Transformarea Z

Transforma ation Z este un instrument matematic pentru automată și procesarea semnalului , care este echivalentul discret al transformatei Laplace . Acesta transformă un semnal de domeniu în timp real într - un semnal reprezentat printr - o serie complexă și numit transforma ed Z .

Este folosit printre altele pentru calcularea filtrelor digitale cu răspuns infinit la impuls și în modul automat pentru modelarea sistemelor dinamice într-un mod discret.

Definiție

Definiția sa matematică este următoarea: transformarea în Z este o aplicație care transformă o secvență s (definită pe numere întregi) într-o funcție S a unei variabile complexe numite z , astfel încât

S(z)=Z{s(nu)}=∑nu=-∞+∞s(nu)z-nu,z∈{z∈VS|∑nu=-∞+∞s(nu)z-nuvs.onuverge}{\ displaystyle S (z) = {\ mathcal {Z}} \ {s (n) \} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} s (n) z ^ {- n} , \ quad z \ in \ left \ lbrace z \ in \ mathbb {C} {\ Big |} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} s (n) z ^ {- n} \ quad \ mathrm {converge} \ right \ rbrace}

Variabila n reprezintă în general timp discretizat, variabila complexă z este doar o ființă matematică. Când lucrăm la s ( n ) spunem că suntem în domeniul timpului , când lucrăm la S ( z ) domeniul se numește frecvență prin analogie cu transformata Fourier.

Da , vorbim despre un semnal cauzal. În schimb, da , vorbim despre un semnal anti-cauzal. ∀nu<0, s(nu)=0{\ displaystyle \ forall n <0, \ s (n) = 0}∀nu>0, s(nu)=0{\ displaystyle \ forall n> 0, \ s (n) = 0}

Pentru semnale cauzale, putem folosi și transformata Z monolaterală  :

Z+{s(nu)}=∑nu=0+∞s(nu)z-nu{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {+} \ left \ {s \ left (n \ right) \ right \} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} s \ left (n \ dreapta) z ^ {- n}}

Existența transformării în Z

Domeniul convergenței este subsetul în care converge seria . Cu alte cuvinte, domeniul convergenței transformării în secvență este setul: VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
z{\ displaystyle z}(X(nu))nu∈Z{\ displaystyle (x (n)) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}

{z∈VS|∑nu=-∞∞X(nu)z-nueXeuste}{\ displaystyle \ left \ {z \ in \ mathbb {C} {\ Big |} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \ quad \ mathrm { există} \ right \}}

Subsetul în care converge absolut această serie se numește coroana convergenței . Poziționând , el vine:VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}z=ρeeuθ {\ displaystyle z = \ rho e ^ {i \ theta} ~}

|S(z)|=|∑nu=-∞∞X(nu)z-nu|⩽∑nu=-∞∞|X(nu)|ρ-nu=limNU,M→∞SNU,M(ρ),{\ displaystyle | S (z) | = \ left | \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \ right | \ leqslant \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | x (n) \ right | \ rho ^ {- n} = \ lim _ {N, M \ rightarrow \ infty} S_ {N, M} \ left (\ rho \ dreapta),} cu SNU,M(ρ)=∑nu=-NUM|X(nu)|ρ-nu.{\ displaystyle S_ {N, M} \ left (\ rho \ right) = \ sum _ {n = -N} ^ {M} \ left \ vert x (n) \ right \ vert \ rho ^ {- n} .}

Domeniul convergenței absolute a este deci o coroană S(z){\ displaystyle S (z)}

VSvs.={z∈VS:ρ1≺|z|≺ρ2}{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c} = \ left \ {z \ in \ mathbb {C}: \ rho _ {1} \ prec \ left \ vert z \ right \ vert \ prec \ rho _ {2} \ right \}}

unde înseamnă de fiecare dată sau și unde inegalitatea (largă sau strictă) (resp. ) este condiția necesară și suficientă astfel încât să aibă o limită finită atunci când (resp. ) tinde spre . Explicit, ≺{\ displaystyle \ prec}<{\ displaystyle <}≤{\ displaystyle \ leq}|z|≻ρ1{\ displaystyle \ left \ vert z \ right \ vert \ succ \ rho _ {1}}|z|≺ρ2{\ displaystyle \ left \ vert z \ right \ vert \ prec \ rho _ {2}}SNU,M(ρ){\ displaystyle S_ {N, M} \ left (\ rho \ right)}M{\ displaystyle M}NU{\ displaystyle N}+∞{\ displaystyle + \ infty}

ρ1=lim supnu→+∞|X(nu)|nu,ρ2=lim infnu→+∞1|X(-nu)|nu.{\ displaystyle \ rho _ {1} = \ limsup _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ sqrt [{n}] {\ left \ vert x (n) \ right \ vert}}, \ quad \ rho _ {2} = \ liminf _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ frac {1} {\ sqrt [{n}] {\ left \ vert x (-n) \ right \ vert}}}.}

În restul articolului, coroana de convergență este presupusă a fi neocupată, iar transformările din Z sunt valabile numai pentru . VSvs.{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}z∈VSvs.{\ displaystyle z \ in {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}

Proprietăți de transformare Z

Vă arătăm proprietățile enumerate mai jos:

Linearitatea

Transformarea Z a unei combinații liniare de două semnale este combinația liniară a transformatelor Z ale fiecărui semnal.

