Corp diferențial

Noțiunea de câmp diferențial face posibilă formalizarea noțiunii de derivare a funcțiilor , pentru a construi o teorie diferențială Galois . Un corp diferențial este un caz special al unui inel diferențial (en) .

Definiție

Un câmp diferențial este datele unui câmp K și ale unei derivări pe K , adică a unei aplicații care verifică: $\ parțial$

$\ forall y_ {1}, y_ {2} \ în K, \ partial (y_ {1} + y_ {2}) = \ partial (y_ {1}) + \ partial (y_ {2})$
$\ forall y_ {1}, y_ {2} \ în K, \ partial (y_ {1} y_ {2}) = \ partial (y_ {1}) y_ {2} + y_ {1} \ partial (y_ { 2})$ ( Formula Leibniz )

Exemple

Orice corp poate fi furnizat cu derivarea nulă. În acest caz, teoria corpurilor diferențiale este de așteptat să coincidă cu teoria corpurilor .
Exemplul paradigmatic este ℂ ( t ), câmpul fracțiilor raționale , prevăzut cu derivarea obișnuită (cea care extinde derivarea polinoamelor ).
Acest exemplu poate fi refuzat în versiuni mai complexe:
- Câmpul ℂ (( t )) al seriei formale a lui Laurent prevăzut cu derivarea obișnuită (cea care extinde derivarea seriilor formale)
- Câmpul ℂ ({ t }) de germeni cu funcții meromorfe în vecinătatea lui 0 prevăzut cu derivarea indusă de derivarea funcțiilor holomorfe . Acest câmp poate fi văzută ca domeniul fracțiuni ale integrează inel ℂ { t } serii formale cu coeficienți din ℂ care au o nenulă rază de convergență .
- Câmpul diferențial K〈y〉 este prin definiție câmpul K〈y 0 , y 1 , y 2 , ...〉 al fracțiilor raționale cu o infinitate ( numărabilă ) de nedeterminate, prevăzută cu derivarea definită de pentru toți $i$ și . $\ partial y_ {i} = y _ {{i + 1}}$ $\ forall x \ în K, \, \ partial x = 0$

Proprietate

Să K fie un câmp diferențial și L o extensie finită de K . Deci, există o derivare unic pe L care se extinde de deviere K .