Seria Bell

În teoria numerelor , seriile Bell sunt serii formale utilizate pentru a studia proprietățile funcțiilor aritmetice . Au fost introduse și dezvoltate de Eric Temple Bell .

Definiție

Dacă f este o funcție aritmetică și p un număr prim , definim seria Bell a indicelui p al lui f :

{\ displaystyle f_ {p} (X) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f (p ^ {n}) X ^ {n}.}

Proprietăți

Două funcții multiplicativ f și g sunt egale dacă (și numai dacă), pentru orice întreg prim p , avem: . ${\ displaystyle f_ {p} (X) = g_ {p} (X)}$
Pentru două funcții aritmetice f și g , ${\ displaystyle f_ {p} (X) g_ {p} (X) = h_ {p} (X),}$ unde h este produsul convoluției Dirichlet al lui f și g .
Dacă f este complet multiplicativ, atunci: ${\ displaystyle f_ {p} (X) = {\ frac {1} {1-f (p) X}}.}$

Exemple

Iată câteva funcții aritmetice comune și seria lor Bell:

neutru ö 1 pentru convoluției Dirichlet, adică funcția caracteristică a singleton {1}: $(δ 1 ) p ( X ) = 1$ ,
k - a funcția de putere $I k$ (care este complet multiplicativă): ${\ displaystyle (I_ {k}) _ {p} (X) = {\ frac {1} {1-p ^ {k} X}},}$
funcția Möbius receptorii $p: μ p ( X ) = 1 - X$ ,
funcția Liouville $valoarea : A : λ p ( X ) = 1 / (1 + X )$ ,
FONCTION funcția de Euler : ${\ displaystyle \ varphi _ {p} (X) = {\ frac {1-X} {1-pX}},}$
funcția împărțitor $σ k$ : ${\ displaystyle (\ sigma _ {k}) _ {p} (X) = {\ frac {1} {1- \ sigma _ {k} (p) X + p ^ {k} X ^ {2}} }.}$

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Bell series ” ( vezi lista autorilor ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">