Z{la1X1(nu)+la2X2(nu)}=la1Z{X1(nu)}+la2Z{X2(nu)} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {a_ {1} x_ {1} (n) + a_ {2} x_ {2} (n) \} = a_ {1} {\ mathcal {Z}} \ {x_ {1} (n) \} + a_ {2} {\ mathcal {Z}} \ {x_ {2} (n) \} \}Schimbare de timp

Schimbarea timpului a k eșantioane ale unui semnal are ca rezultat înmulțirea transformării Z a semnalului cu z -k .

Z{X(nu-k)}=z-kZ{X(nu)}. {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x (nk) \} = z ^ {- k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \}. ~}Avansat

Când folosim transformata Z monolaterală (a se vedea mai sus), obținem

Z+{X(nu+k)}=zk[Z+{X(nu)}-∑j=0k-1X(j)z-j]{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {+} \ left \ {x \ left (n + k \ right) \ right \} = z ^ {k} \ left [{\ mathcal {Z}} _ { +} \ left \ {x \ left (n \ right) \ right \} - \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} x \ left (j \ right) z ^ {- j} \ right] }Convoluţie

Transformarea Z a unui produs de convoluție este produsul transformatelor Z

Z{X∗y}=Z{X}Z{y} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x * y \} = {\ mathcal {Z}} \ {x \} {\ mathcal {Z}} \ {y \} \}

unde . (X∗y)(nu)=∑k=-∞+∞X(nu-k)y(k){\ displaystyle \ left (x * y \ right) \ left (n \ right) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (nk \ right) y \ left (k \ dreapta)}

Într-adevăr,

Z({X∗y})(z)=∑nu=-∞+∞{X⋆y}(nu)z-nu=∑nu=-∞+∞∑k=-∞+∞X(nu-k)y(k)z-(nu-k)z-k=∑m=-∞+∞∑k=-∞+∞X(m)y(k)z-mz-k=(∑m=-∞+∞X(m)z-m)(∑k=-∞+∞y(k)z-k){\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} Z \ left (\ left \ {x * y \ right \} \ right) \ left (z \ right) & = & \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ left \ {x \ star y \ right \} \ left (n \ right) z ^ {- n} \\ & = & \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ sum \ limits _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (nk \ right) y \ left (k \ right) z ^ {- (nk)} z ^ {-k} \\ & = & \ sum \ limits _ {m = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ sum \ limits _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (m \ right) y \ left (k \ right) z ^ {- m} z ^ {- k} \\ & = & \ left (\ sum \ limits _ {m = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (m \ right) z ^ {- m} \ right) \ left (\ sum \ limits _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} y \ left (k \ right) z ^ {- k } \ right) \ end {array}}}Înmulțirea cu o exponențială Z{lanuX(nu)}=X(zla){\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {a ^ {n} x (n) \} = X \ left ({\ frac {z} {a}} \ right)}cu transformare în Z din următoareleX(z){\ displaystyle X (z)}X(nu){\ displaystyle x (n)} Înmulțirea cu variabila de evoluție

În general:

Z{nukX(nu)}=(-zddz)kZ{X(nu)} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {n ^ {k} x (n) \} = \ left (-z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ right ) ^ {k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \} \}

unde înseamnă că aplicăm de k ori operatorului(-zddz)kZ{X(nu)}{\ displaystyle \ textstyle \ left (-z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ right) ^ {k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \ }}Z{X(nu)}{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \}}-zddz{\ displaystyle \ textstyle -z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}}}

Dacă scriem această formulă la rangul k = 1, obținem formula de derivare  :

Z{nuX(nu)}=-zddzX(z) {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {nx (n) \} = - z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} X (z) \}

Teorema valorii inițiale

Fie un semnal cauzal și transformarea acestuia în Z. Apoi: X(nu){\ displaystyle x (n) \,}X(z){\ displaystyle X (z) \,}

X(0)=limnu→0X(nu)=limz→+∞X(z){\ displaystyle x (0) = \ lim _ {n \ to 0} x (n) = \ lim _ {z \ to + \ infty} X (z)}

Teorema valorii finale

Luați în considerare un semnal cauzal și transformarea acestuia în Z. Atunci când există limita stângă, putem scrie: X(nu){\ displaystyle x (n) \,}X(z){\ displaystyle X (z) \,}

limnu→+∞X(nu)=limz→1,|z|>1(z-1)X(z){\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} x (n) = \ lim _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} (z-1) X (z)} Demonstrație

Teorema valorii inițiale are o dovadă evidentă: este suficient să setați și să înlocuiți y cu 0 în expresia pentru . y=z-1{\ displaystyle y = z ^ {- 1}}X(y-1){\ displaystyle X (y ^ {- 1})}

