Lucas Suite
În matematică , secvențele Lucas U ( P , Q ) și V ( P , Q ) asociate cu două numere întregi P și Q sunt două secvențe liniare recurente de ordinul 2 cu valori întregi care generalizează secvența Fibonacci și cea a lui Fibonacci. -Lucas , corespunzător valorilor P = 1 și Q = –1 .
Își datorează numele matematicianului francez Édouard Lucas .
Definiție prin inducție
Fie P și Q două numere întregi diferite de zero astfel încât
Δ=P2-4Î≠0{\ displaystyle \ Delta = P ^ {2} -4Q \ neq 0}![{\ displaystyle \ Delta = P ^ {2} -4Q \ neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f0b6b53622afeb7d19a37f3560a0791afcdb8e)
(pentru a evita cazurile degenerate).
Secvențele Lucas U ( P , Q ) și V ( P , Q ) sunt definite de relațiile de recurență liniară
U0(P,Î)=0,U1(P,Î)=1,Unu(P,Î)=P.Unu-1(P,Î)-Î.Unu-2(P,Î) pentru nu⩾2{\ displaystyle U_ {0} (P, Q) = 0, \ quad U_ {1} (P, Q) = 1, \ quad U_ {n} (P, Q) = P.U_ {n-1} ( P, Q) -Q.U_ {n-2} (P, Q) {\ mbox {for}} n \ geqslant 2}![{\ displaystyle U_ {0} (P, Q) = 0, \ quad U_ {1} (P, Q) = 1, \ quad U_ {n} (P, Q) = P.U_ {n-1} ( P, Q) -Q.U_ {n-2} (P, Q) {\ mbox {for}} n \ geqslant 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429524178441f33729b5dec29206a4eb5b9716d5)
și
V0(P,Î)=2,V1(P,Î)=P,Vnu(P,Î)=P.Vnu-1(P,Î)-Î.Vnu-2(P,Î) pentru nu⩾2.{\ displaystyle V_ {0} (P, Q) = 2, \ quad V_ {1} (P, Q) = P, \ quad V_ {n} (P, Q) = P.V_ {n-1} ( P, Q) -Q.V_ {n-2} (P, Q) {\ mbox {for}} n \ geqslant 2.}![{\ displaystyle V_ {0} (P, Q) = 2, \ quad V_ {1} (P, Q) = P, \ quad V_ {n} (P, Q) = P.V_ {n-1} ( P, Q) -Q.V_ {n-2} (P, Q) {\ mbox {for}} n \ geqslant 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87e7cf2bc8d3bf17b61b8beaecbd9062548635e)
Termen general
Notați una dintre cele două rădăcini pătrate ale lui Δ (posibil în ℂ ).
δ{\ displaystyle \ delta}![\ delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
Din moment ce Δ ≠ 0 , polinomul caracteristic asociat cu recurența X 2 - PX + Q are două rădăcini distincte
la=P+δ2etb=P-δ2.{\ displaystyle a = {\ frac {P + \ delta} {2}} \ quad {\ rm {et}} \ quad b = {\ frac {P- \ delta} {2}}.}![{\ displaystyle a = {\ frac {P + \ delta} {2}} \ quad {\ rm {et}} \ quad b = {\ frac {P- \ delta} {2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf7241f63da371b22069a3c1d1515f2c203fb4e)
Apoi , U ( P , Q ) și V ( P , Q ) poate fi definit în termenii unei și b cu următorul analog cu formula lui Binet :
