Separarea convexului

Având în vedere două convexe ale aceluiași plan care nu se întâlnesc, este întotdeauna posibil să se împartă planul în două semiplane astfel încât fiecare să conțină complet unul dintre convexe. Este același lucru în dimensiunea 3, separarea convexelor fiind apoi efectuată de un plan. Mai general, același lucru se poate face în orice dimensiune finită folosind un hiperplan . Sub o ipoteză adecvată de compactitate , se poate garanta chiar o „separare strictă”, asigurându-se că fiecare dintre cele două linii convexe rămâne la o distanță de hiperplanul care le separă; în condiții bune separarea poate fi asigurată și în anumite spații vectoriale topologice de dimensiune infinită.

Un caz particular remarcabil este acela în care unul dintre convexe conține doar un punct, ales la marginea celuilalt. În acest caz, hiperplanele de separare se numesc hipereplane de susținere convexe.

Poziția problemei

Ne plasăm într-un spațiu afin E (de dimensiune finită) sau într-un spațiu vector normalizat pe . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Având în vedere un hiperplan afin H al lui E, există o formă liniară (unică cu excepția unui factor multiplicativ) care poate servi ca ecuație pentru , adică pentru care există un real astfel încât . Mai mult, dacă este închis, este continuu. Prin urmare, putem defini cele două „jumătăți de spații” limitate de ca seturi și . H{\ displaystyle H}vs.{\ displaystyle c}H={X∈E∣f(X)=vs.}{\ displaystyle H = \ {x \ în E \, \ mid \, f (x) = c \}}H{\ displaystyle H}f{\ displaystyle f}H{\ displaystyle H}E1={X∈E∣f(X)≤vs.}{\ displaystyle E_ {1} = \ {x \ in E \, \ mid \, f (x) \ leq c \}}E2={X∈E∣f(X)≥vs.}{\ displaystyle E_ {2} = \ {x \ in E \, \ mid \, f (x) \ geq c \}}

Având în vedere două părți și de , spunem apoi că separă și când, în subdiviziunea de în două jumătăți de spații și , unul dintre seturi și este inclus în și celălalt în . În această definiție (separarea în sensul „larg”), nu interzicem și să conținem puncte sau chiar să ne întâlnim, cu condiția să fie activată . LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}E{\ displaystyle E}H{\ displaystyle H} LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}E{\ displaystyle E}H{\ displaystyle H}E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}H{\ displaystyle H}H{\ displaystyle H}

Sub anumite ipoteze, se pot obține rezultate mai precise ale separării și se poate concluziona că și sunt de ambele părți ale , în semi-planurile stricte pe care le limitează. De fapt, putem face , uneori , chiar un pic mai bine, prin urmare , următoarea definiție tehnică: noi spunem că o ecuație se separă strict și atunci când există astfel încât unul dintre seturile și este inclusă în jumătate de spațiu , iar celălalt în jumătățile de spațiu . LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}H{\ displaystyle H}H{\ displaystyle H}{X∈E∣f(X)=vs.}{\ displaystyle \ {x \ in E \, \ mid \, f (x) = c \}} LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}ϵ>0{\ displaystyle \ epsilon> 0}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}E1′={X∈E∣f(X)≤vs.-ϵ}{\ displaystyle E_ {1} '= \ {x \ in E \, \ mid \, f (x) \ leq c- \ epsilon \}}E2′={X∈E∣f(X)≥vs.+ϵ}{\ displaystyle E_ {2} '= \ {x \ in E \, \ mid \, f (x) \ geq c + \ epsilon \}}

Teoreme largi de separare

Două seturi de ipoteze fac posibilă asigurarea separării în sens larg. Prima dintre următoarele teoreme este uneori numită „prima formă geometrică a teoremei Hahn-Banach”.

Teoremă  -  Fie E un spațiu normat, A și B două E convexe nevăzute și disjuncte . Presupunem că A este deschis. Apoi există un hiperplan închis care separă A și B.

Teorema  -  Fie E un spațiu afin de dimensiune finită, A și B două convexe ne-goale și disjuncte ale lui E. Apoi, există un hiperplan care separă A și B.

Pe de altă parte, în dimensiune infinită, nu se poate construi întotdeauna un hiperplan închis de separare largă: există un exemplu de două convexe închise care nu sunt goale și disjuncte, dar care nu pot fi separate de un hiperplan închis.

Putem observa că, în prima teoremă, convexa deschisă este neapărat inclusă într-un semi-spațiu strict. În special atunci când A și B sunt ambele deschise, am făcut o separare în care fiecare dintre convexe este inclusă într-unul dintre jumătățile stricte stricte: aceasta este mai bună decât o separare largă, dar mai puțin bună decât o separare strictă în sensul care are a fost ales în acest articol.

