Extrem

Expresia „element extremum (plural extrema )” înseamnă „element maxim” sau „element minim”. În matematică, expresia maximo-minimă , introdusă de Nicolas de Cues , corespunde de la Fermat și Leibniz la extremele unei curbe sau ale unei funcții, identificate prin faptul că derivatele dispar acolo.

Într - un set ordonat E , un element din partea A este cel mai mare element sau un maxim de A , în cazul în care face parte din A și este superior oricărui alt element al A . Existența unui maxim nu este, în general, garantată pentru nicio parte a unui set comandat. Pe de altă parte, sub condiția existenței, un astfel de element este unic (ceea ce justifică utilizarea articolului definit „the” în definiție). În mod similar, cel mai mic element sau minim este, în cazul în care există un element de o mai mică decât oricare alt element al A .

General

Unicitate

Dacă o parte A din E admite două maxime, m 1 și m 2 , atunci m 1 este mai mare decât orice element al lui A , deci în special decât m 2  ; și la fel, m 2 este mai mare decât m 1 . Prin antisimetrie a relațiilor de ordine , din aceasta se deduce egalitatea m 1 = m 2 .

Comparație cu alte noțiuni

Alte noțiuni referitoare la seturile ordonate sunt apropiate de cele ale maximului; comparându-le vă permite să le înțelegeți mai bine:

• Noțiunea de limită superioară și limită inferioară  : dacă există, un element al lui E este o limită superioară a lui A dacă este mai mare decât orice element al lui A  ; dacă există, un element al lui E este o limită inferioară a lui A dacă este mai mic decât orice element al lui A  ; astfel, extremele (maximul și minimul) care există într-un set E fac parte (respectiv) din limita superioară și inferioară a lui E în sine.
• Noțiunea de legătură ( limita superioară , numită și suprem, sau limita inferioară , numită și infimum ): dacă există, limita superioară a lui A este cea mai mică dintre toate limita superioară a lui A în E (limita superioară a lui A este deci definit ca minimul unei anumite părți din E și unicitatea sa este garantată, dar nu și existența sa). A admite un maxim dacă și numai dacă limita sa superioară există și aparține lui A (și în acest caz, este egală cu maximul); și invers pentru limita inferioară.
• Noțiunea de element extrem (element maxim sau element minim ) numită și legătură inclusivă: un element al lui E este maxim în A , dacă aparține lui A și nu este inferior niciunui alt element al lui A  ; un element E este minim în A , în cazul în care aparține A , și este superior oricărui alt element al A .

Dacă există, extremumurile (maximul sau minimul) unui set E sunt întotdeauna elemente extremale (limite inclusiv: element maxim sau element minim) ale lui E în sine; noțiunile de extrem (maxim și minim) și element extrem (un element maxim sau un element minim) coincid în seturile prevăzute cu o ordine totală  ; când E este finit, există o echivalență între existența unui singur element extrem (legat inclusiv: element maxim sau element minim) și existența unui extrem (maximul sau minimul, fiecare în mod necesar unic cu un ordin total asupra unui set finit ).

Verificări

• Un element m al lui E este maximul lui A dacă și numai dacă m este limita superioară a lui A și m aparține lui A  : dacă A are un m maxim atunci în E , limita superioară a lui A este exact limita superioară a lui m și m este cea mai mică dintre ele astfel încât aceasta este limita superioară a a . În schimb, dacă limita superioară a lui A există și aparține lui A , atunci aceasta este o limită superioară a lui A aparține lui A , deci aceasta este A maximă .
• Maximul, dacă există, este maxim  : dacă A are un m maxim atunci, pentru orice element a din A , m majori a (prin antisimetrie a relației de ordine) nu este strict mai mic decât acesta, ceea ce arată că m este maxim în bine A .
• Dacă ordinea este totală, orice element maxim este maxim  : presupunem acum că E are o ordine totală. Fie are un element de maxim A . Sau b un alt element al A . Atunci a nu este mai mic decât b , prin urmare, deoarece ordinea este totală, b este mai mică decât a . Deci a este mai mare sau egal cu fiecare element al lui A , deci acesta este A maxim .