Unu(P,Î)=lanu-bnula-b=lanu-bnuδetVnu(P,Î)=lanu+bnu,{\ displaystyle U_ {n} (P, Q) = {\ frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {ab}} = {\ frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {\ delta}} \ quad {\ rm {și}} \ quad V_ {n} (P, Q) = a ^ {n} + b ^ {n},}![{\ displaystyle U_ {n} (P, Q) = {\ frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {ab}} = {\ frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {\ delta}} \ quad {\ rm {și}} \ quad V_ {n} (P, Q) = a ^ {n} + b ^ {n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a8ef00ab27b553b11141494da93395ecdec0ec)
din care putem extrage relații
lanu=Vnu+Unuδ2etbnu=Vnu-Unuδ2.{\ displaystyle a ^ {n} = {\ frac {V_ {n} + U_ {n} \ delta} {2}} \ quad {\ rm {and}} \ quad b ^ {n} = {\ frac { V_ {n} -U_ {n} \ delta} {2}}.}![{\ displaystyle a ^ {n} = {\ frac {V_ {n} + U_ {n} \ delta} {2}} \ quad {\ rm {and}} \ quad b ^ {n} = {\ frac { V_ {n} -U_ {n} \ delta} {2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/691fba599282830cbe44f02446f5f008749dcb1b)
Alte relații
Numerele din secvențele Lucas satisfac multe relații, care generalizează cele dintre numerele Fibonacci și numerele Lucas. De exemplu :
Um+nu={\ displaystyle U_ {m + n} =}
UnuUm+1-ÎUnu-1Um=UnuVm+UmVnu2{\ displaystyle U_ {n} U_ {m + 1} -QU_ {n-1} U_ {m} = {U_ {n} V_ {m} + U_ {m} V_ {n} \ peste 2}}![{\ displaystyle U_ {n} U_ {m + 1} -QU_ {n-1} U_ {m} = {U_ {n} V_ {m} + U_ {m} V_ {n} \ peste 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb252db5f003e75e12ce47abd0d5825434da5196)
și
Vm+nu=VmVnu-ÎmVnu-m=ΔUmUnu+VmVnu2,{\ displaystyle V_ {m + n} = V_ {m} V_ {n} -Q ^ {m} V_ {nm} = {\ Delta U_ {m} U_ {n} + V_ {m} V_ {n} \ peste 2},}
în special
Unu+1=PUnu+Vnu2=Vnu+ÎUnu-1,Vnu+1=ΔUnu+PVnu2=ΔUnu+ÎVnu-1{\ displaystyle U_ {n + 1} = {PU_ {n} + V_ {n} \ over 2} = V_ {n} + QU_ {n-1}, \ qquad V_ {n + 1} = {\ Delta U_ {n} + PV_ {n} \ over 2} = \ Delta U_ {n} + QV_ {n-1}}![U _ {{n + 1}} = {PU_ {n} + V_ {n} \ over 2} = V_ {n} + QU _ {{n-1}}, \ qquad V _ {{n + 1} } = {\ Delta U_ {n} + PV_ {n} \ over 2} = \ Delta U_ {n} + QV _ {{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd119a63ebb4822572221422083e16841b162277)
și
U2nu=UnuVnu,V2nu=Vnu2-2Înu.{\ displaystyle U_ {2n} = U_ {n} V_ {n}, \ qquad V_ {2n} = V_ {n} ^ {2} -2Q ^ {n}.}![U _ {{2n}} = U_ {n} V_ {n}, \ qquad V _ {{2n}} = V_ {n} ^ {2} -2Q ^ {n}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a76ef1675dfc4f029d79f8d5ae96a0a3abe1de)
Divizibilitate
Din prima identitate ( U m + n = U n U m +1 - QU n –1 U m ), deducem imediat ( prin inducție pe k ) că U nk este întotdeauna un multiplu al lui U n : spunem că secvența U ( P , Q ) are divizibilitate redusă .
Varianta prin calcularea coeficientului
Să ne plasăm în cazul nedegenerat și să presupunem și, pentru a simplifica scrierea, (în acest caz , este suficient să scriem egalitățile corespunzătoare fără împărțirea la ).
