Convergență absolută
În matematică , un real serial digital sau complex converge absolut dacă, prin definiție, seria valorilor absolute (sau a modulelor ) este convergentă . Această definiție poate fi extinsă la serii cu valori într-un spațiu vectorial normalizat și complet , și anume un spațiu Banach .
∑tunu{\ displaystyle \ sum u_ {n}}
∑|tunu|{\ displaystyle \ sum | u_ {n} |}![\ sum | u_ {n} |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a850bb9e86e9f5b5fa234ebf6de5f54dbf43013)
În toate aceste contexte, această condiție este suficientă pentru a asigura convergența seriei în sine.
∑tunu{\ displaystyle \ sum u_ {n}}![\ sum u_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a281c61029226f478174e5c54032404fa199ab8)
Prin analogie, integralul unei funcții cu valori reale sau complexe converge absolut dacă, prin definiție, integrala valorii absolute (sau a modulului) funcției este convergentă (funcție în L 1 ).
Convergența absolută a seriilor sau integrale este strâns legată de sumabilitate (de familii sau funcții ): implică proprietăți mai puternice decât convergența simplă.
Serii digitale absolut convergente
O serie cu termeni reali sau complexi converge absolut atunci când converge seria termenilor generali . În acest caz, seria converge și inegalitatea triunghiulară se generalizează în
∑lanu{\ displaystyle \ sum a_ {n}}
|lanu|{\ displaystyle | a_ {n} |}
∑lanu{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
|∑nu=0+∞lanu|≤∑nu=0+∞|lanu|{\ displaystyle \ left | \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ right | \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} | a_ {n} |}![\ left | \ sum _ {{n = 0}} ^ {{+ \ infty}} a_ {n} \ right | \ leq \ sum _ {{n = 0}} ^ {{+ \ infty}} | a_ {n} |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b55d795b4fe7f7534c39b5c90bb9f3542243af68)
Dacă seria este convergentă, dar nu absolut convergentă, se spune că este semi-convergentă .
Exemplu
Seria
armonică alternativă este semi-convergentă.
∑nu≥1(-1)nunu{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}}}
Comportamentul seriilor în termeni reali
În cazul în care avem de-a face cu o serie de numere reale, teorema precedentă are o dovadă elementară, care oferă informații suplimentare despre comportamentele posibile.
Dacă termenii seriei sunt reali, putem separa termenii pozitivi și negativi. Pentru aceasta, trebuie să luăm în considerare termenii parte pozitivă și parte negativă a termenuluilanu{\ displaystyle a_ {n}}
lanu+{\ displaystyle a_ {n} ^ {+}}
lanu-{\ displaystyle a_ {n} ^ {-}}
lanu{\ displaystyle a_ {n}}
lanu+=max(lanu,0)lanu-=max(-lanu,0){\ displaystyle a_ {n} ^ {+} = \ max (a_ {n}, 0) \ qquad a_ {n} ^ {-} = \ max (-a_ {n}, 0)}![a_ {n} ^ {+} = \ max (a_ {n}, 0) \ qquad a_ {n} ^ {-} = \ max (-a_ {n}, 0)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f1549e0a51a3c06fd20bd847b9f584d9059ac6)
Acești doi termeni sunt pozitivi, unul este zero, iar celălalt egal cu valoarea absolută a . Astfel încât
lanu{\ displaystyle a_ {n}}![an](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31)
lanu=lanu+-lanu-|lanu|=lanu++lanu-{\ displaystyle a_ {n} = a_ {n} ^ {+} - a_ {n} ^ {-} \ qquad | a_ {n} | = a_ {n} ^ {+} + a_ {n} ^ {- }}![a_ {n} = a_ {n} ^ {+} - a_ {n} ^ {-} \ qquad | a_ {n} | = a_ {n} ^ {+} + a_ {n} ^ {-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a2092f726aa80ed422f7017aedce94b0f7e9bb)
Seria și fiind în termeni pozitivi, seria lor de sume parțiale este în creștere; converg sau altfel tind spre infinit. Convergența absolută și semi-convergența pot fi formulate folosind aceste două serii.
