Generarea unei părți a unui grup

În teoria grupurilor , o parte generatoare a unui grup este o parte A a acestui grup, astfel încât orice element al grupului este scris ca produsul unui număr finit de elemente ale lui A și inversele acestora.

Se spune că un grup este de tip finit atunci când admite o parte generatoare finită . Un grup generat de un singur element este izomorf fie pentru grupul aditiv de numere întregi relative (ℤ, +), fie pentru un grup aditiv de clase modulo n (ℤ / n ℤ, +); se spune că este un grup monogen . Cele subgrupuri de grupuri comutative tip finit sunt , de asemenea , de tip finit, dar acest lucru nu este adevărat , fără presupunerea comutativitatea.

Subgrup generat de o petrecere

Să fie G un grup. Orice intersecție a subgrupe de G este un subgrup al lui G . Pentru partea S a G , există un subgrup G minim pentru a fi incluse în rândul subgrupurilor care conțin S , și anume intersecția tuturor subgrupurilor care conțin S . Se numește subgrupul generat de S , și este de notat ⟨ S ⟩.

Descriere: Avem o descriere explicită a elementelor grupului ⟨ S ⟩. Acestea sunt exact produsele elementelor sau inverselor lui S :

{\ displaystyle \ left \ langle S \ right \ rangle = \ left \ {x_ {1} ^ {\ varepsilon _ {1}} x_ {2} ^ {\ varepsilon _ {2}} \ cdots x_ {n} ^ {\ varepsilon _ {n}} \ mid n \ in \ mathbb {N} \; {\ mbox {et}} \; \ forall i, x_ {i} \ in S, \ varepsilon _ {i} = \ pm 1 \ dreapta \}.}

Exemple:

În grupul ciclic ℤ / n ℤ, subgrupul generat de clasa unui număr întreg k este subgrupul ℤ / ( n / d ) ℤ unde d reprezintă GCD al lui k și n .
În cazul unui grup finit G , inversul unui element x este o putere a lui x (mai exact, avem x −1 = x d –1 , unde d denotă ordinea lui x ). Ca urmare, subgrupul generat de un set sous S a unui grup finit G , este multimea elementelor G , care sunt elementele produse S .

Generarea unei părți a unui grup

Spunem că S este o parte generatoare a grupului G sau că G este generat de S , când subgrupul generat de S este G :

{\ displaystyle G = \ langle S \ rangle}

Cu alte cuvinte, orice element al lui G este un produs al elementelor lui S sau inversele acestora.

Exemple:

Orice grup G are cel puțin două piese de generatoare: G în sine și G \ { e }, unde e reprezintă elementul neutru al G .
Pentru orice subgrup H al lui G diferit de G , complementul S = G \ H este o parte generatoare a lui G (într-adevăr, orice element al lui G aparține fie lui S, fie lui H și, în al doilea caz, este scris ca produs din două elemente ale lui S , dintre care unul este ales în mod arbitrar, iar celălalt este determinat de această alegere).

Fiecare grup finit de ordine $n$ are o parte generatoare de ordine , unde este descompunerea lui $n$ în factori primi . ${\ displaystyle \ leq \ sum _ {p \ in {\ mathcal {P}}} \ alpha _ {p} \ leq \ lfloor \ log _ {2} n \ rfloor}$ ${\ displaystyle n = \ prod _ {p \ in {\ mathcal {P}}} p ^ {\ alpha _ {p}}}$

Grupuri de tip finit

Grup monogenic și grup ciclic

Se spune că un grup este monogen , dacă este generat doar de unul dintre elementele sale:

G este monogen dacă există un element a din G astfel încât G = ⟨{ a }⟩.

Dacă în plus este terminat, se spune că este ciclic .

