Teorema lui Zsigmondy

În teoria numerelor , teorema lui Zsigmondy , numită după Karl Zsigmondy (de) , afirmă că dacă a > b > 0 sunt numere întregi prime între ele , atunci pentru orice număr întreg n ≥ 1, există un număr prim p (numit divizor primitiv primar ) împarte a n - b n și nu împarte a k - b k pentru k < n , cu următoarele excepții:

n = 1 , a - b = 1 ; atunci, a n - b n = 1 care nu are divizori primi;
n = 2 , a + b o putere de două ; atunci, orice factor prim impar al unui 2 - b 2 = ( a + b ) ( a 1 - b 1 ) trebuie conținut într- un 1 - b 1 , care este, de asemenea, par;
n = 6 , a = 2 , b = 1 ; apoi, a 6 - b 6 = 63 = 3 2 × 7 = ( a 2 - b 2 ) 2 ( a 3 - b 3 ).

Aceasta generalizează o teoremă Bang, care afirmă că dacă n > 1 și n diferit de 6, atunci 2 n - 1 are un divizor prim care nu împarte 2 k - 1 pentru nici un k < n .

La fel, a n + b n are cel puțin un divizor primitiv primitiv, cu excepția 2 3 + 1 3 = 9 .

Teorema lui Zsigmondy este adesea utilă, în special în teoria grupurilor , unde este utilizată pentru a arăta că diferite grupuri au ordine distincte, cu excepția cazului în care sunt egale.

Istorie

Teorema a fost descoperită de Zsigmondy, care a lucrat la Viena între 1894 și 1925.

Generalizări

Fie o secvență de numere întregi diferite de zero. Setul de Zsigmondy asociat cu suita este setul ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (a_ {n}) = \ {n \ geq 1 \ mid a_ {n} {\ text {nu are divizor primitiv}} \}}

adică ansamblul de indici astfel încât orice număr prim divizor să se împartă și pentru un anumit . Astfel, teorema implică faptul că Zsigmondy , și teorema Carmichael (în) , se precizează că toate Zsigmondy de Fibonacci este , și că rezultatul Pell lui . În 2001, Bilu și Hanrot Voutier au arătat că, în general, dacă este un rezultat al lui Lucas sau un rezultat al lui Lehmer (în) , atunci . $nu$ $an$ $a_ {m}$ $m <n$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (a ^ {n} -b ^ {n}) \ subset \ {1,2,6 \}}$ ${\ displaystyle \ {1,2,6,12 \}}$ $\ {1 \}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (a_ {n}) \ subset \ left [1,30 \ right]}$

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Teorema lui Zsigmondy ” ( vezi lista autorilor ) .

(în) Y. Bilu, G. Hanrot și PM Voutier, „ Existența divizorilor primitivi ai numerelor Lucas și Lehmer ” , J. Queen angew. Matematica. , vol. 539,2001, p. 75-122.

Vezi și tu

Bibliografie

(ro) Graham Everest , Alf van der Poorten (ro) , Igor Shparlinski și Thomas Ward , Secvențe de recurență , Providence (RI) , AMS , col. „Sondaje și monografii matematice” ( nr . 104)2003( ISBN 0-8218-3387-1 , zbMATH 1033.11006 ) , p. 103-104
(ro) Walter Feit , „ On Large Zsigmondy Primes ” , Proc. Amar. Matematica. Soc. , vol. 102, nr . 1,1988, p. 29-36 ( DOI 10.2307 / 2046025 , JSTOR 2046025 )
(ro) Moshe Roitman, „ On Zsigmondy Primes ” , Proc. Amar. Matematica. Soc. , vol. 125, nr . 7,1997, p. 1913-1919 ( DOI 10.1090 / S0002-9939-97-03981-6 , JSTOR 2162291 )
(de) Th. Schmid, „ Karl Zsigmondy ” , Jahresber. DMV , vol. 36,1927, p. 167-168 ( citește online )
(de) K. Zsigmondy, „ Zur Theorie der Potenzreste ” , Monatshefte für Mathematik , vol. 3, n o 1,1892, p. 265-284 ( DOI 10.1007 / BF01692444 )

Link extern

(ro) Eric W. Weisstein , „ Zsigmondy Theorem ” , pe MathWorld