Lema Siegel
În aproximarea diofantină , lema lui Siegel este o teoremă a existenței unei soluții non-zero de magnitudine controlată la un sistem de ecuații liniare omogene cu coeficienți întregi (relativi) având strict mai multe necunoscute decât ecuații. Este folosit în mod obișnuit în demonstrațiile transcendenței . Soluțiile astfel controlate sunt obținute folosind funcții auxiliare (en) . Existența acestor polinoame a fost demonstrată de Axel Thue datorită principiului de Dirichlet sertare .
State
Cea mai simplă afirmație este:
Fie o matrice cu m rânduri și n coloane, ale căror coeficienți sunt numere întregi care nu sunt toate zero. Dacă n> m , atunci sistemul
LA=(laeu,j){\ displaystyle A = (a_ {i, j})}
∑j=1nulaeu,jXj=0(eu=1,...,m){\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} x_ {j} = 0 \ quad (i = 1, \ dots, m)}admite o soluție astfel încât
(X1,...,Xnu)∈Znu∖{(0,...,0)}{\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ in \ mathbb {Z} ^ {n} \ setminus \ {(0, \ dots, 0) \}}
maxeu|Xeu|≤(numaxeu,j|laeu,j|)mnu-m{\ displaystyle \ max _ {i} | x_ {i} | \ leq \ left (n \ max _ {i, j} | a_ {i, j} | \ right) ^ {\ frac {m} {nm} }}.
Enrico Bombieri și Jeffrey Vaaler au obținut o creștere mai fină, folosind tehnici de geometrie a numărului .
Referințe
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din
limba engleză intitulat
„ Siegel's lemma ” ( vezi lista autorilor ) .
-
(de la) Carl Ludwig Siegel , „ Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen ” , Abh. Preuss. Akad. Wiss. , Fizic. Matematica. Kl. ,1929, p. 41-69 ( citește online ).
-
(de) Axel Thue , „ Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen ” , J. queen angew. Matematica. , vol. 135,1909, p. 284-305 ( citiți online ).
-
(în) Marc Hindry și Joseph H. Silverman , Diophantine Geometry , al. „ GTM ” ( nr . 201)2000( citiți online ) , p. 316.
-
(în) E. Bombieri și J. Vaaler, " We Siegel's lemma " , Inventează. Matematica. , vol. 73, nr . 1,1983, p. 11-32 ( DOI 10.1007 / BF01393823 ).
Articol asociat
Lema Luni
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">