∑lanu+{\ displaystyle \ sum a_ {n} ^ {+}}
∑lanu-{\ displaystyle \ sum a_ {n} ^ {-}}![\ sum a_ {n} ^ {-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e0f5ec08e9f0749e85c093308297003c6fc059)
- Când seria converge absolut, prin comparația dintre seriile pozitive, seria și ambele converg, deci și prin liniaritate seria .∑lanu{\ displaystyle \ sum a_ {n}}
∑lanu+{\ displaystyle \ sum a_ {n} ^ {+}}
∑lanu-{\ displaystyle \ sum a_ {n} ^ {-}}
∑lanu{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
- Când seria este semi-convergentă, neapărat atât serie, cât și divergente (fiecare are o sumă infinită). Prin urmare, convergența se face prin compensarea între termenii pozitivi și negativi.∑lanu{\ displaystyle \ sum a_ {n}}
∑lanu+{\ displaystyle \ sum a_ {n} ^ {+}}
∑lanu-{\ displaystyle \ sum a_ {n} ^ {-}}![\ sum a_ {n} ^ {-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e0f5ec08e9f0749e85c093308297003c6fc059)
Proprietatea „convergență absolută implică convergența” poate fi apoi extinsă la serii cu valori complexe prin separarea părților reale și imaginare în același mod.
Proprietăți ale seriei absolut convergente
Dacă o serie cu termeni reali sau complecși este absolut convergentă, se bucură de următoarele proprietăți particulare, valabile pentru sume finite, dar în general false pentru sume infinite:
∑nu=0+∞laσ(nu)=∑nu=0+∞lanu{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a _ {\ sigma (n)} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n}}![\ sum _ {{n = 0}} ^ {{+ \ infty}} a _ {{\ sigma (n)}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{+ \ infty}} a_ { n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac073a08daea8a1457aedd9f6b913d7a0c42902)
Dacă seria este doar semi-convergentă,
teorema lui Riemann arată că o schimbare în ordinea termenilor poate duce la o serie divergentă sau la o serie convergentă de sumă aleasă în mod arbitrar.
(∑p=0+∞lap)(∑q=0+∞bq)=∑s=0+∞(∑nu=0slanubs-nu){\ displaystyle \ left (\ sum _ {p = 0} ^ {+ \ infty} a_ {p} \ right) \ left (\ sum _ {q = 0} ^ {+ \ infty} b_ {q} \ right ) = \ sum _ {s = 0} ^ {+ \ infty} \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {s} a_ {n} b_ {sn} \ right)}![\ left (\ sum _ {{p = 0}} ^ {{+ \ infty}} a_ {p} \ right) \ left (\ sum _ {{q = 0}} ^ {{+ \ infty}} b_ {q} \ right) = \ sum _ {{s = 0}} ^ {{+ \ infty}} \ left (\ sum _ {{n = 0}} ^ {s} a_ {n} b _ {{ sn}} \ dreapta)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462eafe84baa6414595e5f1d4e2c3dea158d8bec)
O altă modalitate de a obține aceste proprietăți pentru sume infinite este de a lua în considerare noțiunea de familie sumabilă , foarte apropiată de proprietatea convergenței absolute pentru seriile numerice.
Extensie la serii cu valori vectoriale
Luați în considerare contextul mai larg al unui vector normată spațiu E . O serie cu termeni vector converge absolut atunci când converge seria termenilor generali . Fără explicații suplimentare, nimic nu este nici o dovadă că există o limită în E . Putem spune doar că, dacă această limită există, atunci norma sa este mărită cu .
∑lanu{\ displaystyle \ sum a_ {n}}
‖lanu‖{\ displaystyle \ | a_ {n} \ |}
∑‖lanu‖{\ displaystyle \ sum \ | a_ {n} \ |}![{\ displaystyle \ sum \ | a_ {n} \ |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f114d529dc4027527c725e2e14048f25ead39656)
Într-un spațiu Banach , convergența absolută a unei serii implică convergența sa. Este de fapt o echivalență: dacă E este un spațiu vector normat în care orice serie absolut convergentă este convergentă, atunci E este completă.
Integrală absolut convergentă
La fel, o integrală:
∫LAf(X) dX{\ displaystyle \ int _ {A} f (x) ~ {\ rm {d}} x}![\ int _ {A} f (x) ~ {{\ rm {d}}} x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cf4d4e82115d4369bf389c2c35be30d084ebc7)
converge absolut dacă integralul valorii sale absolute corespunzătoare este finit:
∫LA|f(X)| dX<∞.{\ displaystyle \ int _ {A} | f (x) | ~ {\ rm {d}} x <\ infty.}![\ int _ {A} | f (x) | ~ {{\ rm {d}}} x <\ infty.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b88728a0ebb64c35820157142cc56204d17d07)
Note și referințe
-
Dacă E este ℚ spațiu ℚ vectorului, converge seria în ℝ , dar în cazul în care limita este irațională , ea diverge în E .
-
Pentru o demonstrație, a se vedea de exemplu capitolul „Spații Banach - Completitudine” al lecției „Spații vectoriale standard” de pe Wikiversitate .
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">