Dar acest lucru nu este neapărat adevărat pe un set gol sau infinit sau în cazul unei ordini netotale (unde două elemente pot fi ordonate în același mod cu celelalte și reciproc între ele și, prin urmare, fiecare poate fi elemente extremale. distinct). De exemplu, setul de numai trei numere întregi {0, 1, 2} furnizate cu ordinea parțială care nu compară valoarea lor, ci paritatea lor (restul diviziunii lor euclidiene cu 2) nu este complet ordonată deoarece elementele 0 și 2 au același paritatea 0 (elementele 0 și 2 sunt valori minime pentru această ordine parțială, dar sunt diferite: acest set ordonat nu are deci minim, dar are un maxim cu elementul 1). În subsetul {0, 2} cu aceeași ordine, nu există nici minim, nici maxim, dar există valori minime (precum și valori maxime) și formează același set de două elemente.

Când setul ordonat este un singur , elementul său unic este atât maxim cât și minim. În cazul degenerat în care mulțimea ordonată este goală, nu există nici o extremă, nici o valoare extremă și orice element din orice set (incluzând astfel setul gol ca parte) este în același timp o limită superioară și o limită inferioară, și, prin urmare, și o legătură dacă acest alt set este complet ordonat.

Exemple

În mulțimea N de numere întregi naturale dotate cu ordinea sa obișnuită, orice parte neocupată admite un element mai mic și orice parte mărită (adică admiterea unei limite superioare) este finită, prin urmare, chiar admite un maxim. De exemplu, N în sine are minimum 0 și nu are maxim.

În mulțimea R a numerelor reale prevăzute cu ordinea sa obișnuită, anumite părți crescute nu admit un element mai mare, de exemplu intervalul ] 0, 1 [numere strict între 0 și 1.

În R , funcțiile minime și maxime ale unei perechi pot fi exprimate folosind valori absolute  :

min(X,y)=X+y-|X-y|2,max(X,y)=X+y+|X-y|2{\ displaystyle \ min {(x, y)} = {\ frac {x + y- | xy |} {2}}, \ quad \ max {(x, y)} = {\ frac {x + y + | xy |} {2}}}.

Într-un set ordonat prevăzut cu o ordine non-totală, anumite părți admit elemente maxime care nu sunt maxime.

De exemplu, în setul E = {∅, {0}, {1}, {0, 1}} din părțile setului {0, 1}, ordonate prin includere, partea A = {∅, {0} , {1}} admite (un minim și) două elemente maxime necomparabile, deci nici un maxim (doar o limită superioară: {0, 1}, care nu aparține lui A ).

Extrema unei funcții

Maximul unei funcții f definite pe un set E și cu valori într-un set ordonat F este maximul setului de valori luate de f (din partea f ( E ) a lui F ). Astfel m este maximul f dacă există un element a lui E astfel încât f ( a ) = m și astfel încât pentru orice element x al lui E , f ( x ) ≤ f ( a ); elementul a (care nu este neapărat unic) se numește punctul maxim al lui f .

În cazul în care spațiul inițial al lui f este prevăzut cu o structură topologică (de exemplu, dacă f este o funcție a uneia sau mai multor variabile reale cu valori reale), se disting două tipuri de extreme: extrema globală, care corespunde cu cea anterioară definiție și extrema locală.

Extremul local al unei funcții

Să f să fie o funcție definită pe un spațiu topologic E și are un punct de E . Se spune că f atins de un maxim local , în cazul în care există o vecinătate V a unui astfel încât pentru fiecare element x al V , avem f ( x ) ≤ f ( a ).

Spunem apoi că f ( a ) este un „maxim local” de f pe E și că a este un punct de maxim local de f .

Când există o vecinătate V a unui astfel încât pentru orice element x al lui V diferit de a , avem f ( x ) < f ( a ), spunem că f ajunge într- un maxim local strict.

Când E face parte dintr-un spațiu metric (de exemplu, un spațiu vector normat , cum ar fi R k ), vecinătățile lui a din aceste definiții pot fi alese egale cu bile . De exemplu: f realizat de un maxim local dacă există un real ε> 0 astfel încât pentru orice element x al lui E la distanță <ε pentru a , avem f ( x ) ≤ f ( a ).

Fie o funcție , unde D este un spațiu topologic. De exemplu, D poate fi o parte a lui R (cazul unei funcții a unei variabile reale) sau a unui spațiu R k , cu k un întreg natural (cazul unei funcții a k variabile reale). f:D→R{\ displaystyle f: D \ to \ mathbb {R}}

Existența extremelor globale este asigurată imediat ce funcția f este continuă și partea D este compactă  : într-adevăr, imaginea f ( D ) este atunci o parte compactă a spațiului de sosire R  ; ca parte mărginită a lui R , admite o limită superioară, iar această limită superioară este în f ( D ), deoarece această parte este închisă .