Pentru teorema valorii finale, rețineți că faptul care există implică secvența este mărginită și, prin urmare, că raza de convergență a este mai mică sau egală cu 1. Avem limnu→+∞X(nu){\ displaystyle \ lim \ nolimits _ {n \ rightarrow + \ infty} x (n)}(X(nu)){\ displaystyle (x (n))}ρ1{\ displaystyle \ rho _ {1}}X(z){\ displaystyle X (z)}

(z-1)X(z)=limnu→∞Snu(z){\ displaystyle (z-1) X \ left (z \ right) = \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} S_ {n} \ left (z \ right)}

cu

Snu(z)=X(0)z+∑eu=1nu(X(eu)-X(eu-1))z-eu{\ displaystyle S_ {n} \ left (z \ right) = x (0) z + \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} \ left (x (i) -x (i-1) \ dreapta) z ^ {- i}}

iar această succesiune de funcții este uniform convergentă în aer liber . Punctul 1 aparține aderenței lui U și pentru , converge la . Conform „teoremei dublei limite”, avem deci U={z∈VS:|z|>1}{\ displaystyle U = \ left \ {z \ in \ mathbb {C}: \ left \ vert z \ right \ vert> 1 \ right \}}z→1{\ displaystyle z \ rightarrow 1}Snu(z){\ displaystyle S_ {n} \ left (z \ right)}X(nu){\ displaystyle x (n)}

limz→1,|z|>1limnu→∞Snu(z)=limnu→∞(limz→1,|z|>1Snu(z))=limnu→∞X(nu).{\ displaystyle \ lim \ limits _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} S_ {n} \ left (z \ right) = \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ lim \ limits _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} S_ {n} \ left (z \ right) \ dreapta) = \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} x \ left (n \ right).}

Transformarea inversă a Z

Transformarea inversă Z este dată de:

X(nu)=Z-1{X(z)}=12πeu∮VSX(z)znu-1dz {\ displaystyle x (n) = {\ mathcal {Z}} ^ {- 1} \ {X (z) \} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anint _ {C} X ( z) z ^ {n-1} \ mathrm {d} z \}

unde este o cale închisă parcursă în sens invers acelor de ceasornic și aparținând în întregime domeniului convergenței. VS{\ displaystyle C}

În practică, acest calcul se efectuează adesea folosind teorema reziduurilor și formula devine în cazul unui semnal cauzal:

X(nu)=∑zk=po^lesdeznu-1X(z)Rez⁡{znu-1X(z)}z=zk{\ displaystyle x (n) = \ sum _ {z_ {k} = {\ rm {p {\ hat {o}} les \; de \;}} z ^ {n-1} X (z)} \ operatorname {Res} \ {z ^ {n-1} X (z) \} _ {z = z_ {k}} \,}

Alte metode de inversare Alte metode de inversiune pentru a trece de la sunt: citirea înapoi de la masa de transformate uzuale; aplicarea regulilor de deplasare, a combinațiilor liniare, a produsului de convoluție. În disperare, se poate încerca întotdeauna să se procedeze prin identificare dând z k +1 valori numerice și căutând coeficienții de la x (0) la x (k) care sunt soluții ale unui sistem de k + 1 ecuații liniare la k + 1 necunoscute. Sau încercați să găsiți o expansiune Taylor sau Maclaurin a funcției care trebuie inversată. Un caz favorabil special apare atunci când funcția este o fracție rațională . De fapt, atunci când: P și Q fiind două polinoame în 1 / z, împărțirea poate fi efectuată până la gradul de precizie dorit, iar valorile numerice ale coeficienților sunt obținute direct , n variind de la 0 la m. În acest caz, notația este adoptată mai mult în acest caz . Motivul este că, pentru sistemele discrete sau eșantionate, funcția de transfer este scrisă h (n) și transformarea sa în Z este adesea prezentată sub această formă de coeficient între o ieșire (în z) și o intrare (în z) . Un exemplu concret pentru a ilustra această abordare:X(z){\ displaystyle X (z)}X(nu){\ displaystyle x (n)} X(z){\ displaystyle X (z)}X(z)=P(z)Î(z){\ displaystyle X (z) = {\ frac {P (z)} {Q (z)}}}X(nu){\ displaystyle x (n)}H(z)=NUUM(z)/DENUOM(z) {\ displaystyle H (z) = {NUM (z)} / {DENOM (z)} \}H(z)=NUUM(z)/DENUOM(z) {\ displaystyle H (z) = {NUM (z)} / {DENOM (z)} \}   Cocient de polinoame în z, aproximare numerică.

Atenție, această metodă este pur numerică, nu oferă expresia analitică a seriei inverse. În acest exemplu, H (z) este raportul a două polinoame în 1 / z. Numărătorul pare a înmulți cu 2 numitorul deplasat cu 1 perioadă, dar alegem valori numerice oarecum inexacte pentru a evita un coeficient perfect egal cu 2 / z.

