Problema lui Milne
Problema Milne se referă la rezoluția analitică a transferului radiativ într -un mediu semi-infinit omogen, fără absorbție sau emisie în volum, cu sursă situată departe de origine. A fost pus și rezolvat de Edward Arthur Milne în 1921 pentru a explica fenomenul de întunecare a marginii centrale a unei stele. Ulterior, soluții matematice riguroase au fost propuse de Norbert Wiener , Eberhard Hopf și Kenneth Case în cadrul muncii privind neutronica .
Problema lui Milne
Problema transferului radiativ (în sens larg, incluzând transferul de neutroni și multe alte particule, elementare sau nu) este descrisă de ecuația Boltzmann . Aceasta este o ecuație integro-diferențială liniară care se referă la distribuția unghiulară a numărului de particule transportate sau a oricărei cantități legate de aceasta (energie de exemplu, caz în care vorbim de luminanță totală, adică integrată pe întregul spectru electromagnetic ) . Rezolvarea acestei probleme este posibilă în cazul unei probleme unidimensionale plane, cilindrice sau sferice, în cazul particular al unei difuzii izotrope în mediu. Această rezoluție are o origine istorică, lucrarea fiind efectuată într-un moment în care calculul numeric nu exista. Acum sunt folosite ca etalon pentru testarea metodelor numerice.
Se scrie ecuația Boltzmann pentru un mediu omogen staționar, unidimensional și semi-infinit, fără emisie sau absorbție în volum, cu difuzie izotropă
μdL(τ,μ)dτ+L(τ,μ)=12∫-11L(τ,μ)dμ⏟terme soturvs.e S{\ displaystyle \ mu {\ frac {\ mathrm {d} L (\ tau, \ mu)} {\ mathrm {d} \ tau}} + L (\ tau, \ mu) = \ underbrace {{\ frac { 1} {2}} \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mathrm {d} \ mu} _ {term ~ source ~ S}}![{\ displaystyle \ mu {\ frac {\ mathrm {d} L (\ tau, \ mu)} {\ mathrm {d} \ tau}} + L (\ tau, \ mu) = \ underbrace {{\ frac { 1} {2}} \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mathrm {d} \ mu} _ {term ~ source ~ S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24ff3e72a6f4ed03b1b03ff94f5eba01abc7785)
sau
L(τ,μ){\ displaystyle L (\ tau, \ mu)}![{\ displaystyle L (\ tau, \ mu)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59aa6de2f33f13c9caba7b2a3f01ccc96c926b06) |
luminanta,
|
μ=cosθ{\ displaystyle \ mu = \ cos {\ theta}}![{\ displaystyle \ mu = \ cos {\ theta}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9c44bc48653cf1fbb8f5bcb2dcda6579a5f109) |
cu θ unghiul de propagare,
|
τ=κtX{\ displaystyle \ tau = \ kappa _ {t} x}![{\ displaystyle \ tau = \ kappa _ {t} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065631ab6667ca5bff0f053423b5eb2c15781a0e) |
grosimea optică (sau adâncimea optică),
|
κt{\ displaystyle \ kappa _ {t}}![{\ displaystyle \ kappa _ {t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8874aea6bba96122683ceed10863c36ee7330c1) |
coeficientul total de extincție presupus constant.
|
Se folosește și energia volumică definită de
E(τ)=2πvs.∫-11L(τ,μ)dμ{\ displaystyle E (\ tau) = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mathrm {d} \ mu}![{\ displaystyle E (\ tau) = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mathrm {d} \ mu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af34c2c1c7a7646c87f7742531480f66c7365793)
unde c este viteza luminii . Energia este uneori asociată cu o temperatură radiativă T R, care este cea a corpului negru care produce aceeași energie radiată, definită de E = 4 σ T R 4 / c unde σ este constanta Stefan-Boltzmann . Presupunerea constantă κ t implică conservarea spectrului în mediu, care este deci cel al sursei. Prin urmare, T R nu este în general temperatura termodinamică a mediului, care nu joacă niciun rol în problemă.
