Procesul Bernoulli
În probabilitate și statistică , un proces Bernoulli este un proces stochastic discret care constă dintr-o secvență de variabile aleatorii independente care își iau valorile din două simboluri. În mod prozaic, un proces Bernoulli constă în răsucirea unei monede de mai multe ori la rând, posibil cu o monedă trucată. O variabilă dintr-o secvență de acest tip poate fi numită variabilă Bernoulli .
Un proces Bernoulli este un lanț Markov . Arborele său de probabilitate este un arbore binar .
Definiție
Un proces Bernoulli este un proces stocastic discret care constă dintr-o serie finită sau infinită de variabile aleatoare independente X 1 , X 2 , X 3 ... cum ar fi:
- indiferent de i , valoarea lui X i este fie 0, fie 1;
- pentru toate valorile lui i , probabilitatea ca X i = 1 să fie același număr p .
Cu alte cuvinte, un proces Bernoulli este o serie de teste Bernoulli independente și echipabile. Cele două valori posibile pentru fiecare X i sunt adesea denumite „succes” și „eșec”, și astfel, atunci când este exprimată ca 0 sau 1, valoarea este descrisă ca numărul de reușite după al i -lea „test” . Diferitele variabile de trecere / eșec X i se mai numesc și teste Bernoulli.
Independența testelor lui Bernoulli presupune proprietatea absenței memoriei: testele din trecut nu oferă nicio informație cu privire la rezultatele viitoare. Din orice moment, dovezile viitoare formează, de asemenea, un proces Bernoulli independent de trecut (proprietatea de pornire nouă).
Variabilele aleatorii asociate procesului Bernoulli includ
- numărul de succese din timpul primelor n încercări, care urmează o lege binomială ;
- numărul de teste necesare pentru a obține succesul r , care urmează o distribuție binomială negativă ;
- numărul de teste necesare pentru a obține un succes, care urmează o lege geometrică , care este un caz special al legii binomiale negative.
Problema executării procesului doar cu un eșantion finit de dovezi Bernoulli este cunoscută ca problema verificării dacă o parte este normală .
Definiție formală
Procesul Bernoulli poate fi formalizat în limbajul spațiilor de probabilitate . Un proces Bernoulli este un spațiu de probabilitate (Ω, Pr) asociat cu o familie de variabile aleatoare independente X i definite pe acest spațiu cu valori în {0; 1} , și astfel încât pentru fiecare i , avem
X i = 1 cu probabilitatea p și X i = 0 cu probabilitatea 1 - p .
Suita Bernoulli
Având în vedere un proces Bernoulli definit pe un spațiu de probabilitate (Ω, Pr) , putem asocia fiecărui ω ∈ Ω o secvență de numere întregi
numită suita Bernoulli . Astfel, de exemplu, dacă ω reprezintă o serie de aruncări de monede, atunci secvența Bernoulli este lista numerelor întregi pentru care am obținut capete .
Aproape toate suitele lui Bernoulli sunt apartamente ergodice .
Extragerea aleatorie
Având în vedere un proces Bernoulli cu p ≠ 1/2 , putem deduce un proces Bernoulli cu p = 1/2 datorită extractorului Von Neumann, cel mai vechi extractor aleatoriu .
Din secvența 0 și 1 original, extragem o nouă secvență 0 și 1 grupând valorile în perechi de 0 și 1 succesive. Din aceste perechi deducem noua secvență 0 și 1 după cum urmează:
- dacă valorile sunt egale, nu se păstrează niciuna;
- dacă valorile nu sunt egale, păstrăm prima dintre cele două.
Tabelul de conversie este, așadar, după cum urmează:
| Intrare | Ieșire |
|---|---|
| 00 | nimic |
| 01 | 0 |
| 10 | 1 |
| 11 | nimic |
Deoarece este nevoie de două valori de intrare pentru a produce o valoare sau niciuna, ieșirea va fi de cel puțin două ori mai scurtă decât intrarea. Notând q = 1 - p , extractorul elimină în medie p 2 + q 2 din datele de intrare. Această valoare este minimă când p = 1/2 , unde elimină jumătate din perechile de intrare, iar în acest caz ieșirea va fi în medie de patru ori mai scurtă decât intrarea.
Datele de ieșire includ un număr egal de 0 și 1, deoarece 10 și 01 sunt la fel de probabile, deoarece ambele au probabilitatea pq .
Schimbarea Bernoulli
Deoarece fiecare test are unul din cele două rezultate, succesiunea testelor poate fi reprezentată de cifrele binare ale unui număr real . Când probabilitatea p este de 1/2, toate secvențele posibile sunt la fel de probabile, motiv pentru care măsura din tribul procesului Bernoulli este echivalentă cu măsura uniformă pe intervalul unitate : cu alte cuvinte, numerele reale sunt distribuite uniform pe intervalul unitar.
Operatorul de deplasare T , care trece la următoarea variabilă aleatoare,
apoi corespunde schimbării Bernoulli sau funcției diadice
unde z ∈ [0; 1] reprezintă o serie dată de măsuri și unde E ( z ) este partea întreagă , cel mai mare întreg mai mic sau egal cu z . În termeni colocviali, deplasarea Bernoulli „omite” cea mai stângă cifră a reprezentării binare a z .
Schimbarea Bernoulli este un model solubil al haosului exact determinist . Se poate determina operatorul de evoluție , numit și operatorul Frobenius-Perron, al schimbării Bernoulli; valorile sale proprii sunt puteri de 1/2, iar funcțiile sale proprii sunt polinoamele Bernoulli .
Schema Bernoulli
În teoria ergodică, generalizarea procesului Bernoulli la două sau mai multe rezultate se numește schema Bernoulli .
În învățământul secundar francez, o diagramă Bernoulli a parametrilor n și p desemnează o serie de n teste Bernoulli independente cu același parametru p .
Note și referințe
Vezi și tu
Surse și bibliografie
- Carl W. Helstrom, Probabilitate și procese stochastice pentru ingineri , (1984) Macmillan Publishing Company, New York ( ISBN 0-02-353560-1 ) .
- Dimitri P. Bertsekas și John N. Tsitsiklis , Introducere în probabilitate , (2002) Athena Scientific, Massachusetts ( ISBN 1-886529-40-X )
- Pierre Gaspard, „hărți unidimensionale r-adic și formula de însumare Euler”, Journal of Physics A , 25 (lit.) L483-L485 (1992). (Descrie funcțiile proprii ale operatorului de evoluție al schimbării lui Bernoulli)
- Dean J. Driebe, Fully Chaotic Maps and Broken Time Symmetry , (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Netherlands ( ISBN 0-7923-5564-4 ) (Capitolele 2, 3 și 4 revizuiesc rezonanțele Ruelle și sub-dinamica formalismului pentru a rezolva Schimbarea Bernoulli) .