• Numărătorul, la puterea lui 11, este o expresie a formei: NUUM(z)=nutum0+nutum1(1/z)1+nutum2(1/z)2+⋯+nutum11(1/z)11{\ displaystyle \ textstyle \ scriptstyle NUM (z) = num_ {0} + num_ {1} (1 / z) ^ {1} + num_ {2} (1 / z) ^ {2} + \ cdots + num_ { 11} (1 / z) ^ {11}} NUUM(z)=0+0(1/z)1+2,3⋅(1/z)2+4,22⋅(1/z)3+6,2⋅(1/z)4+8,21⋅(1/z)5+10,2⋅(1/z)6+12,2⋅(1/z)7+12,22⋅(1/z)8+12,4⋅(1/z)9+12,4⋅(1/z)10+12,4⋅(1/z)11.{\ displaystyle NUM (z) = 0 + 0 (1 / z) ^ {1} +2,3 \ cdot (1 / z) ^ {2} +4,22 \ cdot (1 / z) ^ {3} +6,2 \ cdot (1 / z) ^ {4} +8.21 \ cdot (1 / z) ^ {5} +10.2 \ cdot (1 / z) ^ {6} +12.2 \ cdot (1 / z) ^ {7} +12.22 \ cdot (1 / z) ^ {8} +12,4 \ cdot (1 / z) ^ {9} +12,4 \ cdot (1 / z) ^ {10} +12,4 \ cdot (1 / z) ^ {11} .}
• Numitorul, la puterea lui 10, este: DENUOM(z)=0+1,1⋅(1/z)1+2,1⋅(1/z)2+3,1⋅(1/z)3+4,1⋅(1/z)4+5,1⋅(1/z)5+6,1⋅(1/z)6+6,1⋅(1/z)7+6,2⋅(1/z)8+6,2⋅(1/z)9+6,2⋅(1/z)10.{\ displaystyle DENOM (z) = 0 + 1.1 \ cdot (1 / z) ^ {1} +2.1 \ cdot (1 / z) ^ {2} +3.1 \ cdot (1 / z) ^ {3} +4 , 1 \ cdot (1 / z) ^ {4} +5,1 \ cdot (1 / z) ^ {5} +6,1 \ cdot (1 / z) ^ {6} + 6.1 \ cdot (1 / z) ^ {7} +6.2 \ cdot (1 / z) ^ {8} +6.2 \ cdot (1 / z) ^ {9} +6.2 \ cdot (1 / z) ^ {10}.}
• Aici împărțirea polinoamelor nu „cade corect”, suntem mulțumiți de o aproximare a coeficientului Q (z), a formei până la puterea lui 10:
  ∑nu≥0qnu(1/z)nu{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} q_ {n} (1 / z) ^ {n}}
  

Î(z)=0+2,090909⋅(1/z)1-0,155372⋅(1/z)2+0,040421⋅(1/z)3+0,0309047⋅(1/z)4-0,015368⋅(1/z)5+0,007694⋅(1/z)6+0,101526⋅(1/z)7-0,176646⋅(1/z)8+0,061258⋅(1/z)9+0,015904⋅(1/z)10.{\ displaystyle {\ begin {matrix} Q (z) & = 0 + 2.090909 \ cdot (1 / z) ^ {1} -0,155372 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0,040421 \ cdot (1 / z) ^ {3} +0.0309047 \ cdot (1 / z) ^ {4} -0.015368 \ cdot (1 / z) ^ {5} \\ & + 0.007694 \ cdot (1 / z) ^ {6} +0.101526 \ cdot (1 / z) ^ {7} -0.176646 \ cdot (1 / z) ^ {8} +0.061258 \ cdot (1 / z) ^ {9} +0.015904 \ cdot (1 / z) ) ^ {10}. \ End {matrix}}}

• Restul R (z) al acestei diviziuni incomplete este:

R(z)=0+0⋅(1/z)1+0⋅(1/z)2+0⋅(1/z)3+0⋅(1/z)4+0⋅(1/z)5+0⋅(1/z)6+0⋅(1/z)7+0⋅(1/z)8+0⋅(1/z)9+0⋅(1/z)10+0⋅(1/z)11+0,550806⋅(1/z)12-0,413006⋅(1/z)13-0,063683⋅(1/z)14+0,040876⋅(1/z)15-0,052647⋅(1/z)16-0,011071⋅(1/z)17+0,616793⋅(1/z)18-0,478404⋅(1/z)19-0,098602(1/z)20.{\ displaystyle {\ begin {matrix} R (z) & = 0 + 0 \ cdot (1 / z) ^ {1} +0 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0 \ cdot (1 / z ) ^ {3} +0 \ cdot (1 / z) ^ {4} +0 \ cdot (1 / z) ^ {5} +0 \ cdot (1 / z) ^ {6} \\ & + 0 \ cdot (1 / z) ^ {7} +0 \ cdot (1 / z) ^ {8} +0 \ cdot (1 / z) ^ {9} +0 \ cdot (1 / z) ^ {10} + 0 \ cdot (1 / z) ^ {11} +0.550806 \ cdot (1 / z) ^ {12} \\ & - 0.413006 \ cdot (1 / z) ^ {13} -0.063683 \ cdot (1 / z) ^ {14} +0.040876 \ cdot (1 / z) ^ {15} -0.052647 \ cdot (1 / z) ^ {16} \\ & - 0.011071 \ cdot (1 / z) ^ {17} +0.616793 \ cdot (1 / z) ^ {18} -0.478404 \ cdot (1 / z) ^ {19} -0.098602 (1 / z) ^ {20}. \ End {matrix}}}

