Teorema lui Liouville (algebră diferențială)

În matematică , în special în analiză și algebră diferențială (în) , teorema Liouville , formulată de Joseph Liouville într-o serie de lucrări despre funcțiile elementare între 1833 și 1841 și răspândită în forma sa actuală de Maxwell Rosenlicht în 1968, oferă condiții astfel încât primitivul poate fi exprimat ca o combinație de funcții elementare și arată în special că multe primitive de funcții obișnuite, cum ar fi funcția de eroare , care este o primitivă a lui e - x 2 , nu pot să se exprime astfel.

Definiții

Un câmp diferențial este un câmp comutativ K , dotat cu o derivare , adică cu o mapare a lui K în K , aditiv (cum ar fi ) și verificarea „ regulii produsului ”: $\ parțial$ $\ partial (u + v) = \ partial u + \ partial v$

\ partial (uv) = u \, \ partial v + v \, \ partial u

Dacă K este un câmp diferențial, nucleul lui , și anume se numește câmpul constantelor și se notează Con ( K ); este un subdomeniu al K . $\ parțial$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (\ partial) = \ {u \ în K: \ partial (u) = 0 \},}$

Având în vedere două câmpuri diferențiale F și G , spunem că G este o extensie logaritmică a lui F dacă G este o extensie transcendentă simplă a lui F , adică G = F ( t ) pentru un element transcendent t , și dacă există un s de F astfel că . $\ partial t = \ partial s / s$

Această condiție are forma unui derivat logaritmic ; astfel încât să putem interpreta t ca un fel de logaritm a elementului s al F .

În mod similar, o extensie exponențială a lui F este o extensie transcendentă simplă a lui F astfel încât să existe un s de F satisfăcător ; din nou, t poate fi interpretat ca un fel de exponențială a lui s . $\ partial t = t \ partial s$

În cele din urmă, spunem că G este o extensie diferențială elementară a lui F dacă există un lanț finit de subcâmpuri care merg de la F la G , astfel încât fiecare extensie a lanțului este algebrică, logaritmică sau exponențială.

Teorema fundamentală

Teorema Liouville-Rosenlicht - Fie F și G două câmpuri diferențiale având același domeniu de constante, și astfel încât G este o extensie diferențială elementar al F . Fie a un element al lui F , y un element al lui G, cu y = a . Există apoi o secvență c 1 , ..., c n a lui Con ( F ), o secvență u 1 , ..., u n a lui F și un element v al lui F astfel încât $\ parțial$

a = c_ {1} {\ frac {\ partial u_ {1}} {u_ {1}}} + \ dotsb + c_ {n} {\ frac {\ partial u_ {n}} {u_ {n}}} + \ partial v.

Cu alte cuvinte, singurele funcții care au „primitive elementare” (adică primitive aparținând extensiilor elementare ale lui F ) sunt cele de forma prescrisă de teoremă.

Exemple

Câmpul K = C ( x ) al fracțiilor raționale cu o singură variabilă, prevăzut cu derivata obișnuită, este un câmp diferențial; domeniul său de constante pot fi identificate cu C . Majoritatea elementelor acestui corp nu au primitive; de exemplu nu admite niciunul, deoarece primitivele sale ln x + C au o viteză de creștere până la infinit mai mică decât cea a oricărei fracții raționale nelimitate; In mod similar, se arată că primitivii , forma arctan ( x ) + C , nu fac parte K . Cu toate acestea, în ambele cazuri, există un antiderivativ într-o extensie a K ; respectiv, este extensia logaritmică K și extensia logaritmică K : într-adevăr, folosind formulele lui Euler , putem scrie ${1} / {x}$ ${1} / (x ^ {2} +1)$ $[\ ln x]$ $[\ ln ((1 + ix) / (1-ix))]$

{\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {2i \ theta} & = {\ frac {e ^ {i \ theta}} {e ^ {- i \ theta}}} = {\ frac {\ cos \ theta + i \ sin \ theta} {\ cos \ theta -i \ sin \ theta}} = {\ frac {1 + i \ tan \ theta} {1-i \ tan \ theta}} \\ [8pt] 2i \ theta & = \ ln \ left ({\ frac {1 + i \ tan \ theta} {1-i \ tan \ theta}} \ right) {\ rm {\ and \ donc \}} \ arctan x = {\ frac {1} {2i}} \ ln \ left ({\ frac {1 + ix} {1-ix}} \ right) \ end {align}}}

Știm mai mult (din descompunerea în elemente simple ) că orice element al lui K admite un antiderivativ într-o extensie elementară a lui K (și chiar, de fapt, într-o extensie care se obține printr-o serie de extensii logaritmice).

