Teoria modernă a portofoliului

Teoria modernă a portofoliului este o teorie financiară dezvoltată în 1952 de Harry Markowitz . Acesta explică modul în care investitorii raționali folosesc diversificarea pentru a-și optimiza portofoliul și care ar trebui să fie prețul unui activ, având în vedere riscul acestuia în comparație cu riscul mediu al pieței. Această teorie utilizează conceptele de frontieră eficientă, coeficient beta , linia pieței de capital și linia pieței valorilor mobiliare. Cea mai realizată formalizare a sa este modelul de evaluare a activelor financiare sau CAPM.

În acest model, randamentul unui activ este o variabilă aleatorie și un portofoliu este o combinație liniară ponderată de active. Prin urmare, randamentul unui portofoliu este, de asemenea, o variabilă aleatorie și are o așteptare și o varianță .

Ideea de pornire

Markowitz idee în managementul portofoliului său este pur și simplu să - l amestece în așa fel încât să nu alegeri contradictorii sunt făcute , de exemplu , ceea ce duce la un mix de un acțiuni și acțiuni B pentru a obține un cuplu. Mai mic venit / risc la costuri egale decât ceea ce ar au fost obținute, de exemplu, de acțiuni C.

Din punct de vedere tehnic, aceasta este o problemă de optimizare pătratică destul de banală. Originalitatea sa este în esență aplicarea acestui model de inginerie în lumea finanțelor.

Recenzii

Renumitul matematician Benoît Mandelbrot prin numeroasele sale lucrări pe această temă (în special studiul său istoric asupra prețului pieței bumbacului de peste un secol) pune la îndoială total validitatea teoriei lui Harry Markowitz și corolarul său CAPM, dezvoltat de William F. Sharpe . El consideră că aceste teorii, rezultate din Școala din Chicago , oricât de frumoase ar fi în aparență și atât de simple în aplicarea lor, sunt complet deconectate de realitatea piețelor financiare. Acestea au fost puse sub semnul întrebării de multe ori, în special în timpul diferitelor prăbușiri ale burselor pe care nu au putut să le prevadă. Acestea au condus la politici de gestionare a riscurilor care pot fi calificate drept iresponsabile din partea instituțiilor financiare.

Criteriul varianței medii introdus de Harry Markowitz nu face nicio presupunere de distribuție. Cu toate acestea, problema fundamentală provine din faptul că aplicațiile care utilizează acest concept se bazează pe distribuția normală ( legea lui Gauss sau „curba clopotului”), care subestimează foarte mult evenimentele „improbabile”, cum ar fi crizele sau blocajele de atunci. rare decât prevede această lege (curba clopotului are mai mult o formă de „lentilă gaussiană”, variabilele financiare nefiind distribuite în jurul mediei, ci distribuite peste cele două extreme). O altă problemă majoră: ipotezele neoclasice pe care se bazează aceste teorii sunt foarte nerealiste (raționalitatea investitorilor în special, continuitatea și independența variațiilor de preț etc.).

Potrivit lui Nassim Nicholas Taleb , filosof al șansei și incertitudinii și fost comerciant, teoria portofoliului modern al lui Harry Markowitz și aplicațiile sale precum CAPM de William F. Sharpe sau formula Black-Scholes-Merton sunt matematic consistente, foarte ușor de utilizat, dar bazat pe presupuneri care simplifică excesiv realitatea până la punctul de a se îndepărta complet de ea, un pic ca „nebunul după Locke”, „care motivează corect din ipoteze eronate”. Taleb consideră că utilizarea legii normale în finanțe prin teoria portofoliului este un „mare con intelectual”, care continuă să fie predat sutelor de mii de studenți în fiecare an în școlile de management și universitățile din întreaga lume. Întreg și pentru a fi utilizat de către practicienii financiari. . Potrivit lui Taleb, prognozele bazate pe această teorie nu au nicio valabilitate și se pot dovedi deseori dăunătoare: exemplele sunt legiune ( criza subprime , falimentul LTCM, Lehman Brothers etc.). Taleb consideră că este de preferat să se utilizeze legea puterii sau legea Pareto pentru a înțelege șansa sau valorile extreme atinse de variabilele financiare în timpul crizelor.

Ipoteze informaționale, risc și rentabilitate

Modelul face dubla presupunere că

piețele de active financiare sunt eficiente. Se presupune că eficiența pieței presupune că prețurile și randamentele activelor vor reflecta, în mod obiectiv, toate informațiile disponibile despre acele active.

investitorii sunt averse față de risc (așa cum arată Daniel Bernoulli ): vor fi dispuși să își asume mai multe riscuri în schimbul unui randament mai mare. În schimb, un investitor care dorește să îmbunătățească profitabilitatea portofoliului său trebuie să accepte să își asume mai multe riscuri. Soldul risc / randament considerat optim depinde de toleranța la risc a fiecărui investitor.