Principiul demonstrației

Prima teoremă de mai sus decurge destul de repede din versiunea „formei geometrice a teoremei Hahn-Banach” dată în articolul Teorema Hahn-Banach . Ideea suplimentară necesară pentru a concluziona este de a lua în considerare setul, adică setul de , unde variază în și în . Este ușor să verificați dacă este un convex deschis . Putem aplica apoi teorema menționată în articolul Teorema Hahn-Banach la această convexă și la , care oferă un hiperplan  ; este apoi ușor de văzut că printre hiperavioanele paralele cu unul răspunde la întrebare. LA-B{\ displaystyle AB}la-b{\ displaystyle ab}la{\ displaystyle a}LA{\ displaystyle A}b{\ displaystyle b}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}L={0}{\ displaystyle L = \ {0 \}}H1{\ displaystyle H_ {1}}H1{\ displaystyle H_ {1}}

Teorema de separare strictă

Acest rezultat este „a doua formă geometrică a teoremei lui Hahn-Banach”:

Teorema  -  Să fie un spațiu normat și două convexe de non-gol și disjunct. Presupunem închis și compact. Apoi există un hiperplan închis care separă strict și . E{\ displaystyle E}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}E{\ displaystyle E}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

O aplicație deosebit de importantă este reprezentarea convexelor închise ca intersecție a jumătăților închise. Când se intersectează jumătăți închise, rezultatul operației este evident un convex închis (deoarece atât convexitatea, cât și închiderea sunt păstrate prin intersecție, chiar infinită). Se pare că conversația este adevărată:

Corolar (teorema lui Eidelheit)  -  Într-un spațiu normalizat, orice convex închis este intersecția jumătăților închise care îl conțin.

Principiile demonstrațiilor

Pentru teoremă, observăm mai întâi că distanța care separă și este strict pozitivă (acesta este întotdeauna cazul distanței dintre un închis și un compact într-un spațiu metric). Poziționăm și considerăm (resp. ) Seturi de puncte la o distanță de (resp. ), Care sunt încă convexe, dar sunt deschise, rămânând în același timp disjuncte. Aplicăm acestor deschideri teorema separării în sens larg și verificăm în cele din urmă fără dificultate că hiperplanul obținut se separă de fapt strict de . d{\ displaystyle d}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}ϵ=d/3{\ displaystyle \ epsilon = d / 3}LA′{\ displaystyle A '}B′{\ displaystyle B '}ϵ{\ displaystyle \ epsilon}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

Pentru corolar, luăm orice punct al complementarului convexului închis . Prin aplicarea teoremei la și , obținem o jumătate de spațiu închis care conține, dar căruia nu îi aparține, ceea ce dovedește că nu se află în intersecția jumătăților închise care conțin . Includerea neevidentă este astfel dovedită. X0{\ displaystyle x_ {0}}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}{X0}{\ displaystyle \ {x_ {0} \}}VS{\ displaystyle C}X0{\ displaystyle x_ {0}}X0{\ displaystyle x_ {0}}VS{\ displaystyle C}

În dimensiunea finită, putem dovedi și această formă a teoremei separării bazându-ne pe teorema proiecției pe o convexă închisă . Într-adevăr, dacă este închis și este un singleton (care conține un punct exterior ), putem găsi un hiperplan care le separă prin proiectarea pe un punct, apoi folosind hiperplanul perpendicular pe trecerea prin mijlocul acestui segment. În cazul general, revenim la această situație specială separând închisul de , ca și în dovada teoremei largi a separării. LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}X0{\ displaystyle x_ {0}}LA{\ displaystyle A}X0{\ displaystyle x_ {0}}LA{\ displaystyle A}X0∗{\ displaystyle x_ {0} ^ {*}}[X0,X0∗]{\ displaystyle [x_ {0}, x_ {0} ^ {*}]}LA-B{\ displaystyle AB}{0}{\ displaystyle \ {0 \}}

Sprijină hiperavioanele

Un caz deosebit de important este acela în care B este un singleton care conține un singur punct , ales la marginea . X0{\ displaystyle x_ {0}}LA{\ displaystyle A}

Să începem cu o definiție: pentru o parte a unui spațiu vectorial pe și elementul din , spunem că un hiperplan afin este un hiperplan de susținere al lui en când aparține și este inclus într-unul din spațiile semi-limitate de . LA{\ displaystyle A}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}X0{\ displaystyle x_ {0}}LA{\ displaystyle A}H{\ displaystyle H}LA{\ displaystyle A}X0{\ displaystyle x_ {0}}X0{\ displaystyle x_ {0}}H{\ displaystyle H}LA{\ displaystyle A}H{\ displaystyle H}

