Subgrupul Frattini

Fie G un grup (în sens matematic). Elementele lui G care aparțin oricărui subgrup maxim al lui G formează un subgrup al lui G , pe care îl numim subgrupul lui Frattini al lui G și pe care îl notăm cu Φ ( G ). Dacă G admite cel puțin un subgrup maxim, putem vorbi despre intersecția subgrupurilor sale maxime și Φ ( G ) este egal cu această intersecție. Dacă G nu are subgrup maxim, Φ ( G ) este egal cu G întreg.

Elemente inutile ale unui grup

Noi numim element de prisos (sau elementul moale ) al unui grup G orice element al G având următoarea proprietate: orice parte X din G astfel încât X ∪ { x } este o parte de generare a G este ea însăși o parte generatoare de G . X{\ displaystyle x}

Teorema  -  Subgrupul Frattini Φ ( G ) al lui G este ansamblul elementelor de prisos ale lui G

Demonstrație

• Fie x un element de prisos al lui G ; să dovedim că x aparține lui Φ ( G ). Aceasta pentru a demonstra că x aparține fiecărui subgrup G maxim . Fie M un subgrup maxim de G ; Acest lucru este de a dovedi că x aparține M . Să presupunem, pentru absurd, x nu aparține M . Deci, deoarece M este un subgrup maximal al G , M ∪ { x } este un generator de G . Deoarece x este de prisos, rezultă că M este un generator de G , care este absurd, deoarece , prin definiție , un maxim subgrup M este un subset adecvat al G . Contradicția obținută dovedește că orice element de prisos aparține subgrupului Frattini.
• Pentru a dovedi Reciproca, să presupunem că x nu este un element de prisos de G și să demonstreze că x nu este subgrupa Frattini al G . Este vorba de a demonstra că există un subgrup maxim de G care nu include x . Deoarece x nu este de prisos în G , există o parte X a G care nu generează G și care este astfel încât X ∪ { x } generează G . Este clar că subgrupul lui G generat de X nu include x (în caz contrar, acest subgrup ar conține partea generatoare X ∪ { x } și, prin urmare, ar fi G în întregime, cu alte cuvinte X ar fi o parte generatoare a lui G ). Setul E al subgrupurilor de G care conțin X și care nu include x este, prin urmare, non- gol. Pe de altă parte, este clar că unirea unui set ordonat total prin includerea elementelor lui E, adică a subgrupurilor de G care conțin X și care nu includ x , este el însuși un subgrup de G care conține X și care nu include x . Aceasta arată că mulțimea E, ordonată prin includere, este inductivă. Potrivit Lema Zorn , acest set admite un element maxim, sau M . Să ne dovedi că M este un subgrup maxim de G . Să presupunem, pentru absurd M nu este un subgrup maximal al G . Prin urmare, există un subgrup K al lui G astfel încât M <K <G . Să dovedim că K aparține lui E , adică K conține X și nu include x . Este evident că K conține X . Dacă K a constat din x , aceasta ar conține porțiunea generatorului X ∪ { x } din G și este astfel egal cu G întreg, ceea ce contrazice ipotezele privind K . Astfel, K aparține E și ipoteza M <K contrazice maximalitate lui M în E . Această contradicție demonstrează că M este un subgrup maxim de G , prin urmare, deoarece M nu include x , există un subgrup maxim de G care nu include x , care, după cum am văzut, completează demonstrația.

Proprietățile subgrupului Frattini

• Subgrupă Frattini al G este un subgrup caracteristic al G .
  Justificare. Acest lucru rezultă cu ușurință din faptul că imaginea unui maxim de subgrup G de un automorphism de G este din nou un subgrup maxim de G .

