ și $r$ cu $n$ și folosind (4), obținem

{\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {n} {n \ alege j} ^ {2} = {2n \ alege n} \ qquad (9)}

Prin extinderea $( x + y ) 2 n ( x - y ) 2 n = ( x 2 - y 2 ) 2 n$ și observarea coeficientului în fața lui $x 2 n y 2 n$ , obținem

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{2n}} (- 1) ^ {k} {2n \ alege k} ^ {2} = (- 1) ^ {n} {2n \ alege n} \ qquad (10)

Avem

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} {nk \ alege k} = F_ {n + 1} \ qquad (11)}

unde $F n +1$ reprezintă termenul $n + 1$ al secvenței Fibonacci . Această formulă pe diagonalele triunghiului lui Pascal poate fi dovedită printr-o inducție pe $n$ folosind (2).

Pentru toate $numerele$ naturale $m$ , $n$ și $r \geq m + n$ ,

{\ displaystyle \ sum _ {j = n} ^ {rm} {\ binom {j} {n}} {\ binom {rj} {m}} = {\ binom {r + 1} {m + n + 1 }} \ qquad (12)}

Acest analog al identității lui Vandermonde (8) poate fi demonstrat în același mod, din formula binomului negativ . Un caz special este (pentru toate numerele întregi $r \geq n \geq 0$ ):

{\ displaystyle \ sum _ {j = n} ^ {r} {\ binom {j} {n}} = {\ binom {r + 1} {n + 1}}}

Supraveghere și aproximări

Următorul cadru implică numărul Neper și este valabil pentru orice valoare a lui $k$ și $n$ :

{\ displaystyle \ forall 1 \ leq k \ leq n, \ left ({\ frac {n} {k}} \ right) ^ {k} \ leq {\ binom {n} {k}} <\ mathrm {e } ^ {k} \ left ({\ frac {n} {k}} \ right) ^ {k}}

Diferența dintre cele două limite crește exponențial, motiv pentru care poate fi preferabil să se utilizeze un echivalent asimptotic atunci când cunoaștem comportamentul lui $k$ față de cel al lui $n$ . Datorită formulei lui Stirling , când $n$ și k tind spre infinit avem:

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} {\ underset {n \ rightarrow \ infty} {\ sim}} {\ sqrt {\ frac {n} {2 \ pi k (nk)}}} \ cdot {\ frac {n ^ {n}} {k ^ {k} (nk) ^ {nk}}}}$

Dar, pentru a fi mai precis, este necesar să se particularizeze cu diferite regimuri asimptotice . În cazurile de mai jos, este funcția de entropie binară . ${\ displaystyle h (\ alpha) = - \ alpha \ log _ {2} \ alpha - (1- \ alpha) \ log _ {2} (1- \ alpha)}$

Cazul 1: În cazul în care , , atunci ${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle k> 1}$ ${\ displaystyle k = {\ mathcal {O}} _ {n \ rightarrow \ infty} (1)}$ ${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {n ^ {k}} {k!}} \ left (1 - {\ frac {k (k-1)} {2n}} + {\ mathcal {O}} _ {n \ rightarrow \ infty} \ left ({\ frac {1} {n ^ {2}}} \ right) \ right)}$
Cazul 2: În cazul în care , , atunci ${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle k \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle k = {\ mathcal {o}} _ {n \ rightarrow \ infty} (n)}$ ${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} {\ underset {n \ rightarrow \ infty} {\ sim}} {\ frac {2 ^ {nh \ left ({\ frac {k} {n}} \ dreapta)}} {\ sqrt {2 \ pi k}}}}$
cazul 3: dacă $n$ și $k$ tind spre infinit astfel încât atunci ${\ displaystyle k / n \ rightarrow \ alpha \ in] 0; 1 [}$ ${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} {\ underset {n \ rightarrow \ infty} {\ sim}} {\ frac {2 ^ {nh (\ alpha)}} {\ sqrt {2 \ pi \ alpha (1- \ alpha) n}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ alpha (1- \ alpha) n}}} \ left ({\ frac {1} {\ alpha ^ {\ alpha} (1- \ alpha) ^ {1- \ alpha}}} \ right) ^ {n}}$

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Binomial coefficient ” ( vezi lista autorilor ) .

ISO 80000-2: 2009, Cantități și unități - Partea 2: matematică, prima ediție a 1 st decembrie 2009 , Capitolul 10: combinatorică
Pentru mai multe detalii, consultați capitolul „Combinații fără repetare” de pe Wikiversitate .
Inclusiv pentru autobuz . A se vedea de exemplu F. Benoist, B. Rivet, S. Maffre, L. Dorat și B. Touzillier, Mathematics ECS 1 re year , Dunod , $k \ ge n$ ${\ displaystyle \ textstyle \ forall j> n \ quad {n \ choose j} = 0}$ 2011( citiți online ) , p. 9.
A se vedea, de exemplu, acest exercițiu corectat al lecției „Convocații” de pe Wikiversitate .
Vezi de exemplu Benoist și colab. 2011 , p. 9, sau capitolul „Formula binomială” a lecției „Convocări” de pe Wikiversitate .
(de) EE Kummer , „ Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesentzen ” , J. Reine Angew. Matematica. , vol. 44,1852, p. 93-146 ( citește online ).
(în) Donald E. Knuth , The Art of Computer Programming , Vol. 1: Algoritmi fundamentali ( citiți online ), § 1.2.6, ex. 11.
(în) John D. Cook, „ coeficienți binomiali ” .
Aceste definiții sunt compatibile atunci când domeniile de definiție se intersectează.
René Adad, „ Principalele proprietăți ale coeficienților binomiali ” (accesat la 14 ianuarie 2020 )
Vezi de exemplu acest exercițiu corectat din lecția despre generarea de serii pe Wikiversitate .
Vezi în: Identitatea bastonului de hochei .
(en) Shagnik Das, „ O scurtă notă despre estimările coeficienților binomiali ” (accesat la 23 aprilie 2020 )
(în) Neven ELOZOVIC, „ Expansiuni asimptotice ale Gamma și funcții conexe, coeficienți binomiali, inegalități și grupări de mijloace ” [„expansiune asimptotică a funcției gamma și funcții asociate ale coeficienților binomiali, inegalitate și medie”] Jurnal de inegalități matematice , vol. . 9,2015, p. 1024 ( citește online )

Vezi și tu

Articole similare

Bibliografie

(ro) Henry W. Gould (ro) , Identități combinatorii, un set standardizat de tabele care enumeră 500 de însumări ale coeficientului binomial ,1972( citește online )
(ro) Henry W. Gould, Tables of Combinatorial Identities , editat de J. Quaintance , 2010, vol. 1 la 8
(en) John Riordan (en) , Identități combinatorii , RE Krieger,1979( 1 st ed. , 1968, John Wiley & Sons)

Link extern

Gérard Eguether, „ Coeficienți binomiali ”

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1