Funcție regulată non-analitică
În matematică , funcțiile obișnuite (adică funcțiile diferențiate la infinit) și funcțiile analitice sunt două tipuri comune și importante între funcții. Dacă putem demonstra că orice funcție analitică reală este regulată, inversul este fals.
Una dintre aplicațiile funcțiilor regulate cu suport compact este construirea funcțiilor de regularizare , care sunt utilizate în teoria funcțiilor generalizate, cum ar fi teoria distribuțiilor lui Laurent Schwartz .
Existența funcțiilor regulate, dar non-analitice, reprezintă diferența dintre geometria diferențială și geometria analitică. În termeni topologici, putem defini această diferență după cum urmează: prefamul funcțiilor diferențiate pe o varietate diferențiată este bine , spre deosebire de cazul analitic.
Funcțiile prezentate în acest articol sunt utilizate în general pentru a construi partiții de unitate pe varietăți diferențiate.
Funcție regulată și non-analitică la un moment dat
Considerăm funcția pe linia reală:
f(X)={exp(-1/X) dacă X>0,0 dacă X≤0,{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} \ exp (-1 / x) & {\ text {si}} x> 0, \\ 0 & {\ text {si}} x \ leq 0, \ end {cases}}}Funcția este regulată
Funcțiile derivate de orice ordine de f sunt continue pe linia reală, cu:
f(nu)(X)={pnu(X)X2nuf(X) dacă X>0,0 dacă X≤0,{\ displaystyle f ^ {(n)} (x) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {p_ {n} (x)} {x ^ {2n}}} \, f (x) & { \ text {si}} x> 0, \\ 0 & {\ text {si}} x \ leq 0, \ end {cases}}}unde p n ( x ) este un polinom de grad n - 1 definit sub p 1 ( x ) = 1 și
pnu+1(X)=X2pnu′(X)-(2nuX-1)pnu(X),nu∈NU.{\ displaystyle p_ {n + 1} (x) = x ^ {2} p_ {n} '(x) - (2nx-1) p_ {n} (x), \ qquad n \ in \ mathbb {N} .}
Demonstrație
Dovada se bazează pe faptul că, pentru orice număr întreg pozitiv m ,
limX→0+e-1/XXm=0.{\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {e ^ {- 1 / x}} {x ^ {m}}} = 0.}Într-adevăr, folosind expansiunea în serie a funcției exponențiale, avem pentru orice număr întreg m :
1Xm=X(1X)m+1≤(m+1)!X∑nu=0∞1nu!(1X)nu=(m+1)!Xexp(1X),X>0,{\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {m}}} = x \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) ^ {m + 1} \ leq (m + 1)! \ , x \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) ^ {n} = (m + 1)! \, X \ exp \ left ({\ frac {1} {x}} \ right), \ qquad x> 0,}din care deducem
limX→0+e-1/XXm≤(m+1)!limX→0+X=0.{\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {e ^ {- 1 / x}} {x ^ {m}}} \ leq (m + 1)! \ lim _ {x \ rightarrow 0 ^ {+}} x = 0.}Dovada formulei derivatei ordinii n a f se va face prin inducție. Regulile obișnuite de calcul arată că
f′(X)={1X2f(X) dacă X>0,0 dacă X≤0,{\ displaystyle f '(x) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {2}}} \, f (x) și {\ text {si}} x> 0, \ \ 0 & {\ text {si}} x \ leq 0, \ end {cases}}}Rămâne să ne asigurăm de continuitate, astfel încât limita din dreapta lui f ' la x = 0 să fie într-adevăr zero. Aur,
f′(0)=limX→0+f(X)-f(0)X-0=limX→0+e-1/XX=0.{\ displaystyle f '(0) = \ lim _ {x \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {f (x) -f (0)} {x-0}} = \ lim _ {x \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {e ^ {- 1 / x}} {x}} = 0.}Recurența de la n la n + 1 este prezentată într-un mod similar. Pentru x > 0, avem
f(nu+1)(X)=(pnu′(X)X2nu-2nupnu(X)X2nu+1+pnu(X)X2nu+2)f(X)=X2pnu′(X)-(2nuX-1)pnu(X)X2nu+2f(X)=pnu+1(X)X2(nu+1)f(X),{\ displaystyle {\ begin {align} f ^ {(n + 1)} (x) & = \ left ({\ frac {p '_ {n} (x)} {x ^ {2n}}} - 2n {\ frac {p_ {n} (x)} {x ^ {2n + 1}}} + {\ frac {p_ {n} (x)} {x ^ {2n + 2}}} \ right) f (x) \\ & = {\ frac {x ^ {2} p '_ {n} (x) - (2nx-1) p_ {n} (x)} {x ^ {2n + 2}}} f (x) \\ & = {\ frac {p_ {n + 1} (x)} {x ^ {2 (n + 1)}}} f (x), \ end {align}}}unde p n +1 ( x ) este un polinom de grad n = ( n + 1) - 1. Este evident că derivata ( n + 1) e a lui f este zero pentru x <0. Limita dreaptă a lui f ( n ) din x = 0 se obține prin