• Fie G un grup al cărui subgrup Frattini este de tip finit . (Acesta este cazul, de exemplu, dacă G este finit .) Dacă H este un subgrup al lui G ca G = H Φ ( G ), atunci H = G .
  Justificare. Deoarece Φ ( G ) este de tip finit, putem alege elementele x 1 , ..., x n care generează Φ ( G ). Ipoteza G = H Φ ( G ) implică faptul că H ∪ {x 1 , ..., x n } este un generator de G . Deoarece x n aparține Φ ( G ) și este , prin urmare , un element inutil al G , rezultă că H ∪ {x 1 , ..., x n - 1 } este un generator de G . Treptat, atrage că H este un generator de G . Deoarece H este un subgrup al lui G , aceasta înseamnă că H = G .
• Proprietatea anterioară rămâne adevărată dacă înlocuim ipoteza „Φ ( G ) este de tip finit” cu ipoteza „G este de tip finit”: Fie G un grup de tip finit. (Acesta este cazul, de exemplu, dacă G este finit .) Dacă H este un subgrup al lui G ca G = H Φ ( G ), atunci H = G .
  Justificare. Să presupunem că H nu este egal cu întregul lui G. Deoarece G este finit generat, aceasta implică faptul că există un maxim subgrup M al G conținând H . Atunci M conține atât H, cât și (prin definiția lui Φ ( G )) Φ ( G ), deci M conține H Φ ( G ), ceea ce contrazice ipoteza G = H Φ ( G ).
• Un exemplu de grup G , pentru care nu este adevărat că singurul subgrup H al G astfel încât G = H Φ ( G ) sau G . Să luăm pentru G un grup care nu este redus la elementul său neutru și care nu are un subgrup maxim. (Știm că acesta este cazul, de exemplu, dacă G este grupul aditiv al numerelor raționale. ) Apoi, prin definiția subgrupului Frattini, Φ ( G ) este G întreg, deci relația G = H Φ ( G ) are loc cu H = 1 <G.
• Să fie G un grup. Dacă Φ ( G ) este finit (ceea ce se întâmplă în special dacă G este finit), este nilpotent.
  Justificare. Deoarece Φ ( G ) este finit, pentru a demonstra că este nilpotent , este suficient să se demonstreze că toate subgrupurile sale Sylow sunt normale . Fie P un subgrup Sylow al lui Φ ( G ). Deoarece Φ ( G ) este normal în G , argumentul lui Frattini dă G = Φ ( G ) N G ( P ). Deoarece Φ ( G ) este finit și, a fortiori, de tip finit, o observație anterioară are ca rezultat G = N G ( P ), cu alte cuvinte P este normal în G și, prin urmare, și în Φ ( G ). După cum am văzut, acest lucru implică faptul că Φ ( G ) este nilpotent.
• Un grup finit G este nilpotent dacă și numai dacă Φ ( G ) conține derivatul G ' al G .
  Justificare. Dacă un grup G (finit sau nu) este nilpotent, orice subgrup maximal M al G este normal în G și gruparea câtul este ciclică ordinul întâi , prin urmare , acest coeficient este comutativ, deci derivatul G ' este conținută în M . Acest lucru fiind adevărat pentru orice subgrup maxim M al lui G , rezultă că derivata G ' este conținută în Φ ( G ).
  Să presupunem acum că G este finit și că Φ ( G ) conține G '. Ca orice maxim subgrup al lui G conține Φ ( G ), fiecare maxim subgrup al lui G conține G ' și este normal în G . Deoarece G este finit, aceasta implică faptul că G este nilpotent .
• Subgrupul Frattini al unui p -grup finit G este egal cu G'G p . Coeficientul G / Φ ( G ) este deci un grup p - elementar abelian  (en) , adică o putere de ℤ / p ℤ . Aceasta este teorema lui Frattini .

Istorie

Subgrupul Frattini a fost studiat pentru prima dată de Giovanni Frattini în 1885, într-un articol în care a demonstrat în mod special o afirmație echivalentă cu faptul că subgrupul Frattini al unui grup finit este nilpotent.

Note și referințe

1. Calais 1984 , p.  267
2. Luisa Paoluzzi, Agregare matematică internă, grupuri , online .
3. Următoarea dovadă este dată de Scott 1987 , p.  159. Vezi și Calais 1984 , p.  267.
4. Scott 1987 , p.  160-161.
5. Vizualizare (în) PM Cohn , Algebra de bază: grupuri, inele și câmpuri , 2003 prop. 2.6.2, p. 46, previzualizare pe Google Cărți .
6. Pentru afirmație, vezi Scott 1987 , p.  162, enunț 7.3.14.
7. Pentru următoarea demonstrație, vezi Scott 1987 , p.  162, a doua parte a dem. de la 7.3.13.
8. A se vedea de exemplu (în) JS Rose, Un curs despre teoria grupurilor , UPC ,1978( citiți online ) , p.  266-267, teoretic. 11.3.
9. (în) Joseph J. Rotman  (în) , Introducere în teoria grupurilor [ ediții cu amănuntul ], Ediția a 4- a , ediția din 1999, teor. 5.40, p.  117.
10. (de) Bertram Huppert  (en) , Endliche Gruppen , vol.  Eu, Springer , col.  „  Grund. matematica. Wiss.  "( N o  134),2013( 1 st  ed. 1967) ( linia citit ) , p.  272, a. 3.14.
11. (It) G. Frattini, "Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni", Atti della Reale Accademia dei Lincei , Rendiconti , series 4, vol. 1, p.  281-285 și 455-457.
12. (în) Hans Kurzweil  (de) și Bernd Stellmacher , Theory of Finite Groups, An Introduction , Springer,2004, 388  p. ( ISBN  978-0-387-40510-0 , citit online ) , p.  105 și 376.
13. (de) Serviciul european de informare matematică , Arhiva electronică de cercetare pentru matematică , baza de date Jahrbuch .

• Josette Calais , Elements of theory theory , Paris, PUF ,1984
• (ro) WR Scott , Teoria grupului , Dover ,1987, A 2 -a  ed. , 479  p. ( ISBN  978-0-486-65377-8 , citit online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">