k>0{\ displaystyle k> 0}
Unu≠0{\ displaystyle U_ {n} \ neq 0}
Unu=0{\ displaystyle U_ {n} = 0}
Unu{\ displaystyle U_ {n}}![A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b641ce10cb5e865397c4efe647cbffed98a024)
UnukUnu=lanuk-bnuklanu-bnu=∑j=0k-1lanu(k-1-j)bnuj=(lanu(k-1)+bnu(k-1))+(lanu(k-2)bnu+bnu(k-2)lanu)+(lanu(k-3)b2nu+bnu(k-3)la2nu)+...=(lanu(k-1)+bnu(k-1))+Înu(lanu(k-3)+bnu(k-3))+Î2nu(lanu(k-5)+bnu(k-5))+...=Vnu(k-1)+ÎnuVnu(k-3)+Î2nuVnu(k-5)+...∈Z.{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {U_ {nk}} {U_ {n}}} & = {\ frac {a ^ {nk} -b ^ {nk}} {a ^ {n} - b ^ {n}}} = \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} a ^ {n (k-1-j)} b ^ {nj} \\ & = (a ^ {n (k -1)} + b ^ {n (k-1)}) + (a ^ {n (k-2)} b ^ {n} + b ^ {n (k-2)} a ^ {n}) + (a ^ {n (k-3)} b ^ {2n} + b ^ {n (k-3)} a ^ {2n}) + \ ldots \\ & = (a ^ {n (k-1 )} + b ^ {n (k-1)}) + Q ^ {n} (a ^ {n (k-3)} + b ^ {n (k-3)}) + Q ^ {2n} ( a ^ {n (k-5)} + b ^ {n (k-5)}) + \ ldots \\ & = V_ {n (k-1)} + Q ^ {n} V_ {n (k- 3)} + Q ^ {2n} V_ {n (k-5)} + \ ldots \ in \ mathbb {Z}. \ End {align}}}
Astfel încât să fie chiar și cu divizibilitate puternică, adică să satisfacă: pgcd ( U i , U j ) = | U pgcd ( i , j ) |, este necesar și suficient ca P și Q să fie coprimi .
Demonstrație
Dacă secvența are o divizibilitate puternică atunci 1 = U 1 = pgcd ( U 2 , U 3 ) = pgcd ( P , P 2 - Q ) = pgcd ( P , Q ).
În schimb, să presupunem că pgcd ( P , Q ) = 1 și arată mai întâi prin inducție că pentru toate n ≥ 1, pgcd ( U n , Q ) = 1 și pgcd ( U n , U n –1 ) = 1. L 'inițializare este imediată, iar moștenirea este dedusă (datorită lemei lui Gauss ):
- pentru prima proprietate: a pgcd ( U n +1 , Q ) = pgcd ( PU n , Q ) și a ipotezei;
- pentru al doilea: din pgcd ( U n +1 , U n ) = pgcd ( QU n –1 , U n ) și din primul.
Deducem din aceste două proprietăți și din identitatea U m + n = U n U m +1 - QU n –1 U m că pgcd ( U m + n , U n ) = pgcd ( QU n –1 U m , U n ) = pgcd ( U m , U n ). Prin antifereză , urmează o divizibilitate puternică.
Cazuri speciale
U(1,-1){\ displaystyle U (1, -1)}![{\ displaystyle U (1, -1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea62ec968d998363ee85f266aecd92365348ed79)
este
secventa Fibonacci si
secventa Fibonacci-Lucas .
V(1,-1){\ displaystyle V (1, -1)}
U(2,-1){\ displaystyle U (2, -1)}![{\ displaystyle U (2, -1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b99f6b0126912f905c72bbdbf4fbe6851d22104)
este
continuarea Pell și
continuarea Pell-Lucas .
V(2,-1){\ displaystyle V (2, -1)}
Mai general, și sunt valorile în P al n - lea Fibonacci polinomial si al n- lea Lucas polinomul .
Unu(P,-1){\ displaystyle U_ {n} (P, -1)}
Vnu(P,-1){\ displaystyle V_ {n} (P, -1)}![V_ {n} (P, -1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11bbd308828cdf213144f7fd33ae1b5f41f3556a)
U(la+b,lab)=(lanu-bnula-b){\ displaystyle U (a + b, ab) = \ left ({\ frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {ab}} \ right)}
oferă ca caz special care este secvența primelor Mersenne și mai general, care este rezultatul repetunităților de bază b .