Clasificarea grupurilor de monogenice nu este dificil. Dacă a generează G , morfismul grupurilor ℤ → G , n ↦ a n este surjectiv . Prin teorema izomorfismului , acest homomorfism induce izomorfism: G ≃ ℤ / ker ( f ) . Cu toate acestea, ker ( f ) este un subgrup al lui ℤ, iar aceste subgrupuri sunt bine cunoscute: sunt grupuri n ℤ cu n număr întreg natural. Izomorfismul de mai sus este apoi scris: G ≃ ℤ / n ℤ.

Până la izomorfism , există un grup monogen infinit unic (corespunzător lui n = 0), iar pentru fiecare număr întreg n > 0, un grup ciclic unic de cardinal n .

Generatorii lui ℤ / n ℤ sunt exact clasele întregi k prime cu n . Numărul acestor clase este notat φ ( n ). Funcția φ este indicatorul Euler , joacă un rol important în aritmetică .

Grup de tip finit

Se spune că un grup este de tip finit dacă are o parte generatoare finită.

Acest lucru înseamnă a spune că grupul este un coeficient al unui grup liber peste un număr finit de generatoare.

Pentru grupurile nespecificate de tip finit, se pot face câteva observații generale:

Orice grup de tip finit este cel mult numărabil , dar invers este fals: de exemplu, grupul aditiv al raționalelor nu este de tip finit.
Fie G un grup și H un subgrup distinct . Dacă G este de tip finit , atunci gruparea câtul G / H , de asemenea. Dacă H și G / H sunt de tip finit , atunci G prea.
Toate subgrupurile de indici terminate un grup finit generat sunt generate finit (a se vedea teorema Nielsen-Schreier sau lema lui Schreier ).
Un subgrup, chiar distins, al unui grup de tip finit nu este întotdeauna de tip finit: de exemplu, grupul derivat din grupul liber F { a , b } pe doi generatori a și b este grupul liber pe o infinitate numărabilă de generatoare: comutatoarele [ a m , b n ] pentru toate numerele întregi diferite de zero m, n .
Se spune că un grup este noetherian dacă toate subgrupurile sale sunt de tip finit sau dacă setul subgrupurilor sale (ordonate prin incluziune) îndeplinește condiția lanțului ascendent . Orice grup policiclic (în) (în special orice grup super-rezolvabil ), este noeterian: subgrupurile sale au chiar o prezentare finită .
Se spune că un grup este artinian dacă toate subgrupurile sale îndeplinesc condiția lanțului descendent . Orice extensie a unui grup Abelian Artinian de către un grup finit este un grup Artinian.

Pentru un grup abelian , aceste două noțiuni sunt respectiv echivalente cu cele ale modulului noetherian și modulului artinian ( pe ℤ ). Grupurile abeliene noetheriene sunt deci grupurile abeliene de tip finit , iar grupurile abeliene artiniene sunt produsele directe ale unui grup abelian finit de un număr finit de grupuri Prüfer .

Orice grup abelian de tip finit este un produs direct al unui număr finit de grupuri monogene: există chiar un număr întreg r unic și o secvență finită unică de numere întregi naturale, fiecare dintre care împarte următorul ,, astfel încât G este izomorf la . Cazul special al grupurilor abeliene finite ( r = 0) este teorema lui Kronecker . $n_1 | n_2 | \ dots | n_s$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {r} \ times \ mathbb {Z} / n_ {1} \ mathbb {Z} \ times \ dots \ times \ mathbb {Z} / n_ {s} \ mathbb {Z} }$

Un exemplu de parte generator

Fie K un câmp comutativ , grupul liniar special SL n ( K ) este generat de matricile de transvecție .

Referințe

A se vedea, de exemplu, Daniel Guin și Thomas Hausberger, Algebra 1 (L3M1) , EDP Sciences ,2008( citiți online ) , p. 136.
Jean Vuillemin (ro) , „ Cum se verifică asociativitatea unui tabel de grup ”, Theoretical Computer Science , vol. 4, n o 1,1977, p. 77-82 ( citiți online ).

Articol asociat

Subgrup generat normal (în)