Piesă construibilă

În geometria algebrică , noțiunea de parte construibilă generalizează părțile deschise , închise și chiar închise local . Seturile construibile au fost introduse de Claude Chevalley și au avantajul de a fi mai flexibile în manipulare. De exemplu, imaginea unui constructibil printr-un morfism de prezentare finit este construibilă, deci acest lucru nu este adevărat pentru părțile deschise sau închise. Dar, mai presus de toate, sub ipoteze destul de generale, dacă este un morfism al diagramelor , setul de puncte ale lui X sau Y care îndeplinește anumite tipuri de proprietăți este un set construibil (fără a fi deschis sau închis în general). $\ scriptstyle f: X \ to Y$

Definiție

Fie X un spațiu topologic. Setul de părți constructibile ale X este cel mai mic set de părți X conținând retrocompacts deschise (adică a cărui intersecție cu orice cvasi compact deschis al X este cvasi - compact), stabil prin finit intersecție și prin trecerea la complementare.

Caracterizare

Se spune că un spațiu topologic X este noetherian dacă orice secvență descrescătoare a părților închise ale lui X este staționară. Spațiul topologic care stă la baza unei scheme noetheriene este noetherian. Într-un spațiu noetherian, orice parte a lui X este retrocompactă. Astfel, orice parte închisă local este construibilă.

În cele ce urmează, ne restrângem la spații noetheriene.

Propoziție - Într-un spațiu noetherian, o parte este construibilă dacă și numai dacă este o uniune finită a părților închise local .

Într-adevăr, setul de părți închise local este stabil prin intersecție finită, iar complementul unei părți închise local este scris ca uniunea (disjunctă) a unui deschis și a unui închis. Deci reuniunile lor finite formează un set stabil prin intersecție finită și trecând la complementar. Și este evident cel mai mic posibil.

Proprietăți

Este ușor de văzut că orice set construibil este o reuniune finită disjunctă a părților închise local (într-adevăr, reunirea a două închise local este, de asemenea, reuniunea disjunctă a unui închis local și a intersecției unui închis local cu complementul unui închis local sau complementul unui închis local este unirea disjunctă a unui deschis și a unui închis).
Dacă E este construirea, atunci acesta conține o densa deschis U adeziv său E . Atunci E este uniunea disjunctă de U (care este închis local în X ) și care este închis local interior gol în E . Putem începe din nou cu E ' . Prin noeterianitate, procesul se oprește după un număr finit de pași, deci E este o reuniune finită disjunctă a părților închise local mai mici și mai mici . ${\ displaystyle E ': = E \ cap ({\ overline {E}} \ setminus U)}$
O clădire-set de sub o porțiune închisă sau deschisă a X este edificabil în X .
A fi construibil este o proprietate locală : într-un spațiu topologic noetherian, o parte E este construibilă dacă și numai dacă fiecare punct al lui E are un vecinătate deschisă în X în care E este construibil.
Seturile construibile sunt stabile prin imaginea reciprocă a unei hărți continue (între spațiile topologice noetheriene).
În cazul în care adeziunea singleton { x } a întâlni o clădire partid E , atunci x aparține E .

Exemplu

În planul afinar pe un corp , uniunea originii (0, 0) cu complementul liniei y = 0 este o parte construibilă. Nu este închis local, ci este uniunea unui închis (originea) cu un deschis (planul minus linia). Imaginea morfismului diagramelor este definită prin puncte . Acest exemplu arată că imaginea unui colector algebric printr-un morfism nu este în general nici închisă, nici deschisă. ${\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {2}}$ $k$ ${\ displaystyle {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {2} \ to {\ mathbb {A}} _ {k} ^ {2}}$ ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto (xy, y)}$

Referințe

În cea de-a doua ediție a EGA I, un astfel de set este considerat a fi construibil la nivel global .

A. Grothendieck și J. Dieudonné , Elements of algebraic geometry , cap. 0, §9 și cap. IV, § 1.8.