În matematică , topologia geometrică este studiul varietăților și a aplicațiilor dintre ele, în special încastrările unei varietăți în altele.
Câteva exemple de subiecte în topologia geometrică sunt orientabilitatea , descompunerea în golfuri , planeitatea locală și teorema Jordan-Schoenflies în plan și în dimensiuni superioare.
În toate dimensiunile , grupul fundamental al unei varietăți este un invariant foarte important și determină o mare parte a structurii; dimensiuni 1, 2 și 3, posibile grupuri sunt limitate , dar în dimensiune 4 și dincolo de orice prezentare finită de grup este grupul fundamental al unui colector (este suficient pentru a demonstra acest lucru în dimensiunile 4 și 5, apoi să ia produse de sfere pentru a obțineți dimensiunile superioare).
În topologia cu dimensiuni reduse , suprafețele (2-manifolduri), 3-manifolds și 4-dimensional (în) , sunt familii fiecare având propria sa teorie, între care există conexiuni.
Teoria nodurilor este studiul încastrărilor cercurilor (dimensiunea 1) într-un spațiu tridimensional .
În topologia cu dimensiuni superioare, invarianții de bază sunt clasele caracteristice, iar teoria chirurgiei este o abordare de succes.
Topologia cu dimensiuni reduse este puternic geometrică, așa cum se reflectă în teorema de uniformizare bidimensională - orice suprafață admite o metrică riemanniană de curbură constantă, care permite clasificarea în trei geometrii: sferice (curbură pozitivă), plate (curbură zero)) sau hiperbolice (negativ curbura) - și conjectură geometrizare a Thurston (demonstrat de Perelman ) în dimensiune 3 - oricare 3-colector poate fi tăiat în bucăți fiecare dintre care are opt geometrii posibile.
Topologia din dimensiunea 2 poate fi studiată ca o geometrie complexă într-o singură variabilă ( suprafețele Riemann sunt varietăți complexe ale dimensiunii 1) - prin teorema uniformizării, orice clasă conformă de metrică este echivalentă cu o singură metrică complexă - iar topologia din dimensiunea 4 poate să fie studiat din punctul de vedere al geometriei complexe în două variabile (suprafețe complexe); totuși, o varietate 4-dimensională nu admite întotdeauna o structură complexă.
Teoria este organizată într-un mod radical diferit, în funcție de faptul dacă este vorba de soiuri mari sau mici.
Ceea ce se numește „topologie în dimensiuni superioare” corespunde multitudinilor dimensiunii 5 și dincolo sau, în termeni relativi, încorporărilor codimensiunii 3 și mai sus, în timp ce „topologia dimensiunii de bază” se referă la varietăți de dimensiuni până la 4 sau codimension mai mici sau egal cu 2 încorporări.
Dimensiunea 4 este deosebită: este legată de dimensiunile superioare prin anumite aspecte ( topologice ) și de dimensiunile reduse de către altele ( diferențiate ); această suprapunere aduce fenomene specifice dimensiunii 4, cum ar fi structuri exotice diferențiate pe ℝ 4 (în) . Astfel, clasificarea topologică a varietăților 4-dimensionale este în principiu ușoară și întrebările cheie sunt: are o varietate topologică dată structuri diferențiabile și dacă da, câte? În special, cazul neted al dimensiunii 4 este ultimul caz deschis al conjecturii generalizate Poincaré (în) (a se vedea torsiunile Gluck ).
Această distincție se datorează faptului că teoria chirurgiei funcționează pentru varietăți de dimensiuni mai mari sau egale cu 5 (și chiar în dimensiunea 4 pentru aspectul topologic, dar este foarte dificil de demonstrat) și controlează algebric comportamentul lor. În dimensiunea mai mică sau egală cu 4 (sau 3 pentru aspectele topologice), intervenția chirurgicală nu funcționează și apar alte fenomene. De fapt, o abordare cu dimensiuni reduse este de a întreba: „Ce ar prezice teoria chirurgiei, dacă ar fi aplicabilă?” Și înțelegeți fenomenele cu dimensiuni reduse ca abateri de la asta.
Motivul precis al punctului de decupare în 5 dimensiuni este că în teorema de încorporare a lui Whitney , trucul tehnic cheie din spatele teoriei chirurgiei necesită 2 + 1 dimensiuni. Practic, trucul lui Whitney face posibilă „dezlegarea” sferelor înnodate, mai exact: a face o ablație a intersecțiilor de sine ale imersiunilor; face acest lucru printr-o homotopie a unui disc - discul are dimensiunea 2 și homotopia adaugă o dimensiune - deci în codimensiunea mai mare de 2, acest lucru se poate face fără auto-intersecție, astfel încât încorporările de codimensiune mai mare de 2 să poată fi înțelese prin operație. Trucul lui Whitney funcționează atunci când jumătatea dimensiunii este codimensiunea mai mare de 2 (aproximativ 2½ este suficient, deci o dimensiune totală de 5 este suficientă). O consecință importantă este teorema pm -cobordisme (in) a lui Smale în dimensiune mai mare sau egală cu 5, care stă la baza teoriei chirurgiei.
Putem considera că topologia geometrică, ca un câmp distinct de topologia algebrică , a apărut din clasificarea spațiilor lenticulare în 1935 prin torsiunea Reidemeister (en) , care cerea să distingă spațiile echivalente din punct de vedere homotopic, dar nu homeomorfe . Aceasta a fost originea teoriei homotopiei simple (în) .