Condițiile la graniță sunt următoarele:
- nici un flux care nu intră în suprafață (originea coordonatelor spațiale x sau τ, axa îndreptată spre interiorul mediului)
L(0,μ)=0,0<μ≤1{\ displaystyle L (0, \ mu) = 0 \ ,, \ qquad 0 <\ mu \ leq 1}![{\ displaystyle L (0, \ mu) = 0 \ ,, \ qquad 0 <\ mu \ leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0476a834a5cbf4909f862ee698f8ecb90b26c90f)
- sursă plană situată la infinit, rezultând un flux dat F 0 <0, fluxul de energie fiind definit de
F(τ)=2π∫-11L(τ,μ)μdμ{\ displaystyle F (\ tau) = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mu {\ text {d}} \ mu}![{\ displaystyle F (\ tau) = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mu {\ text {d}} \ mu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c48cf6781d587960d1abb463876f3cd96901a0f)
Rețineți că pentru o distribuție izotropă fluxul este zero, energia fiind propagată și în toate direcțiile.
Problema constă în calcularea luminanței de ieșire sau cel puțin a funcției de fază ( distribuția unghiulară ) a acesteia.
L(0,μ),-1≤μ<0{\ displaystyle L (0, \ mu) \ ,, \ qquad -1 \ leq \ mu <0}![{\ displaystyle L (0, \ mu) \ ,, \ qquad -1 \ leq \ mu <0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667c7f74d24798a4d3b849311fbb50b0b4a2d53a)
Proprietățile soluției
Putem da pentru această problemă următoarele proprietăți în primele momente de luminanță:
Demonstrație
Înmulțind ecuația lui Boltzmann cu 2 π și prin integrarea pe μ vedem că gradientul fluxului este zero
dFdτ=0⇒F=F0<0{\ displaystyle {\ frac {{\ text {d}} F} {{\ text {d}} \ tau}} = 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad F = F_ {0} \, <0}![{\ displaystyle {\ frac {{\ text {d}} F} {{\ text {d}} \ tau}} = 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad F = F_ {0} \, <0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33feca08367d00237961de1f9b4a65df197091a)
Introducem presiunea radiativă, momentul de ordinul 2 al luminanței
P(τ)=2πvs.∫-11L(τ,μ)μ2dμ{\ displaystyle P (\ tau) = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mu ^ {2} \ mathrm {d } \ mu}![{\ displaystyle P (\ tau) = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mu ^ {2} \ mathrm {d } \ mu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2360ce116b9e58b5313bf5b23a11dafacbc5f87e)
Înmulțind ecuația lui Boltzmann cu 2 π μ și integrându-ne pe μ obținem
vs.dPdτ+F=0⇒P=-F0vs.τ+VSste{\ displaystyle c \, {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} \ tau}} + F = 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad P = - {\ frac {F_ {0}} { c}} \ tau + C ^ {ste}}![{\ displaystyle c \, {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} \ tau}} + F = 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad P = - {\ frac {F_ {0}} { c}} \ tau + C ^ {ste}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564a860d2fbdb085c12dbd08c2c4c44c906d6680)
Presiunea radiativă crește liniar cu adâncimea optică.