Putem verifica pe o foaie de calcul sau manual că aceste polinoame corespund definiției diviziunii euclidiene : H (z) = NUM ​​(z) / DENOM (z) = Q (z) + R (z) / DENOM (z) . Presupunem că restul este neglijabil în comparație cu coeficienții coeficientului. Diagramele acestor diferite polinoame pot fi vizualizate pe o foaie de calcul după cum urmează.

Din curiozitate putem afișa răspunsul la impuls al aproximării Q (z) a H (z). În mod similar, putem afișa răspunsul index al lui Q (z) la o etapă Heaviside.

Dacă am fi mulțumiți cu o aproximare mai puțin precisă a lui H (z) de către coeficientul Q (z), al formei

∑nu≥0qnu(1/z)nu{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} q_ {n} (1 / z) ^ {n}} până la puterea lui 5 de exemplu: Î(z)=0+2,090909⋅(1/z)1-0,155372⋅(1/z)2+0,040421⋅(1/z)3+0,0309047⋅(1/z)4-0,015368⋅(1/z)5+0,{\ displaystyle \ textstyle \ scriptstyle Q (z) = 0 + 2.090909 \ cdot (1 / z) ^ {1} -0,155372 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0,040421 \ cdot ( 1 / z) ^ {3} +0.0309047 \ cdot (1 / z) ^ {4} -0.015368 \ cdot (1 / z) ^ {5} +0,} am obține curbe de răspuns ușor diferite, mult mai puțin precise (imprecizie de 6 ori mai mare aproximativ). Alegerea gradului de aproximare, cu alte cuvinte a celui mai bun compromis între precizia și greutatea calculelor, este dictată de examinarea concretă a problemei specifice cu care ne confruntăm.   Procesul prin identificarea aproximativă a coeficienților lui X (z). Pentru a merge de la , dacă nici o metodă nu pare să conducă, în disperare putem încerca întotdeauna să procedăm prin identificare dând z k + 1 valori numerice și căutând coeficienții de la x (0) la x (k) care sunt soluții ale un sistem de k + 1 ecuații liniare cu k + 1 necunoscute. Exemplu:X(z){\ displaystyle X (z)}X(nu){\ displaystyle x (n)}   Utilizarea fracțiilor raționale, exemplu al funcției de transfer a secvenței Fibonacci.

Seria generatoare a secvenței Fibonacci este ∑nu∈NUFnuXnu=X1-X-X2{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ mathcal {F}} _ {n} X ^ {n} = {\ frac {X} {1-XX ^ {2}}}} deci transformarea sa în Z este

F(z)=zz2-z-1{\ displaystyle F (z) = {\ frac {z} {z ^ {2} -z-1}}}

Pentru a găsi formula lui Binet , să facem transformarea inversă. Metoda fracțiilor raționale poate fi încercată. Numitorul are doi poli, și care sunt numărul de aur  : și opusul opusul ei: . Pentru calculele întâlnite mai jos, vom folosi următoarele proprietăți ale și  :, și z0{\ displaystyle z_ {0}}z1{\ displaystyle z_ {1}}z0=φ=1+52{\ displaystyle z_ {0} = \ varphi = {1 + {\ sqrt {5}} \ over 2}}z1=1-φ=1-52{\ displaystyle z_ {1} = 1- \ varphi = {1 - {\ sqrt {5}} \ over 2}}z0{\ displaystyle z_ {0}}z1{\ displaystyle z_ {1}}z0-z1=(2⋅z0-1)=5{\ displaystyle z_ {0} -z_ {1} = (2 \ cdot z_ {0} -1) = {\ sqrt {5}}}

(z-z0)⋅(z-z1)=z2-z-1{\ displaystyle (z-z_ {0}) \ cdot (z-z_ {1}) = z ^ {2} -z-1}.

Funcția se descompune în fracții raționale elementare pe care le rescriem puțin:

F(z)=zz2-z-1=15⋅(z0z-z0-z1z-z1)=15⋅(z0⋅1z-z0-z1⋅1z-z1){\ displaystyle F (z) = {\ frac {z} {z ^ {2} -z-1}} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ cdot \ left ({\ frac { z_ {0}} {z-z_ {0}}} - {\ frac {z_ {1}} {z-z_ {1}}} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {5}} } \ cdot \ left (z_ {0} \ cdot {\ frac {1} {z-z_ {0}}} - z_ {1} \ cdot {\ frac {1} {z-z_ {1}}} \ dreapta)}.

