Circumscrierea poligonului

În geometria euclidiană , un poligon circumscript (sau poligon tangent ) este un poligon convex care conține un cerc înscris , adică un cerc tangent la fiecare parte a poligonului. Dublu poligon al unui poligon de circumscriere este un poligon ciclic , care are un cerc circumscris care trece prin fiecare dintre nodurile sale.

Cele mai simple exemple sunt triunghiurile și toate poligoanele regulate. Un grup special de poligoane tangente sunt patrulaterele tangente , cum ar fi diamantele și zmeii .

Caracterizări

Un poligon convex are un cerc inscripționat dacă și numai dacă toate bisectoarele unghiurilor sale sunt concurente. Acest punct este apoi centrul centrului inscris.

Există un poligon circumscript cu n laturi de lungimi respective a 1 , ..., a n dacă și numai dacă sistemul de ecuații liniare

X1+X2=la1,X2+X3=la2,...,Xnu+X1=lanu{\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = a_ {1}, \ quad x_ {2} + x_ {3} = a_ {2}, \ quad \ ldots, \ quad x_ {n} + x_ {1 } = a_ {n}}

are o soluție ( x 1 , ..., x n ) de numere reale. Dacă există o astfel de soluție, atunci x 1 , ..., x n sunt lungimile tangente ale poligonului (lungimile dintre vârfurile poligonului și punctele de tangență la cerc).

Unicitate

Pentru poligoane cu un număr impar de laturi n , pentru fiecare set ( a 1 , ..., a n ) care îndeplinește condiția de existență, poligonul corespunzător este unic. Pentru poligoane cu un număr par de laturi, există un număr infinit. Se poate observa, de exemplu, că în cazul patrulaterelor ( n = 4) ale căror laturi sunt egale, pentru un cerc dat, există o infinitate de diamante tangente.

Raza cercului

Dacă n laturi ale poligonului circumscriere sunt date de un 1 , ..., a n , raza cercului inscris este egal

r=Ks=2K∑eu=1nulaeu{\ displaystyle r = {\ frac {K} {s}} = {\ frac {2K} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}}}

cu K aria poligonului și s jumătatea sa perimetrală. Deoarece orice triunghi este circumscriptibil, această formulă se aplică oricărui triunghi.

Alte proprietăți

• Pentru un poligon tangent cu un număr impar de laturi, toate laturile sale sunt egale dacă și numai dacă toate unghiurile sale sunt egale și, prin urmare, poligonul este regulat. Un poligon tangent având un număr par de laturi va avea toate laturile sale egale dacă și numai dacă unghiurile alternative sunt egale (fie unghiurile din A , C , E , ... sunt egale, cât și unghiurile din B , D , F , ... de asemenea).
• Într-un poligon tangent cu un număr par de laturi ( n = 2 p ), lungimile laturilor luate alternativ sunt egale, adică

∑k=1pla2k=∑k=1pla2k-1{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {p} a_ {2k} = \ sum _ {k = 1} ^ {p} a_ {2k-1}}

• Pentru un poligon care a dat lungimi laterale în ordine și a dat unghiuri de vârf în ordine, poligonul circumscriptor va avea cea mai mică zonă.
• Centrul de greutate al unui poligon circumscript, centrul izobarian al punctelor sale de margine și centrul cercului inscripționat sunt aliniate, cu centrul de greutate al poligonului între celelalte două și de două ori mai departe decât centrul cercului inscris decât din centrul isobariului punctelor sale de frontieră.

Cazuri speciale

Triunghi tangent

Deoarece fiecare triunghi are un cerc înscris, un triunghi se numește triunghi tangent al unui triunghi de referință dacă punctele de tangență ale unui triunghi circumscript sunt, de asemenea, vârfurile triunghiului de referință. Cercul circumscris al triunghiului de referință devine apoi cercul înscris triunghiului tangent.

Circumscrierea patrulaterului

Hexagon circumscris

Într-un hexagon circumscript ABCDEF , cele trei diagonale AD , BE și CF sunt concurente; acesta este un caz particular al teoremei lui Brianchon .

Vezi și tu

• Poligon ciclic

Referințe

• (fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „  Tangential polygon  ” ( vezi lista autorilor ) .

1. (în) Owen Byer, Felix Lazebnik și Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry , Association of America Mathematical,2010, 77  p..
2. Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, The IMO Compendium , Springer, 2006, p. 561.
3. Albrecht Hess , „  Pe un cerc care conține stimulii patrulaterelor tangențiale  ”, Forum Geometricorum , vol.  14,2014, p.  389–396 ( citește online ).
4. Claudi Alsina și Roger Nelsen, Icoane ale matematicii. O explorare a douăzeci de imagini cheie , Mathematical Association of America,2011, 125  p..
5. Michael De Villiers, „  Poligoane circumscrise ciclice echilaterale și echilaterale  ”, Mathematical Gazette , n o  95,martie 2011, p.  102–107.
6. Tom M. Apostol și Mamikon A. Mnatsakanian , "  Figures Circumscribing Circles  ", American Mathematical Monthly ,decembrie 2004, p.  853–863 ( DOI  10.2307 / 4145094 , citit online , accesat la 6 aprilie 2016 )