Putem da o soluție formală a ecuației în formă
L(τ,μ)={ ∫0τS(t)e-τ-tμdtμ 0<μ≤1-∫τ∞S(t)et-τμdtμ-1<μ≤0{\ displaystyle L (\ tau, \ mu) = \ left \ {{\ begin {array} {lr} ~~ \ int _ {0} ^ {\ tau} S (t) e ^ {- {\ frac { \ tau -t} {\ mu}}} {\ frac {{\ text {d}} t} {\ mu}} & ~ 0 <\ mu \ leq 1 \\ [0.6em] - \ int _ {\ tau} ^ {\ infty} S (t) e ^ {\ frac {t- \ tau} {\ mu}} {\ frac {{{\ text {d}} t} {\ mu}} & - 1 < \ mu \ leq 0 \ end {array}} \ right.}![{\ displaystyle L (\ tau, \ mu) = \ left \ {{\ begin {array} {lr} ~~ \ int _ {0} ^ {\ tau} S (t) e ^ {- {\ frac { \ tau -t} {\ mu}}} {\ frac {{\ text {d}} t} {\ mu}} & ~ 0 <\ mu \ leq 1 \\ [0.6em] - \ int _ {\ tau} ^ {\ infty} S (t) e ^ {\ frac {t- \ tau} {\ mu}} {\ frac {{{\ text {d}} t} {\ mu}} & - 1 < \ mu \ leq 0 \ end {array}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eebd2fb2dc19532f42d2941e31ff17c75c0ae8b)
Prin integrare obținem ecuația integrală a lui Milne
S(τ)=12∫0∞S(t)E1(|t-τ|)dt{\ displaystyle S (\ tau) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} S (t) E_ {1} (| t- \ tau |) \ mathrm {d } t}![{\ displaystyle S (\ tau) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} S (t) E_ {1} (| t- \ tau |) \ mathrm {d } t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059ed6b708a70effe8d09e8035a90d0161ac1d62)
unde E 1 este exponențialul integral .
În special vedem că soluția problemei este dată de o transformată Laplace
L(0,μ)=-∫0∞S(t)etμdtμ,-1<μ≤0{\ displaystyle L (0, \ mu) = - \ int _ {0} ^ {\ infty} S (t) e ^ {\ frac {t} {\ mu}} {\ frac {\ mathrm {d} t } {\ mu}} \ ,, \ qquad -1 <\ mu \ leq 0}![{\ displaystyle L (0, \ mu) = - \ int _ {0} ^ {\ infty} S (t) e ^ {\ frac {t} {\ mu}} {\ frac {\ mathrm {d} t } {\ mu}} \ ,, \ qquad -1 <\ mu \ leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ee010f298b9010a8c3fd450ea00b635fbc29d8)
Soluție aproximativă
Arthur Schuster (1905) și Karl Schwarzschild (1906) au dat o soluție aproximativă prin separarea intensităților în cele două direcții opuse de propagare, metodă posibilă prin liniaritatea ecuației Boltzmann. Această metodă este cunoscută sub numele de „ aproximare în două fluxuri ”.
Fie L + luminanța constituită de o valoare unghiulară constantă în jumătatea pozitivă x și egală cu 0 în jumătatea negativă. L - este complementul său, prin introducerea acestor expresii în ecuația lui Boltzmann pe care o vine
12dL+dτ=-L++12(L++L-)-12dL-dτ=-L-+12(L++L-){\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} ~~ {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} L ^ {+}} {\ mathrm {d} \ tau}} și = & - L ^ {+} + {\ frac {1} {2}} (L ^ {+} + L ^ {-}) \\ [0.6em] - {\ frac {1} {2}} { \ frac {\ mathrm {d} L ^ {-}} {\ mathrm {d} \ tau}} & = & - L ^ {-} + {\ frac {1} {2}} (L ^ {+} + L ^ {-}) \ end {array}}}![{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} ~~ {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} L ^ {+}} {\ mathrm {d} \ tau}} și = & - L ^ {+} + {\ frac {1} {2}} (L ^ {+} + L ^ {-}) \\ [0.6em] - {\ frac {1} {2}} { \ frac {\ mathrm {d} L ^ {-}} {\ mathrm {d} \ tau}} & = & - L ^ {-} + {\ frac {1} {2}} (L ^ {+} + L ^ {-}) \ end {array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1acee9e9ef2fddf14306a62533b148f0629e4b)