O fracțiune din acest tip poate fi prelucrată după cum urmează: 1/(z-z0){\ displaystyle 1 / (z-z_ {0})}

1(z-z0)=z(z-z0)⋅1z{\ displaystyle {\ frac {1} {(z-z_ {0})}} = {\ frac {z} {(z-z_ {0})}} \ cdot {\ frac {1} {z}} }

Prima parte este transformarea formulei exponențiale obișnuite, a doua parte 1 / z fiind întârzierea pură a unei crestături. Astfel încât transformarea inversă a acestei fracții elementare este , prin aplicarea regulilor combinațiilor liniare, calculăm secvența căutată: z0nu{\ displaystyle z_ {0} ^ {n}}z0nu-1{\ displaystyle z_ {0} ^ {n-1}}

Fnu=15(z0⋅z0nu-1-z1⋅z1nu-1)=15(z0nu-z1nu).{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ left (z_ {0} \ cdot z_ {0} ^ {n-1} -z_ {1} \ cdot z_ {1} ^ {n-1} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ left (z_ {0} ^ {n} -z_ {1} ^ {n} \ dreapta).}  

Relația cu alte transformări

Transformarea Laplace

Teorema  -  Fie x un semnal, presupus a fi o funcție diferențiată pe termen nelimitat și (cu suprascriere, denotând o distribuție ca funcție)

Δ(t)=∑nu=-∞∞δ(t-nuT){\ displaystyle \ Delta \ left (t \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (t-nT \ right)}

pieptenul Dirac (care aparține spațiului distribuțiilor temperate ). Semnalul eșantionat , definit de , este o distribuție care poate fi scrisă ca S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Xe=XΔ{\ displaystyle x_ {e} = x \ Delta}

Xe(t)=∑nu=-∞∞X(nuT)δ(t-nuT)=∑nu=-∞∞X[nu]δ(t-nuT){\ displaystyle x_ {e} \ left (t \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) \ delta \ left (t-nT \ right ) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left [n \ right] \ delta \ left (t-nT \ right)}.

Corespondența este o surjecție a benzii de convergență a transformatei Laplace a semnalului eșantionat (presupunând această bandă de convergență non-goală) pe coroana de convergență a transformatei Z a secvenței termenului general și avem p↦z=epT{\ displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}} Xe(p){\ displaystyle X_ {e} (p)}Xe{\ displaystyle x_ {e}}X(z){\ displaystyle X (z)}X[nu]{\ displaystyle x [n]}

Xe(p)=X(z)|z=epT{\ displaystyle X_ {e} \ left (p \ right) = X \ left (z \ right) \ left \ vert _ {z = e ^ {pT}} \ right.}. Demonstrație

Fie aparținând benzii de convergență a . Apoi (cu un nou abuz de scriere) aparține și prin definiție unde denotă transformata Fourier . Fie unde este spațiul Schwartz al funcțiilor în declin (dintre care dualul). Avem (încă în scriere necorespunzătoare) p=α+euω{\ displaystyle p = \ alpha + i \ omega}Xe(p){\ displaystyle X_ {e} (p)}e-αtXe(t){\ displaystyle e ^ {- \ alpha t} x_ {e} (t)}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Xe(p)=F(e-αtXe(t))(ω){\ displaystyle X_ {e} \ left (p \ right) = {\ mathcal {F}} \ left (e ^ {- \ alpha t} x_ {e} \ left (t \ right) \ right) \ left ( \ omega \ right)}F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}ϕ∈S{\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {S}}}S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}

⟨Xe(α+euω),φ(ω)⟩=⟨Xe(t)e-αt,(Fφ)(t)⟩=⟨∑nu=-∞∞δ(t-nuT)X(t)e-αt,(Fφ)(t)⟩=⟨∑nu=-∞∞X(nuT)e-nuαTδ(t-nuT),(Fφ)(t)⟩=⟨∑nu=-∞∞X(nuT)e-nuαT(Fδ(t-nuT)),φ(ω)⟩=⟨∑nu=-∞∞X(nuT)e-nuαTe-euωnuT,φ(ω)⟩=⟨∑nu=-∞∞X(nuT)e-nu(α+euω)T,φ(ω)⟩{\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle & = \ left \ langle x_ {e} \ left (t \ right) e ^ {- \ alpha t}, ({\ mathcal {F}} \ varphi) \ left (t \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (t-nT \ right) x \ left (t \ right) e ^ {- \ alpha t}, ({\ mathcal { F}} \ varphi) \ left (t \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n \ alpha T} \ delta \ left (t-nT \ right), ({\ mathcal {F}} \ varphi) \ left (t \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n \ alpha T} ({\ mathcal {F}} \ delta \ left (t- nT \ right)), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n \ alpha T} e ^ {- i \ omega nT}, \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ { n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n (\ alpha + i \ omega) T}, \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle \ sfârșit {aliniat}}}

prin urmare

Xe(p)=X(z)|z=epT{\ displaystyle X_ {e} (p) = X \ left (z \ right) \ left \ vert _ {z = e ^ {pT}} \ right.}.