limX→0+f(nu)(X)-f(nu)(0)X-0=limX→0+pnu(X)X2nu+1e-1/X=0.{\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {f ^ {(n)} (x) -f ^ {(n)} (0)} {x-0}} = \ lim _ {x \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {p_ {n} (x)} {x ^ {2n + 1}}} \, e ^ {- 1 / x} = 0.}Astfel, funcțiile f ( n ) sunt toate continue și diferențiate la x = 0.
Funcția nu este analitică
Funcția f este, prin urmare, nedefinibil diferențiată la 0, iar valorile derivatelor sale succesive la 0 sunt toate zero. Astfel, expansiunea seriei Taylor a lui f converge în toate punctele către funcția nulă:
∑nu=0∞f(nu)(0)nu!Xnu=∑nu=0∞0nu!Xnu=0,X∈R,{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}} x ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {0} {n!}} x ^ {n} = 0, \ qquad x \ in \ mathbb {R},}iar expansiunea în serie a lui f ( x ) nu converge la f ( x ) pentru x > 0. Astfel, f nu este analitic la 0.
Studiați pe planul complex
Această patologie nu apare în studiul funcției în cadrul analizei complexe ; într-adevăr, toate funcțiile holomorfe sunt analitice.
Observăm că dacă f are derivate de toate ordinele pe linia reală, continuarea analitică a lui f pe jumătatea liniei pozitive x > 0 în planul complex, definită de
VS∖{0}∋z↦exp(-1/z)∈VS,{\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \} \ ni z \ mapsto \ exp (-1 / z) \ in \ mathbb {C},}are o singularitate esențială la origine și, prin urmare, nu este continuă, darămite analitică. Prin marea teoremă a lui Picard , atinge orice valoare complexă (cu excepția 0) infinit de des în orice cartier al originii.
Funcție regulată și non-analitică pe întreaga linie reală
Putem construi o funcție continuă și derivabilă peste tot, dar nicăieri analitică prin intermediul unei serii Fourier . Noi intrebam:
F(X): =∑k=0+∞e-2kcos(2kX) .{\ displaystyle F (x): = \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} e ^ {- {\ sqrt {2 ^ {k}}}} \ cos (2 ^ {k} x) \ .}Deoarece seria converge pentru toate n ∈ N , funcția poate fi ușor arătată a fi din clasa C ∞ , prin convergență normală , și teorema limitei sub semnul derivat. Mai mult, pentru orice multiplu rațional diadic al lui π, avem, pentru toate x : = π p ⁄ 2 q cu p , q ∈ N și orice ordine de derivare sub forma 2 n , n ≥ 2, 2 n > q , noi avea :
∑e-2k2knu{\ displaystyle \ sum e ^ {- {\ sqrt {2 ^ {k}}}} 2 ^ {kn}}
F(2nu)(X): =∑k∈NUe-2k2knucos(2kX)=∑k∈NU2k>qe-2k2knu+∑k∈NU2k≤qe-2k2knucos(2kX)≥e-nununu+O(qnu)(poturnu→∞){\ displaystyle F ^ {(2 ^ {n})} (x): = \ sum _ {k \ in \ mathbb {N}} e ^ {- {\ sqrt {2 ^ {k}}}} 2 ^ {kn} \ cos (2 ^ {k} x) = \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} \ atop 2 ^ {k}> q} e ^ {- {\ sqrt {2 ^ {k}} }} 2 ^ {kn} + \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} \ atop 2 ^ {k} \ leq q} e ^ {- {\ sqrt {2 ^ {k}}}} 2 ^ { kn} \ cos (2 ^ {k} x) \ geq e ^ {- {\ sqrt {n}}} n ^ {n} + O (q ^ {n}) \ quad (\ mathrm {for} \; n \ to \ infty)}folosind faptul că cos (2 k x ) = 1 pentru toate k astfel încât 2 k > q . Prin urmare, pentru toate x ∈ R
lim supnu→∞(|F(nu)(X)|nu!)1/nu=+∞,{\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {| F ^ {(n)} (x) |} {n!}} \ right) ^ {1 / n} = + \ infty \ ,,}și, prin urmare, raza de convergență a seriei Fourier a lui F la x este zero de teorema lui Cauchy-Hadamard . Deoarece spațiul de analiticitate al unei funcții este deschis și întrucât setul raționalelor diadice este dens, putem concluziona că F nu este analitic în niciun punct de pe linia reală.