Condiția la τ = 0 este
L+(0)=0{\ displaystyle L ^ {+} (0) = 0}![{\ displaystyle L ^ {+} (0) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/634d7ce10272a035a09bfddfd8ab08bb73c84ff7)
În ceea ce privește energia și fluxul, soluția acestui sistem este scrisă
F=F0,E(τ)=-2F0vs.(1+τ){\ displaystyle F = F_ {0} \ ,, \ qquad E (\ tau) = - {\ frac {2F_ {0}} {c}} (1+ \ tau)}![{\ displaystyle F = F_ {0} \ ,, \ qquad E (\ tau) = - {\ frac {2F_ {0}} {c}} (1+ \ tau)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ca19271b0460a3638cc12e403e54adb9f7ce4d)
Demonstrație
Introducem fluxul ( legea lui Lambert ) și energia volumică
F=π(L+-L-),E=2πvs.(L++L-){\ displaystyle F = \ pi (L ^ {+} - L ^ {-}) \ ,, \ qquad E = {\ frac {2 \ pi} {c}} (L ^ {+} + L ^ {- })}![{\ displaystyle F = \ pi (L ^ {+} - L ^ {-}) \ ,, \ qquad E = {\ frac {2 \ pi} {c}} (L ^ {+} + L ^ {- })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/929edf90bfa2294bffe4684734b3b3567310f1f0)
Făcând suma și diferența ecuațiilor pe L + și L - vine
dFdτ=0⇒F=F0dEdτ=-4Fvs.⇒E(τ)=-4F0vs.τ+E(0){\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} \ tau}} = 0 & \ Rightarrow & \ qquad F = F_ {0} \\ [ 0,6 em] {\ frac {\ mathrm {d} E} {\ mathrm {d} \ tau}} = - {\ frac {4F} {c}} & \ Rightarrow & E (\ tau) = - {\ frac {4F_ {0}} {c}} \ tau + E (0) \ end {array}}}![{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} \ tau}} = 0 & \ Rightarrow & \ qquad F = F_ {0} \\ [ 0,6 em] {\ frac {\ mathrm {d} E} {\ mathrm {d} \ tau}} = - {\ frac {4F} {c}} & \ Rightarrow & E (\ tau) = - {\ frac {4F_ {0}} {c}} \ tau + E (0) \ end {array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5728fd80e737dc0278c6427dea8751636415fd5d)
Condiție în τ = 0
vs.E(0)+2F0=4πL+(0)=0{\ displaystyle cE (0) + 2F_ {0} = 4 \ pi L ^ {+} (0) = 0}![{\ displaystyle cE (0) + 2F_ {0} = 4 \ pi L ^ {+} (0) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ff894fc5f4938375e2ce1fb90f85000fabb8ca)
De unde
E(τ)=-2F0vs.(1+2τ){\ displaystyle E (\ tau) = - {\ frac {2F_ {0}} {c}} (1 + 2 \ tau)}
Uitând ipoteza care a condus la acest rezultat, se poate recalcula o soluție generală a problemei utilizând ceea ce a fost botezat deasupra „soluției formale” (cazul μ <0)
L(τ,μ)=-F0π(1+2τ+2μ){\ displaystyle L (\ tau, \ mu) = - {\ frac {F_ {0}} {\ pi}} (1 + 2 \ tau +2 \ mu)}![{\ displaystyle L (\ tau, \ mu) = - {\ frac {F_ {0}} {\ pi}} (1 + 2 \ tau +2 \ mu)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd8f07ba4b82b22112bcc200cf6a89557c35777)
În special luminozitatea emergentă este
L(0,μ)=-F0π(1+2μ){\ displaystyle L (0, \ mu) = - {\ frac {F_ {0}} {\ pi}} (1 + 2 \ mu)}![{\ displaystyle L (0, \ mu) = - {\ frac {F_ {0}} {\ pi}} (1 + 2 \ mu)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cde4a6b0d4b3dd10fb6be5e2758bb9c55710e03)
Această soluție constituie o bună aproximare a soluției riguroase (vezi curba).
Soluție generală
Soluțiile necesită
- fie la metoda SN (sau metoda ordonatelor discrete) care duce la o soluție semi-analitică.
