Oscilatorul Van der Pol

Van der Pol oscilatorul este un continuu timp de sistem dinamic cu un singur grad de libertate . Este descris printr-o coordonată $x$ $($ $t$ $) care$ verifică o ecuație diferențială care implică doi parametri: o pulsație adecvată $ω$ $0$ și un coeficient de neliniaritate $ε$ . Când $ε$ $= 0$ , acest oscilator se reduce la un oscilator armonic pur.

Poartă numele de Balthasar van der Pol .

Istorie

Oscilatorul Van der Pol a fost inventat de fizicianul olandez Balthasar van der Pol în timp ce era angajat în laboratoarele Philips . Van der Pol a descoperit că acest circuit care conține un tub de vid a dezvoltat oscilații stabile, pe care le-a numit „ oscilație de relaxare ” și care sunt denumite astăzi cicluri limită ale circuitelor electrice . Când aceste circuite sunt excitate la o frecvență apropiată de cea a ciclului limită, se creează o cuplare , adică semnalul de control își impune frecvența curentului. Van der Pol și colegul său Van der Mark au publicat în 1927 că la anumite frecvențe de control a existat zgomot neregulat . Acest zgomot a fost întotdeauna declanșat în vecinătatea frecvențelor naturale de cuplare. Aceasta a fost una dintre primele dovezi ale existenței haosului determinist .

Ecuația lui Van der Pol a găsit multe aplicații în științele fizice și biologice . De exemplu, în biologie, Fitzhugh și Nagumo au dezvoltat o versiune bidimensională a acestui sistem dinamic pentru a descrie potențialul de acțiune al neuronilor . Ecuația a fost, de asemenea, utilizată în seismologie pentru a modela interacțiunea plăcilor pe o defecțiune .

Oscilator gratuit

Ecuația diferențială a oscilatorului liber este scrisă:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - \ varepsilon \ omega _ {0} \ left (1-x ^ {2} (t) \ right) {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} x (t) = 0. }

Când $ε \neq 0$ , acest sistem disipativ are o dinamică regulată caracterizată printr-un atractor sub forma unui ciclu limită , reprezentat în figura de mai jos (unde am setat $ω 0 = 1$ ):

Oscilator forțat

Când acest oscilator este excitat de un termen armonic la impulsul $ω$ , ecuația sa diferențială devine:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - \ varepsilon \, \ omega _ {0} \ left (1- x ^ {2} (t) \ right) {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ x (t) = \ omega _ {0} ^ {2} \, X \ cos (\ omega t)}

Note

(în) K. Tomita, " Oscilatoare neliniare forțate periodic " , Haos , Arun V. Holden, Manchester University Press,1986, p. 213–214 ( ISBN 0719018110 ).
ML Cartwright , „ Balthazar van der Pol ”, J. London Math. Soc. , N o 35,1960, p. 367-376 ( citește online ).
B. Van der Pol , „ Despre relaxare-oscilații ”, The London, Edinburgh și Dublin Phil. Mag. & J. din Sci. , Seria 2 e , nr . 7,1927, p. 978-992.
B. Van der Pol și J. Van der Mark , „ Unelte de frecvență ” , Nature , n o 120,1927, p. 363-364.
T. Kanamaru , " Oscilatorul Van der Pol " Scholarpedia , seria 2 E , n o 1,2007, p. 2202 ( citește online ).
Jean-Marc Ginoux , „ Van der Pol și istoria oscilațiilor de relaxare: către apariția unui concept ”, Haos , n o 22,2012( DOI 10.1063 / 1.3670008 )
R. FitzHugh ,, „ Impulsuri și stări fiziologice în modelele teoretice ale membranelor nervoase ”, Biophysics J. , n o 1,1961, p. 445-466.
J. Nagumo , S. Arimoto și S. Yoshizawa , „ O linie activă de transmisie a impulsurilor care simulează axonul nervos ”, Proc. IRE , nr . 50,1962, p. 2061-2070.
J. Cartwright , V. Eguiluz , E. Hernandez-Garcia și O. Piro , „ Dynamics of elastic excitable media ”, International Journal of Bifurcation and Chaos Appl. Știință. Îngr. , n o 9,1999, p. 2197–2202.

Vezi și tu

Articole similare

linkuri externe

O animație interactivă ( prezentare ) Flash .
Un applet

Bibliografie

Jean-Marc Ginoux, