Spațiu convex local

În matematică , un spațiu convex local este un spațiu vector topologic a cărui topologie poate fi definită folosind o familie de semi-norme . Este o generalizare a noțiunii de spațiu normat .

Definiție

Se spune că un spațiu vector topologic E este local convex dacă îndeplinește una dintre următoarele două proprietăți echivalente:

există o familie de semi-standarde astfel încât topologia lui E este inițială pentru setul de aplicații ; $\ mathcal {P}$ ${\ displaystyle \ {x \ mapsto p (xy) \ mid y \ in E, p \ in {\ mathcal {P}} \}}$
vectorul zero are o bază de cartiere formate din convexe .

În acest caz, familia de semi-standarde poate fi întotdeauna aleasă de filtrare .

Demonstrarea echivalenței celor două definiții

(1) ⇒ (2)
Într-adevăr, orice semi-normă p pe E este o funcție convexă și, prin urmare, pentru orice R > 0, mulțimea lui x a lui E care îndeplinește p ( x ) < R este convexă .
(2) ⇒ (1)
Fie T topologie E , presupus a fi verificate (2), și T ' care, grosieră, definit de familia tuturor seminorme de pe E continue pentru T .
Este vorba de a demonstra că invers, T ⊂ T ' . Este suficient pentru a arăta că orice T- vecinătate V de 0 conține o vecinătate T ' de 0.
Acum pentru un astfel de V , prin continuitatea hărții (λ, v ) ↦ λ v , există un real α> 0 și un T- vecinătate W de 0, care poate fi presupus a fi convex din (2), astfel încât ${\ displaystyle | \ lambda | <\ alpha}$ și ${\ displaystyle v \ in W \; \ Rightarrow \ lambda v \ in V.}$ V conține apoi setul Ω definit de ${\ displaystyle \ Omega = \ bigcup _ {| \ lambda | <\ alpha} \ lambda W.}$ Mai mult, Ω este vecinătatea 0 (deci absorbantă ), convexă și echilibrată . gabaritul său este , astfel , un semi-standard , continuu E , mingea de centru 0 și raza 1 / cu 2 este deci un T ' -voisinage 0. Sau mingea este inclusă în Ω, deci în V .

Exemple

Orice spațiu vector normalizat este local convex (topologia definită de o singură semi-normă: norma).
Topologia slabă a unui spațiu vectorial topologic este local convex. Formele de modul liniar continuu sunt utilizate ca o familie de semi-norme.
În ceea ce privește dualul său topologic , topologiile puternice și slabe * sunt, de asemenea, definite fiecare de o familie de semi-norme.

Contra-exemple

Pentru $0 < p <1$ , spațiile metrice ale secvențelor $ℓ p$ și spațiile metrice ale funcțiilor $L p$ nu sunt spații convexe local.

Criteriul de separare

Teorema - Pentru ca un spațiu local convex definit de o familie de semi-norme să fie separat , este necesar și suficient ca pentru orice vector diferit de zero să existe o semi-normă astfel încât . $E$ ${\ displaystyle (p_ {i}) _ {i \ în I}}$ ${\ displaystyle v \ în E}$ $p_ {i}$ ${\ displaystyle p_ {i} (v) \ neq 0}$

Într-adevăr, un spațiu vector topologic este separat dacă și numai dacă intersecția vecinătăților lui 0 este redusă la singletonul {0}, cu alte cuvinte dacă și numai dacă pentru orice vector v diferit de zero, există un vecinătate de 0 nu care conține v .

Continuitatea unei funcții

Fie două spații convexe local, ale căror topologii sunt definite respectiv de familii de semi-norme (presupuse filtrare) și (oricare), și f o aplicație a primului spațiu în al doilea. Următoarea propoziție rezultă din definiții. ${\ displaystyle (E, {\ mathcal {P}}), (F, {\ mathcal {Q}})}$ ${\ mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$

Propunere -

f este continuu la punctul v al lui E dacă și numai dacă

${\ displaystyle \ forall q \ in {\ mathcal {Q}} \ quad \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ există p \ in {\ mathcal {P}} \ quad \ există \ alpha> 0 \ quad \ forall w \ in E \ quad p (wv) <\ alpha \ quad \ Rightarrow \ quad q (f (w) -f (v)) <\ epsilon \}$ .

f este uniform continuu peste E dacă și numai dacă

${\ displaystyle \ forall q \ in {\ mathcal {Q}} \ quad \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ există p \ in {\ mathcal {P}} \ quad \ există \ alpha> 0 \ quad \ forall v \ in E \ quad \ forall w \ in E \ quad p (wv) <\ alpha \ quad \ Rightarrow \ quad q (f (w) -f (v)) <\ epsilon \}$ .