Pe de altă parte, majoritatea extensiilor elementare ale lui K nu verifică această proprietate de stabilitate. Astfel, dacă luăm pentru câmp diferențial L = K (exp (-x 2 )) (care este o extensie exponențială a lui K ), funcția de eroare erf , primitivă a funcției Gaussiene exp (-x 2 ) (la constanta 2 / near), nu se află în nicio extensie diferențială elementară a lui K (și nici, prin urmare, a lui L ), adică nu poate fi scrisă ca fiind compusă din funcții obișnuite. Dovada se bazează pe expresia exactă a derivatelor date de teoremă, ceea ce face posibil să se arate că un antiderivativ ar fi atunci în mod necesar în forma P (x) / Q (x) exp (-x 2 ) (cu P și polinoame Q); încheiem notând că derivata acestei forme nu poate fi niciodată exp (-x 2 ). Arătăm, de asemenea, că multe funcții speciale definite ca primitive, cum ar fi sinusul integral Si, sau logaritmul integral Li, nu pot fi exprimate folosind funcțiile obișnuite. ${\ sqrt \ pi}$

Relația cu teoria diferențială Galois și generalizări

Teorema lui Liouville este uneori prezentată ca parte a teoriei diferențiale a lui Galois , dar acest lucru nu este în întregime corect: poate fi demonstrat fără niciun apel la teoria lui Galois. Mai mult, grupul Galois al unei primitive date este fie banal (dacă nu este necesar să se extindă câmpul pentru a-l exprima), fie grupul aditiv de constante (corespunzător constantei de integrare). Astfel, grupul diferențial Galois al unei primitive nu conține suficiente informații pentru a determina dacă poate fi exprimat sau nu în funcții elementare, ceea ce constituie esența teoremei lui Liouville. În schimb, teoria diferențială a lui Galois face posibilă obținerea unor rezultate analoge, dar mai puternice, de exemplu, pentru a demonstra că funcțiile Bessel nu numai că nu sunt funcții elementare, dar nici măcar nu pot fi obținute de la primitive. În mod similar (dar fără a utiliza teoria diferențială a lui Galois), Joseph Ritt (en) a obținut în 1925 o caracterizare a funcțiilor elementare a căror bijecție reciprocă este, de asemenea, elementară.

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Teorema lui Liouville (algebră diferențială) ” ( vezi lista autorilor ) .
(ro) Daniel Bertrand , „ Recenzie la„ Prelegeri despre teoria diferențială Galois ”de Andy R. Magid ” , Bull. Amar. Matematica. Soc. , vol. 33, n o 21996( citește online )
(ro) Alister D. Fitt și GTQ Hoare , „ Integrarea în formă închisă a funcțiilor arbitrare ” , Math. Gazetă (ro) ,1993, p. 227-236 ( citiți online )
(ro) Keith O. Geddes (ro) , Stephen R. Czapor și George Labahn, Algorithms for Computer Algebra , Boston / Dordrecht / London, Kluwer Academic Publishers,1992, 585 p. ( ISBN 0-7923-9259-0 , citiți online )
Joseph Liouville , „ Memorie privind integrarea unei clase de funcții transcendente ”, J. Reine angew. Matematica. , vol. 13,1835, p. 93-118 ( citește online )
Joseph Liouville , „ Noi observații asupra ecuației Riccati ”, J. math. pur appl. , 1 st serie, voi. 6,1841, p. 1-13 ( citiți online )
(ro) Andy R. Magid , Prelegeri despre teoria diferențială a lui Galois , AMS , col. „Seria de cursuri universitare” ( nr . 7),1994, 105 p. ( ISBN 978-0-8218-7004-4 , Math Reviews 1301076 , citit online )
(ro) Andy R. Magid , „ Teoria diferențială a lui Galois ” , Notificări Amer. Matematica. Soc. , vol. 46, nr . 9,1999, p. 1041-1049 ( Math Reviews 1710665 , citiți online )
(ro) Maxwell Rosenlicht , „ Teorema lui Liouville privind funcțiile cu integrală elementară ” , Pacific J. Math. , vol. 24,1968, p. 153-161 ( citește online )
(en) Marius van der Put (de) și Michael F. Singer , teoria Galois a ecuațiilor diferențiale liniare , Springer-Verlag , col. „ Grund. matematica. Wiss. "( N o 328),2003, 438 p. ( ISBN 978-3-540-44228-8 , Math Reviews 1960772 , citit online )

Vezi și tu

Link extern

Exemple mai detaliate și o dovadă a teoremei

Articol asociat

Algoritmul Risch

Joseph Ritt,