Funcții de tranziție lină
Funcţie
g(X)=f(X)f(X)+f(1-X),X∈R,{\ displaystyle g (x) = {\ frac {f (x)} {f (x) + f (1-x)}}, \ qquad x \ in \ mathbb {R},}are un numitor strict pozitiv pe întreaga linie reală, deci g este, de asemenea, regulat. Mai mult, g ( x ) = 0 pentru x ≤ 0 și g ( x ) = 1 pentru x ≥ 1, deci arată o tranziție lină de la 0 la 1 pe intervalul unitar [0; 1]. Prin traducere, putem construi o tranziție peste intervalul [ a , b ] cu a < b luând în considerare funcția
R∋X↦g(X-lab-la).{\ displaystyle \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto g \ left ({\ frac {xa} {ba}} \ right).}Având în vedere un cvadruplet real a < b < c < d , funcția regulată
R∋X↦g(X-lab-la)g(d-Xd-vs.){\ displaystyle \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto g \ left ({\ frac {xa} {ba}} \ right) \, g \ left ({\ frac {dx} {dc}} \ right)}este egal cu 1 în intervalul [ b , c ] și dispare în afara intervalului deschis] a , d [.
Aplicare la întreaga serie
Pentru fiecare secvență α 0 , α 1 , α 2 ,. . . din numere reale sau complexe, putem construi o funcție regulată F pe linia reală astfel încât să ia valorile secvențelor la origine. În special, fiecare serie de numere poate deveni coeficienții întregii serii a unei funcții regulate. Acest rezultat este cunoscut sub numele de lema lui Borel , după Émile Borel .
Luăm funcția g definită în paragraful anterior și setăm:
h(X)=g(2+X)g(2-X),X∈R.{\ displaystyle h (x) = g (2 + x) \, g (2-x), \ qquad x \ in \ mathbb {R}.}Funcția h este regulată, este egală cu 1 peste [−1.1] și este zero în afara] −2.2 [. Definim secvența de funcții, pentru orice număr întreg n :
ψnu(X)=Xnuh(X),X∈R,{\ displaystyle \ psi _ {n} (x) = x ^ {n} \, h (x), \ qquad x \ in \ mathbb {R},}Prin construcție, această secvență verifică proprietatea:
ψnu(k)(0)={nu! dacă k=nu,0dacă nu,k,nu∈NU0,{\ displaystyle \ psi _ {n} ^ {(k)} (0) = {\ begin {cases} n! & {\ text {si}} k = n, \\ 0 & {\ text {altfel,} } \ end {cases}} \ quad k, n \ in \ mathbb {N} _ {0},}iar teorema limitelor permite să afirmăm că ψ n și derivatele sale sunt mărginite. Deci constantele
λnu=max{1,|αnu|,‖ψnu‖∞,‖ψnu(1)‖∞,...,‖ψnu(nu)‖∞},nu∈NU0,{\ displaystyle \ lambda _ {n} = \ max \ left \ {1, | \ alpha _ {n} |, \ | \ psi _ {n} \ | _ {\ infty}, \ | \ psi _ {n } ^ {(1)} \ | _ {\ infty}, \ ldots, \ | \ psi _ {n} ^ {(n)} \ | _ {\ infty} \ right \}, \ qquad n \ in \ mathbb {N} _ {0},}cu norma uniformă a lui ψ n și a primelor sale derivate n , sunt numere reale bine definite. Setăm funcțiile de nișă