De exemplu (prin luarea și ), toate semi-normele aparținând sunt uniforme continue pe E (deoarece 1- Lipschitzian ). O semi-normă q peste E este de fapt uniformă continuă dacă și numai dacă este continuă la 0, ceea ce este echivalent cu existența unei semi-norme p ∈ și a unei constante C > 0 astfel încât q ≤ Cp . Deducem un analog pentru aplicații liniare: ${\ displaystyle F = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} = (| \ |)}$ ${\ mathcal {P}}$ ${\ mathcal {P}}$

Motion - O liniară de mapare este uniform continuă , dacă și numai dacă este continuă la 0, care are ca rezultat: . ${\ displaystyle T: E \ to F}$
${\ displaystyle \ forall q \ in {\ mathcal {Q}} \ quad \ există p \ in {\ mathcal {P}} \ quad \ există C> 0 \ quad \ forall v \ in E \ quad q (T ( v)) \ leq C \ p (v) \}$

Metrizabilitate

Teorema - Fie E un spațiu separat local convex , a cărui topologie este definită de o familie de semi-norme. Următoarele condiții sunt echivalente: ${\ mathcal {P}}$

E este metrizabil .
Fiecare punct de E are o numărabil bază de cartiere.
Topologia lui E poate fi definită printr-o subfamilie numărabilă de semi-norme. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ subset {\ mathcal {P}}}$
Topologia lui E poate fi definită printr-o familie de filtrare numărabilă de semi-norme.
Topologia lui E poate fi definită printr-o distanță invariantă prin traducere.

Demonstrație

Echivalența dintre 1, 2 și 5 este un caz special al teoremei Birkhoff-Kakutani pe grupuri topologice . Să arătăm că 3 și 4 sunt, de asemenea, echivalente cu 2.

2 ⇒ 3: adică o bază a vecinătăților de 0. Fiecare conține o minge de formă , unde și pentru o anumită parte finită . Topologia definită de subfamilia numărabilă este evident mai puțin fină decât cea a lui E , dar și mai fină, prin construcție. ${\ displaystyle (V_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $V_ {n}$ ${\ displaystyle B_ {q_ {n}} (0, r_ {n})}$ ${\ displaystyle r_ {n}> 0}$ ${\ displaystyle q_ {n} = \ max _ {p \ in {\ mathcal {D}} _ {n}} p}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {n} \ subset {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} = \ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} D_ {n}}$
3 ⇒ 4: este o serie de semi-standarde care definesc topologia E . Prin poziționare , obținem o secvență de filtrare a semi-normelor care definesc aceeași topologie. ${\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle q_ {n} = \ max _ {k \ leq n} p_ {k}}$
4 ⇒ 2: să fie o secvență de filtrare a semi-normelor care definesc topologia lui E , atunci fiecare punct $x$ are o bază numărabilă a vecinătăților, a formei . ${\ displaystyle (q_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle V (x, n) = \ {y \ in E \ mid q_ {n} (yx) <2 ^ {- n} \}}$

Analogii pentru p <1 din spațiile L p cu p ≥ 1 sunt metrizabile cu o distanță invariantă, dar nu sunt convexe local.

Pentru orice nevida deschis spațiul de funcții C ∞ cu suport compact de la este prevăzut în mod natural cu o structură convexă la nivel local , care poate să nu fie metrized. ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ mathcal D} (\ Omega)$ $\Omega$ $\ mathbb {R}$

Rețineți că orice spațiu vector topologic normabil este local convex și metrizabil. Cu toate acestea, inversul nu este adevărat: de exemplu, spațiul Schwartz este Fréchet , în special local convex și metrizabil, dar nuclear și de dimensiune infinită, deci non-normabil. Un alt exemplu al unui spațiu metrizabil dar nu normable local convex este R N .

Criteriul de normabilitate al lui Kolmogorov (1934) -

Un spațiu convex local este semi-normabil dacă și numai dacă este delimitat local, adică dacă 0 are o vecinătate delimitată .
Prin urmare, un spațiu vector topologic este normabil dacă și numai dacă este separat, convex local și delimitat local.

Spațiul Fréchet

Un spațiu Fréchet este un spațiu convex local care este atât metrizabil cât și complet în sensul de spații uniforme , sau mai simplu: un spațiu convex local care este complet metrizabil (adică a cărui topologie este indusă de o distanță completă).

Note și referințe

Pentru o dovadă care nu folosește teorema Birkhoff-Kakutani , a se vedea de exemplu Claude Wagschal , Topologie și analiză funcțională , Hermann, col. „Metode”,1995.
(en) Eric Schechter (en) , Manual de analiză și fundamentele sale , Academic Press ,1997( citiți online ) , p. 724.

Articole similare

Spațiul Banach
Spațiu bornologic (de)
DF Space (de)
Spațiu LF (de)
Spațiul Montel
Spațiu quasinormabil (de)
Spațiu reticulat (de)
Spațiu suită ℓp
Spațiu interzis
Topologie compact-deschisă