Egalitățile de mai sus sunt valabile deoarece, în fiecare cârlig al dualității, avem în stânga o distribuție temperată și în dreapta o funcție în declin; prin urmare, substituția trimite banda convergența a semnalului eșantionat în inelul de convergență al . p↦z=epT{\ displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}}Bvs.{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c}}Xe(p){\ displaystyle X_ {e} (p)}Xe{\ displaystyle x_ {e}}VSvs.{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}X(z){\ displaystyle X (z)}

Reciproc, să fie secvența termenilor generali  ; să ne stabilim și . Numărul complex aparține dacă, și numai dacă secvența termenilor generali aparține spațiului „secvențelor cu creștere lentă” (adică a secvențelor a pentru care există un număr întreg ca pentru . Transformata Fourier a unei astfel de continuări este - distribuție periodică X[nu]{\ displaystyle x \ left [n \ right]}Xα[nu]=X[nu]e-αnuT{\ displaystyle x _ {\ alpha} \ left [n \ right] = x \ left [n \ right] e ^ {- \ alpha nT}}p=α+euω{\ displaystyle p = \ alpha + i \ omega}z=epT{\ displaystyle z = e ^ {pT}}VSvs.{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}Xα[nu]{\ displaystyle x _ {\ alpha} \ left [n \ right]}s′{\ displaystyle \ mathbf {s} ^ {\ prime}}k>0{\ displaystyle k> 0}la[nu]=O(nuk){\ displaystyle a \ left [n \ right] = O (n ^ {k})}nu→∞{\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}2π/T{\ displaystyle 2 \ pi / T}

(Fla)(ω)=∑nu=-∞∞la[nu]e-eunuωT{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} a) \ left (\ omega \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a \ left [n \ right] e ^ { -in \ omega T}}.

Să asociem secvența cu distribuția definită (în notație abuzivă) de la_{\ displaystyle {\ underline {a}}}

la_(t)=∑nu=-∞∞la[nu]δ(t-nuT){\ displaystyle {\ underline {a}} \ left (t \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a \ left [n \ right] \ delta \ left (t- nT \ dreapta)}.

Harta este un monomorfism al spațiului distribuțiilor temperate, iar transformata Fourier este un automorfism al . Apoi obținem (încă în notație abuzivă) la↦la_{\ displaystyle a \ mapsto {\ underline {a}}}s′{\ displaystyle \ mathbf {s} ^ {\ prime}}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}

(Fla)(ω)=la_(t)e-euωt{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} a) \ left (\ omega \ right) = {\ underline {a}} \ left (t \ right) e ^ {- i \ omega t}}.

Cele de mai sus arată că

⟨Xe(α+euω),φ(ω)⟩=⟨(FXα_)(ω),φ(ω)⟩.{\ displaystyle \ left \ langle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle = \ left \ langle ({\ mathcal {F} } {\ underline {x _ {\ alpha}}}) \ left (\ omega \ right), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle.}

Să recapitulăm: dacă , atunci , prin urmare , prin urmare , prin urmare (notație abuzivă) , prin urmare . Prin urmare, am arătat că corespondența este o surjecție de pe . z∈VSvs.{\ displaystyle z \ in {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}(Xα[nu])∈s′{\ displaystyle \ left (x _ {\ alpha} \ left [n \ right] \ right) \ in \ mathbf {s} ^ {\ prime}}Xα_∈S′{\ displaystyle {\ underline {x _ {\ alpha}}} \ in {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}FXα_∈S′{\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ underline {x _ {\ alpha}}} \ în {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Xe(α+euω)∈S′{\ displaystyle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right) \ în {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}p∈Bvs.{\ displaystyle p \ in {\ mathcal {B}} _ {c}}p↦z=epT{\ displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}}Bvs.{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c}}VSvs.{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}

Transformată Fourier și transformată Fourier discretă

Dacă cercul unitar aparține coroanei de convergență , transformata Fourier a secvenței se obține luând restricția transformatei Z a acestei secvențe la cercul unitar, adică prin poziționare . Transformata Fourier este , de fapt, -periodic funcția (este -periodic dacă am stabilit și să ia pulsație ca o variabilă ). În cazul în care este o secvență de numere reale, ne - am , prin urmare, se poate presupune că variază în intervalul . VSvs.{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}(X[nu]) {\ displaystyle (x [n]) \}z=eeuθ{\ displaystyle z = e ^ {i \ theta}}2π{\ displaystyle 2 \ pi}θ↦X(eeuθ){\ displaystyle \ theta \ mapsto X \ left (e ^ {i \ theta} \ right)}2π/T{\ displaystyle 2 \ pi / T}θ=ωT{\ displaystyle \ theta = \ omega T}ω{\ displaystyle \ omega}(X[nu]) {\ displaystyle (x [n]) \}X(e-euθ)=X(eeuθ)¯{\ displaystyle X \ left (e ^ {- i \ theta} \ right) = {\ overline {X \ left (e ^ {i \ theta} \ right)}}}θ{\ displaystyle \ theta}[0,π[{\ displaystyle \ left [0, \ pi \ right [}