Putem declara apoi:

Teorema  -  Într-un spațiu afin de dimensiune finită, adică un convex închis și un punct de la limita lui . Există cel puțin un hiperplan de susținere de la en . VS{\ displaystyle C}X0{\ displaystyle x_ {0}}VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}X0{\ displaystyle x_ {0}}

Pentru a dovedi aceasta , vom scăpa de toate cazul degenerată dimensiunea de este mai mică decât cea a spațiului ambiental: dacă este așa, orice hiperplan afin care conține rafinează plic să fie. Odată ce acest caz este eliminat, interiorul nu este gol și putem aplica teorema de separare la deschidere și la singleton , care este separat de un hiperplan . Așa cum este aderența interiorului său (a se vedea articolul Aderența, interiorul și marginea unui convex ), este, de asemenea, inclus într-unul dintre demi-spațiile delimitate de și, prin urmare , acest hiperplan îndeplinește specificațiile. VS{\ displaystyle C}VS{\ displaystyle C}eunut(VS){\ displaystyle \ mathrm {int} (C)}eunut(VS){\ displaystyle \ mathrm {int} (C)}{X0}{\ displaystyle \ {x_ {0} \}}H{\ displaystyle H}VS{\ displaystyle C}H{\ displaystyle H}

Hiperplanele de sprijin sunt instrumente fundamentale pentru clasificarea punctelor de la marginea unui poliedru convex în vârfuri, puncte de margine, puncte de față etc. și mai general pentru a distinge și studia puncte și părți remarcabile ale marginii unui convex .

Teorema separării lui Stone

Următorul rezultat fundamental, datorat lui Marshall Stone , este pur algebric: spațiul ambiental este de orice dimensiune și nu este dotat cu nicio topologie.

Într-un spațiu afin real, pentru toate convexele disjuncte și , există două convexe și , complementare unele cu altele, astfel încât și . LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}D{\ displaystyle D}LA⊂VS{\ displaystyle A \ subset C}B⊂D{\ displaystyle B \ subset D}

Pentru a demonstra acest lucru, este suficient să se aplice lema lui Zorn la setul inductiv de convexe conținând și disjunct de (ordonate prin incluziune), sau chiar la acelea de perechi disjuncte de convexe precum și . LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B} (VS,D){\ displaystyle (C, D)}LA⊂VS{\ displaystyle A \ subset C}B⊂D{\ displaystyle B \ subset D}

Referințe

1. Haim Brezis , Analiza functionala: teorie si aplicatii [ detalii de ediții ], p. 4-5 în ediția din 1983.
2. Definiția variază în funcție de surse. Marcel Berger , Geometrie [ detaliu ediții ]de exemplu, necesită acest lucru și să fie de ambele părți , în semi-planurile stricte pe care le limitează.LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}H{\ displaystyle H}
3. Deci în Brezis , care a servit ca sursă; acestea sunt teoremele I-6 și Remarca 4, p. 5 și 7.
4. Brezis , nota 4, p. 7.
5. Brezis , a. I.7, p. 7.
6. Berger , propunerea 11.5.5, volumul 3, p. 45 în ediția din 1978 (afirmația este dată în această sursă numai în dimensiune finită).
7. (of) Mr. Eidelheit , "  Zur Theorie der konvexen Mengen in Linearen normierten Raumen  " , Studia Mathematica , vol.  6,1936, p.  104-111
8. (ro) JB Hiriart-Urruty și Lemaréchal C., Fundamentals of Convex Analysis , Springer și colab.  „Ediții text Grundlehren”,2001( ISBN  3540422056 ) , p.  51-53.
9. Berger , Prop. 11.5.2, volumul 3, p. 43.
10. (în) Richard B. Holmes, Analiza funcțională geometrică și aplicațiile sale , al.  „  GTM  ” ( nr .  24)1975( citiți online ) , p.  7.
11. (în) Gottfried Köthe ( trad.  Din limba germană de DJH Garling) Spații vectoriale topologice ["  Topologische lineare Räume  "], vol.  Eu, col.  „  Grund. matematica. Wiss.  "( N o  159),1983( 1 st  ed. 1966) ( linia citit ) , p.  186, oferă această demonstrație, precum și o variantă care demonstrează în prealabil existența unui con convex contondent maxim .LA-B{\ displaystyle AB}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">