fnu(X)=αnunu!λnunuψnu(λnuX),nu∈NU0,X∈R.{\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {\ alpha _ {n}} {n! \, \ lambda _ {n} ^ {n}}} \ psi _ {n} (\ lambda _ { n} x), \ qquad n \ in \ mathbb {N} _ {0}, \; x \ in \ mathbb {R}.}Prin derivate succesive,
fnu(k)(X)=αnunu!λnunu-kψnu(k)(λnuX),k,nu∈NU0,X∈R,{\ displaystyle f_ {n} ^ {(k)} (x) = {\ frac {\ alpha _ {n}} {n! \, \ lambda _ {n} ^ {nk}}} \ psi _ {n } ^ {(k)} (\ lambda _ {n} x), \ qquad k, n \ in \ mathbb {N} _ {0}, \; x \ in \ mathbb {R},}din care deducem
fnu(k)(0)={αnu dacă k=nu,0dacă nu,k,nu∈NU0.{\ displaystyle f_ {n} ^ {(k)} (0) = {\ begin {cases} \ alpha _ {n} & {\ text {si}} k = n, \\ 0 & {\ text {altfel ,}} \ end {cases}} \ qquad k, n \ in \ mathbb {N} _ {0}.}Rămâne să dovedim asta
F(X)=∑nu=0∞fnu(X),X∈R,{\ displaystyle F (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} (x), \ qquad x \ in \ mathbb {R},}este bine definit și poate fi derivat infinit de la termen la termen. Pentru aceasta, observăm că pentru toate k
∑nu=0∞‖fnu(k)‖∞≤∑nu=0k+1|αnu|nu!λnunu-k‖ψnu(k)‖∞+∑nu=k+2∞1nu!1λnunu-k-2⏟≤1|αnu|λnu⏟≤1‖ψnu(k)‖∞λnu⏟≤1<∞,{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ | f_ {n} ^ {(k)} \ | _ {\ infty} \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {k + 1 } {\ frac {| \ alpha _ {n} |} {n! \, \ lambda _ {n} ^ {nk}}} \ | \ psi _ {n} ^ {(k)} \ | _ {\ infty} + \ sum _ {n = k + 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ underbrace {\ frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {nk-2} }} _ {\ leq \, 1} \ underbrace {\ frac {| \ alpha _ {n} |} {\ lambda _ {n}}} _ {\ leq \, 1} \ underbrace {\ frac {\ | \ psi _ {n} ^ {(k)} \ | _ {\ infty}} {\ lambda _ {n}}} _ {\ leq \, 1} <\ infty,}unde diferitele serii converg după regula lui d'Alembert .
Aplicare la dimensiuni mai mari
Pentru orice rază r > 0,
Rnu∋X↦Ψr(X)=f(r2-‖X‖2){\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ ni x \ mapsto \ Psi _ {r} (x) = f (r ^ {2} - \ | x \ | ^ {2})}cu norma obișnuită euclidiană || x ||, definește o funcție regulată pe un spațiu euclidian de dimensiune n , de suport inclus în bila de rază r , dar avem aici .
Ψr(0)>0{\ displaystyle \ Psi _ {r} (0)> 0}
Vezi și tu
Note
-
Exercițiul 12, pagina 418 din Walter Rudin , Analiză reală și complexă . McGraw-Hill, New Dehli 1980, ( ISBN 0-07-099557-5 )
-
A se vedea, de exemplu, capitolul V, secțiunea 2, teorema 2.8 și corolarul 2.9 privind derivabilitatea limitelor secvențelor de funcții în Herbert Amann și Joachim Escher , Analiza I , Basel, Birkhäuser Verlag ,2005, 373–374 p. ( ISBN 3-7643-7153-6 )
linkuri externe
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">