Teoria diferențială a lui Galois este o ramură a matematicii care are ca obiect studiul ecuațiilor diferențiale prin metode algebrice , mai ales a metodelor rezultate din teoria lui Galois pentru ecuațiile algebrice .
Admite mai multe formulări diferite. Cea mai de bază este teoria lui Picard-Vessiot (în) . Se referă la ecuații diferențiale liniare și constă în construirea unei teorii a extensiilor câmpurilor diferențiale analogă cu teoria clasică a extensiilor câmpurilor: exemplul de bază este câmpul fracțiilor raționale cu coeficienți complecși, prevăzut cu derivarea obișnuită. În special, un analog al corpurilor de descompunere a unei ecuații date poate fi definit, ca fiind, într-un anumit sens, cel mai mic câmp diferențial care conține soluțiile ecuației. Grupul diferențial Galois al ecuației este apoi definit ca grupul de automorfisme ale extensiei câmpului diferențial. Este prevăzut în mod natural cu o structură de grup algebric liniar și permite obținerea unei corespondențe Galois între subgrupuri închise pentru topologia Zariski a grupului Galois și sub-extensii de câmp diferențial.
Într-un context analitic, de exemplu, dacă câmpul de bază este câmpul fracțiilor raționale cu coeficienți complecși furnizați cu derivarea obișnuită, grupul de monodromie al unei ecuații diferențiale holomorfe într-o singularitate izolată este identificat natural cu un subgrup al grupului Galois: este definit de o acțiune geometrică asupra spațiilor soluției. În cazul în care singularitățile sunt regulate, este chiar un subgrup dens pentru topologia Zariski. Cu toate acestea, acesta nu este un rezultat general și, pentru singularitățile neregulate, pot fi identificate alte subgrupuri analitice remarcabile ale grupului Galois (vezi fenomenul Stokes ).
Un alt punct de vedere este așa-numitul punct de vedere tanakian (al) , care constă în a nu mai considera grupul Galois în sine, ci categoria reprezentărilor sale.
Dezvoltări mai recente, în special datorate lui Bernard Malgrange și Jean-Pierre Ramis , permit definirea unei teorii Galois pentru ecuații diferențiale neliniare. Obiectul Galois este atunci doar un grupoid .
Un câmp diferențial este datele unui câmp K și a unei derivări pe K care verifică:
Fie un corp diferențial. Câmpul constantelor de este ansamblul elementelor cu cu derivată zero. Observați că este un corp.
Fie și să fie două câmpuri diferențiale. Un morfism corp diferential in este un morfism corp de la astfel încât pentru toți , .
Fie un câmp diferențial și o extensie a câmpurilor de . Spunem că este o extensie a câmpurilor diferențiale dacă derivarea lui se extinde și dacă există un morfism injectiv al câmpurilor diferențiale ale in .
Iată câteva exemple de câmpuri diferențiale
ExempleÎn tot ceea ce urmează, desemnați un câmp diferențial al cărui câmp de constante este închis algebric și are zero caracteristică. De exemplu, K = ℂ ( t ) prevăzut cu derivarea obișnuită este potrivit.
DefinițieLuați în considerare sistemul diferențial liniar , unde este o matrice pătrată cu coeficienți în . O extensie Picard-Vessiot este o extensie de câmp diferențial, cum ar fi:
Următorul exemplu arată clar utilitatea celei de-a treia condiții.
ExempluSă presupunem că K = ℂ ( t ) și . O matrice fundamentală este și extensia Picard-Vessiot este câmpul diferențial ℂ (t, exp (t)). Putem verifica cu ușurință că câmpul constantelor acestui ultim câmp este ℂ. Pe de altă parte, dacă luăm ca matrice fundamentală , unde și satisfacem ca relații unice și , atunci ℂ (t, u, v) | ℂ (t) nu este o extensie a lui Picard-Vessiot deoarece are zero derivată, dar are nu aparțin lui ℂ. Cu alte cuvinte, faptul că câmpul constantelor crește ne împiedică să vedem relațiile algebrice dintre soluții.
Teorema existenței și unicitățiiLuați în considerare sistemul diferențial liniar , unde este o matrice pătrată cu coeficienți în . Există o extensie Picard-Vessiot pentru sistem . Mai mult, dacă și sunt două extensii Picard-Vessiot pentru sistem , atunci există un izomorfism câmp diferențial de in .
În tot ceea ce urmează, desemnați un câmp diferențial al cărui câmp de constante este închis algebric și are zero caracteristică. Luați în considerare un sistem diferențial , unde este o matrice pătrată de dimensiune cu coeficienți în . Fie extensia Picard-Vessiot, fie o matrice fundamentală pentru această extensie.
DefinițieGrupul diferențial Galois este grupul (pentru compoziție) al izomorfismelor diferențiale care lasă invariante.
ExempluFie K = ℂ (t) .
Prin aceste două exemple, vedem că grupul diferențial Galois este un grup algebric de matrice. Vom oficializa această noțiune.
DefinițieUn subgrup algebric al lui este un subgrup de astfel încât există polinoame cum ar fi dacă și numai dacă .
Avem un grup morfism injectiv de la prin intermediul aplicației care trimite la . Avem următoarea teoremă fundamentală:
TeoremaImaginea morfismului descris mai sus este un subgrup algebric al .