Calculele lungi duc la următoarea funcție de fază
L(0,μ)=32(1-μ)exp[-μπ∫0π2Buturuga(păcat2X1-XcostX)1-(1-μ2)păcat2XdX],-1<μ≤0=121-μexp[1π∫0π2Xarctan(-μbronzatX)1-XcostXdX]{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} L (0, \ mu) & = & {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} (1- \ mu) \ exp {\ left [{\ frac {- \ mu} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\ log {\ left ({\ frac {\ sin ^ {2} x } {1-x \ cot x}} \ right)}} {1- (1- \ mu ^ {2}) \ sin ^ {2} {x}}} \ mathrm {d} x \ right]} \ ,, \ qquad -1 <\ mu \ leq 0 \\ & = & {\ frac {1} {2 {\ sqrt {1- \ mu}}}} \ exp {\ left [{\ frac {1} { \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {x \ arctan {(- \ mu \ tan {x})}} {1-x \ cot x} } \ mathrm {d} x \ right]} \ end {array}}}![{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} L (0, \ mu) & = & {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} (1- \ mu) \ exp {\ left [{\ frac {- \ mu} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\ log {\ left ({\ frac {\ sin ^ {2} x } {1-x \ cot x}} \ right)}} {1- (1- \ mu ^ {2}) \ sin ^ {2} {x}}} \ mathrm {d} x \ right]} \ ,, \ qquad -1 <\ mu \ leq 0 \\ & = & {\ frac {1} {2 {\ sqrt {1- \ mu}}}} \ exp {\ left [{\ frac {1} { \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {x \ arctan {(- \ mu \ tan {x})}} {1-x \ cot x} } \ mathrm {d} x \ right]} \ end {array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cfce29bab8d2ef83529c888ecfde3327e56f3c)
În special, merită emisia de pășunat
L(0,0)=32{\ displaystyle L (0,0) = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}![{\ displaystyle L (0,0) = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617ec467f973d21de770f9057003464d9a9507c6)
Figura arată procesul prin care luminanța cvasi-izotropă pentru τ> 10 se deformează în regiunea din apropierea peretelui.
Note
-
Termenul ecuației Boltzmann se aplică mai întâi mediilor gazoase. Prin extensie, acest nume este utilizat pentru orice sistem care se supune unei ecuații similare.
-
Alegerea unei difuzii izotrope rezultă din voința de a obține o soluție analitică. Acest lucru se poate face cu transmisia Thomson, dar asta nu adaugă prea mult la problemă.
Referințe
-
(în) Edward Arthur Milne , „ Echilibrul radiativ în straturile exterioare ale unei stele: distribuția temperaturii și legea întunericului ” , Notificări lunare ale Royal Astronomical Society , vol. 81,1921, p. 361–375 ( citește online )
-
(de) Norbert Wiener și Eberhard Hopf , „ Über eine klasse singulärer integralgleichungen ” , Sitzungsberichte Akademie der Wissenschaften Berlin , vol. 31,1931, p. 696-706
-
(în) Kenneth Case , „ Soluții elementare ale ecuației de transport și aplicațiile lor ” , Annals of Physics , vol. 9, n o 1,1960, p. 1-23 ( citiți online )
-
(en) Subrahmanyan Chandrasekhar , Radiative Transfer , Dover Publications ,1960, 393 p. ( ISBN 0-486-60590-6 , citit online )
-
(en) G. Placzek , „ Distribuția unghiulară a neutronilor care apar dintr-o suprafață plană ” , Physical Review , vol. 72, nr . 7,1948, p. 556-558
-
(in) A. Schuster , " Prin Radiation are Cetoasa Atmosfera " , Astrophysical Journal , vol. 21, n o 1,1905( citește online )
-
(De) K. Schwarzschild , " Ueber das Gleichgewicht der Sonnenatmosphäre " , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse ,1906, p. 41-53 ( citiți online )
-
(în) Eberhard Hopf , Probleme matematice ale echilibrului radiativ , Cambridge University Press ,1934
-
(în) G. Placzek și W. Seidel , „ Problema lui Milne în teoria transportului ” , Physical Review , vol. 72, nr . 7,1947, p. 550-555
Vezi și tu
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">