Așteptare și varianță

În general, se presupune că preferința investitorului pentru un raport risc / randament poate fi descrisă printr-o funcție de utilitate pătratică. În plus, se presupune că evoluțiile pieței urmează o distribuție Pareto simetrică. Prin urmare, numai rentabilitatea așteptată (recompensa așteptată) și volatilitatea ( deviația standard ) sunt parametrii luați în considerare de către investitor. Acesta din urmă nu ia în considerare alte caracteristici ale distribuției câștigurilor, precum asimetria sa sau chiar nivelul de avere investit.

În funcție de model:

randamentul unui portofoliu este o combinație liniară a activelor care îl compun, ponderată de ponderea lor în portofoliu. ; $w_ {i}$
volatilitatea portofoliului este o funcție a corelației dintre activele care compun. Această funcție nu este liniară.

Matematic:

În general, pentru un portofoliu cu n active:

Rentabilitate așteptată (așteptare):

{\ displaystyle \ operatorname {E} (R_ {p}) = \ sum _ {i} w_ {i} \ operatorname {E} (R_ {i}) \ quad}

Varianța portofoliului:

Variația portofoliului este suma produselor ponderilor fiecărei perechi de active de covarianța lor - această sumă include ponderile pătrate și varianțele (sau ) pentru fiecare activ i. Covarianța este adesea exprimată în termeni de corelație a randamentelor dintre două active unde

w_ {i}

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} \,}

{\ displaystyle \ sigma _ {ii} \,}

{\ displaystyle \ sigma _ {i} ^ {2}}

{\ displaystyle \ rho _ {ij} \,}

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rho _ {ij} \,}

{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ { ij} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rho _ {ij}}

Volatilitatea portofoliului:

{\ displaystyle \ sigma _ {p} = {\ sqrt {\ sigma _ {p} ^ {2}}}}

Cazuri speciale :

Pentru un portofoliu format din două active:

Speranţă:

{\ displaystyle \ operatorname {E} (R_ {p}) = w_ {A} \ operatorname {E} (R_ {A}) + (1-w_ {A}) \ operatorname {E} (R_ {B}) = w_ {A} \ operatorname {E} (R_ {A}) + w_ {B} \ operatorname {E} (R_ {B})}

Varianță:

{\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = w_ {A} ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} + w_ {B} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2 } + 2w_ {A} w_ {B} \ sigma _ {AB}}

Când portofoliul este format din trei active, varianța devine:

{\ displaystyle w_ {A} ^ {2} \ sigma _ {A} ^ {2} + w_ {B} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} + w_ {C} ^ {2} \ sigma _ {C} ^ {2} + 2w_ {A} w_ {B} \ sigma _ {AB} + 2w_ {A} w_ {C} \ sigma _ {AC} + 2w_ {B} w_ {C} \ sigma _ {BC}}

(După cum putem vedea, cu cât crește numărul de active, cu atât este mai mare puterea de calcul: numărul de termeni de covarianță este egal cu n * (n-1) / 2. Din acest motiv, în general, folosim specializate software, dar puteți dezvolta un model folosind matrici sau într-o foaie de calcul într-o foaie de calcul.)

Diversificare

Un investitor poate reduce riscul portofoliului său pur și simplu deținând active care nu sunt sau doar ușor corelate pozitiv, prin urmare, diversificându-și investițiile. Acest lucru face posibilă obținerea aceluiași randament așteptat, reducând în același timp volatilitatea portofoliului.

Matematic:

Din formulele dezvoltate mai sus, se înțelege că atunci când coeficientul de corelație dintre două active este negativ, varianța este mai mică decât suma simplă ponderată a varianțelor individuale.

Frontiera eficientă

Fiecare posibilă pereche de active poate fi reprezentată într-un grafic risc / recompensă. Pentru fiecare randament, există un portofoliu care minimizează riscul. În schimb, pentru fiecare nivel de risc, putem găsi un portofoliu care maximizează rentabilitatea așteptată. Setul acestor portofolii se numește frontiera eficientă sau frontiera Markowitz .

Această graniță crește prin construcție.

Regiunea de deasupra frontierei nu poate fi atinsă deținând numai active riscante. Un astfel de portofoliu este imposibil de construit. Se spune că punctele de sub graniță nu sunt optime și nu vor interesa un investitor rațional.

Activ fără risc

Activul fără risc este un activ noțional care câștigă rata dobânzii fără risc . În general, este asociat cu obligațiunile de stat pe termen scurt. Acest activ are o variație zero, astfel încât randamentul său este cunoscut în avans. Nu este corelat cu alte active. Prin urmare, asociat cu un alt activ, modifică liniar rentabilitatea așteptată și varianța.

Prin urmare, portofoliul devine:

Speranţă:

{\ displaystyle \ operatorname {E} (R_ {p}) = (1-w_ {A}) \ operatorname {E} (R_ {f}) + w_ {A} \ operatorname {E} (R_ {A}) = {E} (R_ {f}) + w_ {A} \ operatorname {[} {E} (R_ {A}) - {E} (R_ {f})]}

Sau din nou:

{\ displaystyle \ operatorname {E} (R_ {p}) = R_ {f} + w_ {A} \ operatorname {[} {E} (R_ {A}) - R_ {f}]}

În consecință, randamentul preconizat este alcătuit din activul fără riscuri plus o primă de risc. În practică, ar trebui să fie încorporat în matricile S * și K * pentru a rezolva Lagrangianul și a determina astfel vectorul W *. Acesta este întregul obiect al dezvoltării lui J. Tobin înscris în extensia operei lui H. Markowitz .

