În urma unei divizibilități slabe sau puternice
În matematică, noțiunea de secvență cu divizibilitate slabă sau puternică este o noțiune privind o succesiune de numere întregi care leagă divizibilitatea termenilor săi de cea a indicilor săi.
(lanu)nu⩾1{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geqslant 1}}
Definiții și primele exemple
Secvența are divizibilitate redusă dacă pentru toate numerele întregi> 0 n, k , este multiplu sau, cu alte cuvinte:
(lanu){\ displaystyle (a_ {n})}laknu{\ displaystyle a_ {kn}}lanu{\ displaystyle a_ {n}}
dacă nu∣ m asa de lanu∣lam{\ displaystyle {\ text {si}} n \ mid \ m \, {\ text {then}} \, a_ {n} \ mid a_ {m}}.
Conceptul poate fi generalizat la secvențe de valori într-un inel .
Notând , o astfel de secvență verifică astfel pentru toți n, m:nu∧m=pgcd(nu,m){\ displaystyle n \ land m = {\ text {pgcd}} (n, m)}
lanu∧m∣lanu∧lam{\ displaystyle a_ {n \ land m} \ mid a_ {n} \ land a_ {m}}
Un exemplu simplu este secvența cu a și b numere întregi, deoarece este divizibilă după formula lui Bernoulli.(lanu-bnu){\ displaystyle (a ^ {n} -b ^ {n})}laknu-bknu=(lanu)k-(bnu)k{\ displaystyle a ^ {kn} -b ^ {kn} = (a ^ {n}) ^ {k} - (b ^ {n}) ^ {k}}lanu-bnu{\ displaystyle a ^ {n} -b ^ {n}}
Secvența are o divizibilitate puternică dacă pentru toate numerele întregi> 0 n , m(lanu){\ displaystyle (a_ {n})}
lanu∧lam=|lanu∧m|{\ displaystyle a_ {n} \ land a_ {m} = | a_ {n \ land m} |} .
Dacă harta are valori pozitive, aceasta înseamnă că această hartă este un morfism pentru legea pgcd.
nu↦lanu{\ displaystyle n \ mapsto a_ {n}}
Orice secvență cu divizibilitate puternică este cu divizibilitate slabă, deoarece dacă și numai dacă .
nu∣m{\ displaystyle n \ mid m}pgcd(nu,m)=nu{\ displaystyle {\ text {pgcd}} (n, m) = n}
Pe lângă exemplul banal al secvențelor constante, un exemplu simplu este dat de secvențele de tip car .
lanu=knu,{\ displaystyle a_ {n} = kn,}knu∧km=k(nu∧m){\ displaystyle kn \ land km = k (n \ land m)}
Proprietate care permite trecerea de la divizibilitate slabă la puternică
Teorema - Dacă secvența cu valori> 0 este divizibilă slabă și se menține pentru , atunci este divizibilitate puternică.
(lanu){\ displaystyle (a_ {n})}lanu∧lam|lanu-m{\ displaystyle a_ {n} \ land a_ {m} | a_ {nm}}nu>m{\ displaystyle n> m}
Demonstrație
- Din divizibilitatea redusă .lanu∧m | lanu∧lam{\ displaystyle a_ {n \ land m} ~ | ~ a_ {n} \ land a_ {m}}
- Conform teoremei Bachet-Bézout , există două numere întregi> 0 u și v astfel încât . Ca divizează și , divizează și prin divizibilitate slabă, așa și în funcție de proprietatea asumată, cu alte cuvinte .nu∧m=nutu-mv{\ displaystyle n \ land m = nu-mv}lanu∧lam{\ displaystyle a_ {n} \ land a_ {m}}lanu{\ displaystyle a_ {n}}lam{\ displaystyle a_ {m}}lanutu{\ displaystyle a_ {nu}}lanuv{\ displaystyle a_ {nv}}lanutu-mv=lanu∧m{\ displaystyle a_ {nu-mv} = a_ {n \ land m}}lanu∧lam | lanu∧m{\ displaystyle a_ {n} \ land a_ {m} ~ | ~ a_ {n \ land m}}
- Concluzionăm că .lanu∧m=lanu∧lam{\ displaystyle a_ {n \ land m} = a_ {n} \ land a_ {m}}
Exemple
Orice suită Lucas de primul tip U( P , Q ) este divizibilitate slabă și divizibilitate puternică dacă și numai dacă mcd ( P , Q ) = 1 . O demonstrație poate fi găsită pe pagina continuărilor Lucas .
În special sunt puternic divizibile:
- Secvența Fibonacci .(Fnu)=U(1,-1){\ displaystyle (F_ {n}) = U (1, -1)}
- Următoare Pell .(Pnu)=U(2,-1){\ displaystyle (P_ {n}) = U (2, -1)}
- Succesiunea numerelor Mersenne .(2nu-1)=U(2,1){\ displaystyle (2 ^ {n} -1) = U (2,1)}
- Mai general după baza de repunire b .(Rnub)=U(b+1,b){\ displaystyle (R_ {n} ^ {b}) = U (b + 1, b)}
- Și mai general secvența cu a și b întregi prime între ele.(lanu-bnula-b)=U(la+b,lab){\ displaystyle \ left ({\ frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {ab}} \ right) = U (a + b, ab)}
Note și referințe
-
Anne BAUVAL " suite recurente liniare pentru ordinea 2 la divizibilitate puternică " RMS (Journal of Mathematics of Higher Education), nr. 127-3 ,,2017( citește online )
Vezi și tu
Bibliografie
: document utilizat ca sursă pentru acest articol.
-
Graham Everest , Alf van der Poorten , Igor Shparlinski și Thomas Ward , Secvențe de recurență , Societatea Americană de Matematică,2003( ISBN 978-0-8218-3387-2 )