Pre-comanda

În matematică , o precomandă este o relație binară reflexivă și tranzitivă .

Adică, dacă $E$ este un set , o relație binară pe $E$ este o precomandă atunci când: ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad x {\ mathcal {R}} x}$ (reflexivitate);
${\ displaystyle \ forall (x, y, z) \ în E ^ {3}, (x {\ mathcal {R}} y \ land y {\ mathcal {R}} z) \ Rightarrow x {\ mathcal {R }} z}$ (tranzitivitate).

Exemple

La ordinele sunt antisimetrica precomenzile .
Relațiile de echivalență sunt preordonatele simetrice .
Într-un inel comutativ , relația „ divizare ” este o relație de precomandă. În general, nu este o relație de ordine, deoarece nu este antisimetrică (de exemplu, în setul de numere întregi relative, 1 împarte –1 și –1 împarte 1 în timp ce 1 și –1 sunt diferite).
Pe vârfurile unui grafic direcționat , relația „a fi accesibil de la” este o precomandă (este de fapt închiderea reflexivă și tranzitivă a graficului). Dacă graficul este fără ciclu , această relație devine o ordine.
Între norme pe același spațiu vectorial real, relația „ este mai fină decât ” este o precomandă.
Între funcțiile reale ale unei variabile reale , dominația este o precomandă.
Pe setul de discuri ale planului, relația „are o suprafață cel mult egală cu cea a” este o precomandă. Nu este o relație de ordine, deoarece nu este antisimetrică (două discuri diferite pot avea aceeași zonă). Aceeași relație, pe setul de discuri închise (sau cea a discurilor deschise) cu centru fix, este o relație de ordine.

Complimente

Dacă $( E , ℛ)$ și $( F , ?)$ sunt două seturi preordonate, se spune că o hartă $f de$ la $E$ la $F$ crește dacă $x ℛ y \Rightarrow f ( x ) ? f ( y )$ .

Dacă $E$ este un set, $( F , ?)$ un set precomandat și $f$ o mapare de la $E$ la $F$ , relația $ℛ$ definită de $x ℛ y \Leftrightarrow f ( x ) ? f ( y )$ este o precomandă pe $E$ (cf. ultimul exemplu de mai sus , unde $f$ , care oricărui cerc își asociază aria, are valori într-un set ordonat: realii - sau realii pozitivi ).

Dacă $( E , ℛ)$ este un set precomandat, atunci:

relația „ $x ℛ y și nu y ℛ x$ ” este o relație strictă de ordine ;
relația ~ definită de " $x ~ y dacă și numai dacă ( x ℛ y și y ℛ x )$ " este o relație de echivalență;
pentru două elemente X și Y din setul de coeficient al lui E cu ~ , următoarele două condiții revin apoi la aceeași:
- pentru orice element $x$ din $X$ și orice element $y$ din $Y$ , $x ℛ y$ ,
- există un element $x$ al lui $X$ și un element $y$ al lui $Y$ astfel încât $x ℛ y$ .
  Putem apoi defini o relație de ordine pe acest set de coeficienți $E / ~$ setând: $X \leq Y$ dacă una dintre condițiile precedente este îndeplinită;
- dacă $F$ este o parte a lui $E$ care conține exact un reprezentant pentru fiecare clasă de echivalență , restricția $? de$ la $ℛ$ la $F$ este un ordin și $( F , ?)$ este izomorfă la $( E / ~, \leq)$ (cf. ultimul exemplu de mai sus ) .

Note și referințe

N. Bourbaki , Elemente de matematică : teoria seturilor [ detaliile edițiilor ], Paris, Masson, 1998, cap. III, § 1, n o 2, p. 2 și 5 , scris „precomandat” și „precomandat”.
Paul Ruff, Fișe informative „Relația de ordine” către profesori de colegiu , n o 15, 4 ianuarie 1963.
Bourbaki 1998 , cap. III, § 1, n o 5, p. 7 .
Antoine Rolland, Proceduri de agregare a preferințelor ordinale cu puncte de referință pentru sprijinirea deciziilor , teză de doctorat în informatică, Universitatea Pierre-et-Marie-Curie , 2008.
Bourbaki 1998 , cap. III, § 1, n o 2, p. 3 .

Articol asociat

Închidere reflexivă tranzitivă