Portofoliul pieței

Se înțelege, din cele de mai sus, că investitorul informat va căuta cea mai mare diversificare posibilă până la atingerea acestei limite numită frontiera eficientă. În absența unui activ fără risc, acesta ia forma unei părți a hiperbolei (resp. Parabola) atunci când ne plasăm într-un punct de referință (deviație standard, randament așteptat) (resp. (Varianță, randament așteptat)).

Introducerea unui activ fără risc modifică frontiera eficientă: devine apoi linia dreaptă a cărei interceptare este rata fără risc și care este tangentă la frontiera eficientă determinată anterior de toate activele riscante. Punctul de tangență este portofoliul pieței: este singurul portofoliu eficient format exclusiv din active riscante. Toate celelalte portofolii eficiente sunt combinații liniare ale activului fără risc și a portofoliului pieței.

Piața de capital dreaptă ( linia pieței de capital )

Alegerea portofoliului de către individ, de către investitor se face în dreapta (RfM). Această linie este linia pieței de capital (CML ).

Reprezintă profitabilitatea așteptată pe ordonată și riscul pe abscisă al tuturor valorilor mobiliare prezente pe piață. Dacă un titlu se află deasupra acestei linii, este subevaluat. Într-adevăr, acest lucru înseamnă că plătește mai mult decât se așteaptă la un anumit risc, prin urmare investind.

Intersecția cu linia ordonată reprezintă rata de rentabilitate așteptată pe piețe pentru risc zero.

Evaluarea activelor

Risc sistematic și risc specific

Modelul de evaluare a activelor financiare (CAPM)

Se presupune că piețele financiare sunt perfecte în sensul ipotezelor concurenței. Nu există taxe, nici bariere la intrare și nici costuri de tranzacție. Informațiile sunt disponibile gratuit tuturor agenților. Agenții sunt factori de preț și toți au interesul de a combina două active.

Conform acestui model, randamentul necesar unui activ este o funcție a riscului său sistematic . Mai exact, avem:

{\ displaystyle E (R_ {active}) = R_ {F} + \ beta _ {active} \ cdot [E (R_ {M}) - R_ {F}]}

Odată ce această rentabilitate este obținută, valoarea activului este obținută prin actualizarea fluxurilor sale cu randamentul necesar ca rată.

Piața valorilor mobiliare corecte ( linia pieței valorilor mobiliare )

${\ displaystyle E (R_ {p}) = r + [E (R_ {M}) - r] \ cdot b_ {p} = r + q \ cdot b_ {p}}$
(pentru un singur i titlu: ) q: Premium per unitate de risc r: nu riscant Active ${\ displaystyle E (R_ {i}) = r + [E (R_ {M}) - r] \ cdot b = r + q \ cdot b}$
${\ displaystyle b_ {p} = Cov (R_ {p}, R_ {M}) / s2 (R_ {M})}$
${\ displaystyle = r (R_ {p}, R_ {M}) s (R_ {p}) s (R_ {M}) / s2 (R_ {M})}$

${\ displaystyle E (R_ {p}) = r_ {f} + [E (R_ {M}) - r_ {f}] \ cdot b_ {p} = r_ {f} + q \ cdot b_ {p}}$

Note și referințe

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377221712006467
Philippe Herlin , Finanțe: Noua paradigmă: Înțelegerea crizei cu Mandelbrot, Taleb ... , Eyrolles ,2010, 208 p.
Exemplu preluat din cartea Lebada Neagră de Nassim Nicholas Taleb

Vezi și tu

Articole similare

Bibliografie

Benoît Mandelbrot . Fractale, șansă și finanțe , Flammarion , 1959, 1997.
Benoît Mandelbrot . O abordare fractală a piețelor , Benoît Mandelbrot și Richard Hudson, edițiile Odile Jacob , 2005.
Lebăda Neagră. Puterea imprevizibilului Nassim Nicholas Taleb , Les Belles Lettres (2008). ( ISBN 978-2-251-44348-5 ) .
Nassim Nicholas Taleb (2005), Șansă sălbatică: de la bursă la viețile noastre: rolul ascuns al norocului, Les Belles Lettres. ( ISBN 2-251-44297-9 )
Harry Markowitz . (1952). Portfolio Selection, Journal of Finance , 7 (1), 77-91.
William Forsyth Sharpe (1964). Prețurile activelor de capital: o teorie a echilibrului pieței în condiții de risc, Journal of Finance , 19 (3), 425-442.
Lintner, J. (1965). Evaluarea activelor de risc și selectarea investițiilor riscante în portofolii de acțiuni și bugete de capital, Revista de economie și statistici , 47
Tobin, James (1958). Preferința de lichiditate ca comportament față de risc, Revista studiilor economice , 25, 65-86.
Modern Portfolio Theory , Florin Aftalion , Patrice Poncet, Que sais je?, ( ISBN 2130497683 )