Teorema lui Borel
În matematică , teorema lui Borel , sau lema lui Borel , este un rezultat al analizei , existența funcțiilor seriei Taylor arbitrare.
A fost demonstrat în 1884 de Giuseppe Peano și în 1895 de Émile Borel . Anterior, în 1876, Paul du Bois-Reymond dăduse un prim exemplu de serie Taylor care divergea în toate punctele, nu zero. Teorema lui Borel generalizează acest rezultat.
Afirmație simplă
Pentru rezultatul de numere complexe , există o funcție de clasă , a unei variabile reale și valori complexe, definite aproape de 0,
(lanu){\ displaystyle (a_ {n})}
f{\ displaystyle f}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}![C ^ {{\ infty}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971ed05871d69309df32efdfd2020128c9cf69d8)
∀nu∈NUf(nu)(0)=lanu.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad f ^ {(n)} (0) = a_ {n}.}
Rezultat
O consecință a acestei teoreme este că există funcții diferite de seria lor Taylor pe orice vecinătate de 0, este suficient să luăm funcția asociată cu secvența .
f{\ displaystyle f}
((nu!)2){\ displaystyle \ left ((n!) ^ {2} \ right)}![{\ displaystyle \ left ((n!) ^ {2} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed72c56f8de11bcd7d3e660e95853d495d1424f8)
Afirmație generală
Să fie o deschisă a și o secvență de valori complexe de clasă funcții pe . Apoi, există o funcție de clasă complexă , soluție a ecuației diferențiale parțiale :
U{\ displaystyle U}
Rnu{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
(fnu){\ displaystyle (f_ {n})}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
U{\ displaystyle U}
F=F(t,X){\ displaystyle F = F (t, x)}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
R×U{\ displaystyle \ mathbb {R} \ times U}![{\ displaystyle \ mathbb {R} \ times U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c67015b40fb2bd64ea7e0aef965cf77819fc10)
∀k∈NU∀X∈U∂kF∂tk(0,X)=fk(X).{\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall x \ in U \ qquad {\ frac {\ partial ^ {k} F} {\ partial t ^ {k}}} (0, x) = f_ {k} (x).}
Există dovezi constructiviste pentru acest rezultat.
Note și referințe
-
Claude Sabbah , Distribuții în urma lui Laurent Schwartz , ed. École Polytechnique, 2003, p. 3 .
-
Jean-Michel Bony , Curs de analiză: teoria distribuției și analiza Fourier , ed. École Polytechnique, 2001, p. 76 .
-
Jacques Lafontaine, Introducere în soiurile diferențiale [ detaliile edițiilor ], 2010, p. 88 .
-
Alain Chenciner , Curbe algebrice plane , Springer, 2007, p. 74 .
-
Dany-Jack Mercier și Jean-Étienne Rombaldi, Annals of external CAPES 1999-2005: 15 probleme corectate , Publibook, 2005, p. 127 .
-
Serge Alinhac și Patrick Gérard, Operatori pseudo-diferențiali și teorema Nash-Moser , EDP Sciences , 1991, p. 31 .
-
(It) A. Genocchi, G. Peano, Calculo differenziale e principi di calcolo integrale , Fratelli Bocca, Roma, 1884, paragraful 67 .
-
(în) Ádám Besenyei , " Dovada neobservată a lui Peano a teoremei lui Borel " , Amer. Matematica. Lunar , vol. 121, nr . 1,Ianuarie 2014, p. 69-72 ( citește online ).
-
É. Borel, Despre unele puncte ale teoriei funcțiilor, Ann. Știință. Ec. Normă. Grozav. 12 (1895) 9-55.
-
(din) P. du Bois-Reymond, Über den Gültigkeitsbereich der Taylorschen Reihenentwickelung, Sitzungsb. k. Bayer. Akad. Wiss., Math.-phys. Klasse (1876) 225-237 sau Math. Ann. 21 (1883) 107-119.
-
(în) Martin Golubitsky (de) și Victor Guillemin , Stable mappings and Their singularities , New York, Springer , al. „ GTM ” ( nr . 14)1974, 3 e ed. , 209 p. ( ISBN 978-0-387-90073-5 , LCCN 73018276 ).
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">