Transformare Fourier poate fi definită pentru secvențe care cresc lent (este apoi un -periodic de distribuție ) și Z transforma din această Fourier mai generală de transformare (vezi demonstrația de mai sus). 2π{\ displaystyle 2 \ pi}

Există, de asemenea, o relație între transformata Z și transformata Fourier discretă (DFT). TFD-ul unui semnal de suport se obține prin evaluarea în (cu ). {Xnu}{\ displaystyle \ left \ {x_ {n} \ right \}}{0,1,...,NU-1}{\ displaystyle \ left \ {0,1, ..., N-1 \ right \}}X(z){\ displaystyle X (z)}z=eeu2πkNU{\ displaystyle z = e ^ {i {\ frac {2 \ pi k} {N}}}}k=0,1,...,NU-1{\ displaystyle \ qquad k = 0,1, ..., N-1}

Z se transformă de obicei

Mai jos, reprezintă impulsul unitar sau „secvența Kronecker  ” (egal cu 1 pentru și 0 în caz contrar; se poate scrie și , unde este simbolul Kronecker ); pe de altă parte, desemnează pasul unitar (egal cu 1 pentru și cu 0 altfel). δ[nu]{\ displaystyle \ delta [n] \,}nu=0{\ displaystyle n = 0}δ0nu{\ displaystyle \ delta _ {0} ^ {n}}δeuj{\ displaystyle \ delta _ {i} ^ {j}}tu[nu]{\ displaystyle u [n] \,}nu≥0{\ displaystyle n \ geq 0}

Z se transformă

	Semnal X(nu){\ displaystyle x (n)}	Transformat în Z X(z){\ displaystyle X (z)}	Zona de convergență
1	δ[nu]{\ displaystyle \ delta [n] \,}	1{\ displaystyle 1 \,}	VS {\ displaystyle \ mathbb {C} \}
2	tu[nu]{\ displaystyle u [n] \,}	11-z-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
3	nutu[nu]{\ displaystyle nu [n] \,}	z-1(1-z-1)2{\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1}} {(1-z ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
4	lanutu[nu]{\ displaystyle a ^ {n} u [n] \,}	11-laz-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}	|z|>|la|{\ displaystyle | z |> | a | \,}
5	nulanutu[nu]{\ displaystyle na ^ {n} u [n] \,}	laz-1(1-laz-1)2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|>|la|{\ displaystyle | z |> | a | \,}
6	-lanutu[-nu-1]{\ displaystyle -a ^ {n} u [-n-1] \,}	11-laz-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}	|z|<|la|{\ displaystyle | z | <| a | \,}
7	-nulanutu[-nu-1]{\ displaystyle -na ^ {n} u [-n-1] \,}	laz-1(1-laz-1)2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|<|la|{\ displaystyle | z | <| a | \,}
8	cos⁡(ω0nu)tu[nu]{\ displaystyle \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	1-z-1cos⁡(ω0)1-2z-1cos⁡(ω0)+z-2{\ displaystyle {\ frac {1-z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2}}}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
9	păcat⁡(ω0nu)tu[nu]{\ displaystyle \ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	z-1păcat⁡(ω0)1-2z-1cos⁡(ω0)+z-2{\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1} \ sin (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2} }}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
10	lanucos⁡(ω0nu)tu[nu]{\ displaystyle a ^ {n} \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	1-laz-1cos⁡(ω0)1-2laz-1cos⁡(ω0)+la2z-2{\ displaystyle {\ frac {1-az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2 } z ^ {- 2}}}}	|z|>|la|{\ displaystyle | z |> | a | \,}
11	lanupăcat⁡(ω0nu)tu[nu]{\ displaystyle a ^ {n} \ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	laz-1păcat⁡(ω0)1-2laz-1cos⁡(ω0)+la2z-2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1} \ sin (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2} z ^ {- 2}}}}	|z|>|la|{\ displaystyle | z |> | a | \,}

Note și referințe

Note

1. Bourlès 2010 , §12.3.5
2. Conform Lang 1993 , §II.2
3. Bourlès 2010 , §§12.3.5, 12.4.4; Pallu de la Barrière 1966 , Cap. II
4. Bourlès 2010 , §10.2.3
5. Am inversat într-o etapă a calculului și ceea ce putem justifica ( Schwartz 1965 , §V.5)F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}∑{\ displaystyle \ sum}
6. Bourlès 2010 , §12.3.2
7. Pallu de la Barrière 1966 , Cap. 10, §4, Lema 9.
8. Bourlès 2010 , §§12.3.3, 12.3.5

Referințe

• Henri Bourlès , Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010, 544  p. ( ISBN  978-1-84821-162-9 și 1-84821-162-7 )
• (ro) Serge Lang , Complex Analysis (ediția a treia) , New York / Berlin / Paris etc., Springer,1993, 458  p. ( ISBN  0-387-97886-0 )
• Robert Pallu de la Barrière , curs de automatizare teoretică , Dunod,1966
• Laurent Schwartz , Metode matematice pentru științele fizice , Hermann,1965

Vezi și tu

• Filtru digital
• Transformarea Laplace # Valoarea finală
• Funcție de transfer

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">