În dimensiunea k = 1, este în special cazul dacă I este un interval închis mărginit, adică de forma [ a , b ] (vezi Teorema limitelor ). În dimensiunea superioară k , este în special cazul dacă D este o minge închisă (de formă , unde denotă o normă pe R k ). D=B(LA,r)={X∈Rk∣‖X-LA‖≤r}{\ displaystyle D = B (A, r) = \ {X \ in \ mathbb {R} ^ {k} \ mid \ | XA \ | \ leq r \}}‖ ‖{\ displaystyle \ | ~ \ |}

Metode rezultate din calcul diferențial pentru căutarea extremelor locale

Fie o funcție , unde U este un set deschis de R k  ; de exemplu, în cazul unei variabile reale, U poate fi un interval deschis al formei] a , b [(cu a și b fiind numere reale, sau , sau ). f:U→R{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R}}La=-∞{\ displaystyle a = - \ infty}b=+∞{\ displaystyle b = + \ infty}

Studiul implică adesea extremele căutarea pentru zerouri ale derivatului , numite puncte critice (sau puncte de staționare ) de f . Un punct critic nu este neapărat un punct final, așa cum arată exemplul funcției de la punctul 0. Cu toate acestea, în anumite ipoteze suplimentare, se poate spune că un punct critic este un punct final. f:R→R,X↦X3{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \, x \ mapsto x ^ {3}}

Cazul unei funcții a unei variabile Condiție necesară pentru un extremum local În cazul unei funcții diferențiabile f ale unei singure variabile, dacă f are o extremă locală la un punct al definiției deschise a lui f , atunci derivata lui f în acest punct este zero. Stare suficientă pentru un extremum local Dacă f este diferențiat pe U deschis și dacă, la un moment dat , derivatul lui f dispare prin schimbarea semnului, atunci f ajunge la un extremum local la . Mai precis, presupunând  : La∈U{\ displaystyle a \ în U}La{\ displaystyle a}f′(La)=0{\ displaystyle f \, '(a) = 0}Dacă există un astfel de real încâtα>0{\ displaystyle \ alpha> 0}[La-α,La+α]⊂U{\ displaystyle [a- \ alpha, \, a + \ alpha] \ subset U} și pe , pe ,f′≥0{\ displaystyle f \, '\ geq 0}[La-α,La]{\ displaystyle [a- \ alpha, \, a]}f′≤0{\ displaystyle f \, '\ leq 0}[La,La+α]{\ displaystyle [a, \, a + \ alpha]} atunci f atinge un maxim local în .La{\ displaystyle a} Dacă există un astfel de real încâtα>0{\ displaystyle \ alpha> 0}[La-α,La+α]⊂U{\ displaystyle [a- \ alpha, \, a + \ alpha] \ subset U} și pe , pe ,f′≤0{\ displaystyle f \, '\ leq 0}[La-α,La]{\ displaystyle [a- \ alpha, \, a]}f′≥0{\ displaystyle f \, '\ geq 0}[La,La+α]{\ displaystyle [a, \, a + \ alpha]} atunci f atinge un minim local în .La{\ displaystyle a} Cazul unei funcții a mai multor variabile Condiție necesară pentru un extremum local Dacă funcția f ajunge la un extremum local într-un punct a lui U unde este diferențiat , atunci toate derivatele sale parțiale dispar în a . Stare suficientă pentru un extremum local Se presupune că f este diferentiabila de doua ori la un punct de U . Sa matricea Hessian în este înregistrată , adică  ; conform teoremei lui Schwarz , această matrice este simetrică . La{\ displaystyle a}La{\ displaystyle a}∇2f(La){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a)}∇2f(La)eu,j=∂2f∂Xeu∂Xj(La){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a) _ {i, j} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \, \ partial x_ {j}}} ( La)}Dacă și dacă este definit negativ , atunci f atinge un maxim local strict în .∇f(La)=0{\ displaystyle \ nabla f (a) = 0}∇2f(La){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a)}La{\ displaystyle a} Dacă și dacă este pozitiv definit , atunci f atinge un minim local strict în .∇f(La)=0{\ displaystyle \ nabla f (a) = 0}∇2f(La){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a)}La{\ displaystyle a} Cazul unei funcții a mai multor variabile cu constrângeri Condițiile de optimitate pentru aceste probleme sunt prezentate în „  Condiții de optimitate  ”. <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">