Teoria invarianților
În matematică , teoria invarianților , inițiată și dezvoltată în special de Arthur Cayley , James Joseph Sylvester , Charles Hermite , Paul Gordan și mulți alți matematicieni, este studiul invarianților formelor algebrice (echivalent, tensori simetrici) pentru acțiuni de grup în timpul transformări liniare . La sfârșitul XIX - lea secol, este centrul unui efort major de cercetare atunci când se pare că ar putea fi cheia de boltă în algoritmică (în competiție cu alte formulări matematice ale invarianță de simetrie). În ciuda muncii grele, nu și-a respectat promisiunile, dar a permis dezvoltarea altor câteva discipline. În secolul XXI , grupurile simetrice și funcțiile simetrice , algebra comutativă , spațiile modulelor și reprezentările grupului Lie sunt cei mai fertili descendenți.
Invarianți în geometria clasică
Majoritatea invarianților geometriilor clasice (distanțe, unghiuri, raport transversal, volum) sunt, cu excepția unui parametru, funcții polinomiale invariante pentru un grup clasic și au analogi pe câmpuri comutative mai generale. De exemplu, într-un spațiu euclidian afin, funcția care asociază cu două puncte pătratul distanței lor este polinomială, invariantă de grupul izometriilor. Teoria invarianților constă, pentru o acțiune de grup dată, în întocmirea unei liste de funcții polinomiale elementare invariante pentru grupul considerat și din care se deduce orice altă funcție polinomială invariantă.
Următoarele exemple pot fi citate:
- Pentru grupul simetric permutării n numere , cele mai elementare polinoamele simetrice sunt invariabile și orice polinom invariant de grupul simetric este o expresie algebrică a acestor funcții elementare.
- Pentru grupul ortogonal care acționează într-un spațiu euclidian , produsul punct este invariant și orice funcție a mai multor vectori polinomiali din componentele acestor vectori și invariantă de grup este o expresie algebrică a produsului punct al acestor vectori.
- Pentru grupul special ortogonal care acționează într-un spațiu euclidian orientat , produsul punct și produsul mixt sunt invariante, iar orice funcție a mai multor vectori polinomiali din componentele acestor vectori și invariantă de grup este o expresie algebrică a produsului punct și a produs amestecat din acești vectori.
- Pentru grupul liniar special care acționează asupra unui spațiu vectorial de dimensiune finită n și asupra dualului său , determinantul a n vectori sau al n formelor liniare, precum și produsul unei forme liniare aplicate unui vector sunt invarianți ai grupului și orice funcție a vectorilor sau a formelor liniare polinomiale în componentele acestor vectori sau ale acestor forme liniare este o expresie algebrică a acestor determinanți și a acestor produse.
Combinând acțiunea grupului și expresia algebrică, această teorie se bazează direct pe cea a grupurilor algebrice clasice.
Vezi și tu
Articol asociat
Teoria invariantă geometrică (în)
Linkuri externe și bibliografie
- Jean Dieudonné , teoria invarianților în secolul al XIX - lea secol , Seminar Nicolas Bourbaki 1970-1971 expuse 395
- (ro) Hanspeter Kraft (de) și Claudio Procesi , The Classical Invariant Theory, a Primer
- Herman Weyl, Grupurile clasice , Princeton University Press, (ediția a opta, 1973)