Subspatiu afin generat

În geometria într - un spațiu afin , coca afin de o parte , nu gol , de asemenea , menționată ca afin plic pentru , este cel mai mic subspațiul afin de conținut . E{\ displaystyle E} LA{\ displaystyle A}LA{\ displaystyle A} E{\ displaystyle E}LA{\ displaystyle A}

Definiție

Într-un spațiu afin, intersecția unei familii (non- goale ) de subspaițe afine este fie setul gol, fie un subspatiu afin, iar spațiul în sine este un subspatiu, ceea ce justifică următoarea definiție:

Să fie un spațiu afin. Pentru orice parte nevidă a , există o mică afin care conține subspațiu  : intersecția tuturor afin conținând subspatii . E{\ displaystyle E}LA{\ displaystyle A}E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}LA{\ displaystyle A}E{\ displaystyle E}LA{\ displaystyle A}

Îl numim subspaiul afinar generat de și îl denotăm adesea sau , sau din nou .LA{\ displaystyle A}Af⁡(LA){\ displaystyle \ operatorname {Aff} (A)}af⁡(LA){\ displaystyle \ operatorname {aff} (A)}af⁡LA{\ displaystyle \ operatorname {aff} A}

Proprietăți

Să fie și să fie spații afine și , două părți non-goale ale și o parte non-vidă a . E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}E{\ displaystyle E}VS{\ displaystyle C}F{\ displaystyle F}

• af⁡(LA){\ displaystyle \ operatorname {aff} (A)}este egal cu setul de baricentre ale punctelor de .LA{\ displaystyle A}
• Dacă este o hartă afină atunci .f:E→F{\ displaystyle f: E \ to F}f(af⁡(LA))=af⁡(f(LA)){\ displaystyle f (\ operatorname {aff} (A)) = \ operatorname {aff} (f (A))}
• af⁡(B)×af⁡(VS)=af⁡(B×VS){\ displaystyle \ operatorname {aff} (B) \ times \ operatorname {aff} (C) = \ operatorname {aff} (B \ times C)}(în spațiul afin produs ).E×F{\ displaystyle E \ times F}
• LA{\ displaystyle A}iar învelișul său convex generează același subspatiu afin.
• Pentru orice punct al , direcția de este subspatiului vectorul generat (în spațiul vectorial asociat ) prin .P{\ displaystyle P}LA{\ displaystyle A}af⁡(LA){\ displaystyle \ operatorname {aff} (A)}E{\ displaystyle E}{PÎ→∣Î∈LA}{\ displaystyle \ {{\ overrightarrow {PQ}} \ mid Q \ în A \}}
• af{\ displaystyle \ operatorname {aff}}este un operator de închidere  : , și .LA⊂af⁡(LA){\ displaystyle A \ subset \ operatorname {aff} (A)}LA⊂B⇒af⁡(LA)⊂af⁡(B){\ displaystyle A \ subset B \ Rightarrow \ operatorname {aff} (A) \ subset \ operatorname {aff} (B)}af⁡(af⁡(LA))=af⁡(LA){\ displaystyle \ operatorname {aff} (\ operatorname {aff} (A)) = \ operatorname {aff} (A)}

Note și referințe

1. Dany-Jack Mercier, Curs de geometrie: pregătire pentru CAPES și agregare , Universitatea Publibook,2005( citiți online ) , p.  33.
2. Daniel Guinin și Bernard Joppin, Algebră și geometrie PCSI , Bréal ,2003( citiți online ) , p.  256.
3. (în) R. Tyrrell Rockafellar , Convex Analysis , Princeton, NJ, Princeton University Press , col.  „Seria matematică Princeton” ( nr .  28),1970( citiți online ) , p.  6(limitat la caz ).E=Rnu{\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}
4. Mercier 2005 , p.  37.
5. Mercier 2005 , p.  49.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">