U(3,2)=(2nu-1){\ displaystyle U (3,2) = (2 ^ {n} -1)}
U(b+1,b){\ displaystyle U (b + 1, b)}![{\ displaystyle U (b + 1, b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7245b5d7c3bca9117ea0fb122b21a63fc0a4276)
U(1,-2){\ displaystyle U (1, -2)}![{\ displaystyle U (1, -2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6ff0d6e5031186a05b1d743c6e9586883940d5)
este
suita Jacobstahl și
suita Jacobsthal-Lucas.
V(1,-2){\ displaystyle V (1, -2)}
U(1,1)=(2păcatnuπ33)=(0,1,1,0,-1,-1,0,...){\ displaystyle U (1,1) = \ left ({\ frac {2 \ sin {\ frac {n \ pi} {3}}} {\ sqrt {3}}} \ right) = (0,1, 1.0, -1, -1.0, ...)}![{\ displaystyle U (1,1) = \ left ({\ frac {2 \ sin {\ frac {n \ pi} {3}}} {\ sqrt {3}}} \ right) = (0,1, 1.0, -1, -1.0, ...)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37ab860cb3461d8932c7b397c44717cbc34a4805)
, .
V(1,1)=(2cosnuπ3)=(2,1,-1,-2,-1,1,2,...){\ displaystyle V (1,1) = \ left (2 \ cos {\ frac {n \ pi} {3}} \ right) = (2,1, -1, -2, -1,1,2, ...)}
Sk: =V2k(2,-1){\ displaystyle S_ {k}: = V_ {2 ^ {k}} ({\ sqrt {2}}, - 1)}![{\ displaystyle S_ {k}: = V_ {2 ^ {k}} ({\ sqrt {2}}, - 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec797df1ae4d9e080af54449e991b8cf8ab4797e)
( k ≥ 1) este secvența care apare în
testul de primărie Lucas-Lehmer pentru numerele Mersenne : S 1 = V 2 = 4 și S k +1 = S k 2 - 2.
Note și referințe
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din
limba engleză intitulat
„ Lucas sequence ” ( vezi lista autorilor ) .
-
Édouard Lucas, „ Teoria funcțiilor numerice pur și simplu periodice ”, Amer. J. Math. , vol. 1, n o 21878, p. 184-196, 197-240, 289-321 ( citiți online ).
-
Aceasta este alegerea adoptată de Ribenboim 2006 , p. 2. (ro) DH Lehmer , „ O teorie extinsă a funcțiilor lui Lucas ” , Ann. Matematica. , 2 nd serii, voi. 31,1930, p. 419-448 ( JSTOR 1968235 ), Extinde la cazul în care P este rădăcina pătrată a unui număr întreg relativ prim la Q . Lucas a luat P și Q întregul prim printre ei.
-
„ O privire asupra problemelor din The Fibonacci Quarterly va lăsa impresia că nu există nicio legătură cu imaginația matematicienilor al căror efort este să producă forme mai noi ale acestor identități și proprietăți. […] Voi selecta un număr mic de formule pe care le consider cele mai utile. Dovezile lor sunt aproape întotdeauna exerciții simple, fie prin aplicarea formulelor lui Binet, fie prin inducție. » Ribenboim 2006 , p. 2.
-
Această ecuație este un caz special de identități remarcabile verificate prin secvențe liniare recurente de ordinul 2 . Este încă satisfăcut în cazurile degenerate.
-
(în) Peter Bala, „ Secvențe de divizibilitate din secvențe de divizibilitate puternică ” pe OEIS ,2014, p. 9, Propunerea A.3.
-
Ribenboim 2006 , p. 9.
-
Lucas 1878 , p. 206.
-
Bala 2014 , Anexă (p. 8-10). Singura proprietate a inelului de numere întregi folosite este că este un domeniu integral în GCF . Demonstrația rămâne valabilă în cazuri degenerate.
Vezi și tu
Articole similare
Bibliografie
(ro) Paulo Ribenboim , Numerele mele, prietenii mei: prelegeri populare despre teoria numerelor , Springer ,2006( citește online ) , cap. 1
Link extern
(ro) Eric W. Weisstein , „ Lucas Sequence ” , pe MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">