Polinom omogen

În matematică , un polinom omogen , sau o formă algebrică , este un polinom în mai multe nedeterminate din care toți monomii non-zero au același grad total . De exemplu, polinomul x 5 + 2 x 3 y 2 + 9 xy 4 este omogen de gradul 5 deoarece suma exponenților este 5 pentru fiecare dintre monomii; polinoamele omogene de gradul 2 sunt formele pătratice . Polinoamele omogene sunt omniprezente în matematică și fizică teoretică .

Definiții

Fie K un câmp comutativ . Un polinom omogen de grad d în n variabile este un polinom în K [ X 1 ,…, X n ] care este suma monomiilor de grad d .

Dacă un polinom P al lui K [ X 1 , ..., X n ] este omogen de gradul d , atunci funcția polinomială asociată este omogenă de gradul d , adică pentru toate $λ, x 1 , ..., x n$ ∈ K avem: ${\ displaystyle P (\ lambda x_ {1}, ..., \ lambda x_ {n}) = \ lambda ^ {d} P (x_ {1}, ..., x_ {n}).}$

Reciproca este adevărată atunci când corpul este infinit.

Demonstrație

Prin gruparea termenilor în grade ,, cu un polinom omogen de gradul $i$ . Ipoteza este apoi rescrisă: cu alte cuvinte: funcția polinomială pe K n +1 asociată cu polinomul este zero. Prin urmare , acest polinom este zero , în special , deci este omogen de gradul d . ${\ displaystyle P = \ sum P_ {i}}$ $P_i$ ${\ displaystyle P (\ lambda x_ {1}, \ ldots, \ lambda x_ {n}) = \ lambda ^ {d} P (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle \ sum \ lambda ^ {i} P_ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) - \ lambda ^ {d} P (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} ) = 0,}$ ${\ displaystyle Y ^ {d} (P_ {d} -P) + \ sum _ {i \ neq d} Y ^ {i} P_ {i}}$ ${\ displaystyle P_ {d} -P = 0}$ ${\ displaystyle P = P_ {d}}$

Structura

Setul de polinoame omogene de grad d în K [ X 1 ,…, X n ] formează un spațiu K - vector . (În special, polinomul zero este omogen de gradul d , pentru orice număr întreg d ; este singurul polinom omogen al cărui grad nu este, așadar, definit.)

Baza sa canonică este setul de monomii

{\ displaystyle X_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} X_ {2} ^ {\ alpha _ {2}} ... X_ {n} ^ {\ alpha _ {n}} ~ \ mathrm {o {\ grave {u}}} ~ \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + ... + \ alpha _ {n} = d.}

Dimensiunea sa este deci numărul de d- combinații cu repetarea setului {1, 2, ..., n }:

{\ displaystyle \ Gamma _ {n} ^ {d} = {n + d-1 \ alegeți d}.}

Forme

Formele algebrice generalizează formele pătratice la gradul 3 și mai sus și erau cunoscute și în trecut ca „chintici”. Pentru a desemna tipul unui formular, trebuie dat atât gradul său, cât și numărul de variabile n . O formă este „pe“ un corp K , dacă este cazul K n în K .

O formă f cu n variabile pe un câmp K „reprezintă 0” dacă există un element ( x 1 , ..., x n ) în K n astfel încât f ( x 1 , ..., x n ) = 0 și că minus unul dintre x i ( i = 1, ..., n ) este diferit de zero. De exemplu, o formă pătratică reprezintă 0 dacă și numai dacă este nedefinită .

O formă de grad d este declarat a fi diagonală (in) în cazul în care este scris un 1 x 1 d + ... + a n x n d .

Utilizare în geometrie algebrică

La fel ca o afină varietate algebrică pe K este locul de anulare, într - un spațiu afin K n , o familie de polinoame cu n variabile cu coeficienți în K , o varietate algebrică proiectiv pe K este locul de anulare într - un spațiu proiectiv P n ( K ), o familie de polinoame omogene , cu n + 1 variabile cu coeficienți în K .

De exemplu, se poate defini o curbă algebrică afina K 2 ca locul anulării unui polinom în două variabile cu coeficienți în K . Dacă dorim să definim o curbă algebrică în planul proiectiv P 2 ( K ), am dori să o definim și ca locus de anulare a unui polinom P cu trei variabile. Dar în planul proiectiv, (λ x : λ y : λ z ) = ( x : y : z ) , pentru toate λ ≠ 0. Prin urmare, dorim în mod necesar P ( x , y , z ) = 0 ⇔ P (λ x , λ y , λ z ) = 0, astfel încât locul anulării să nu depindă de λ ales. Acesta este motivul pentru care cerem polinomului P să fie omogen.

Vezi și tu

Articole similare

Bibliografie

(en) CG Gibson, Elementary Geometry of Algebraic Curves , Cambridge University Press , 1998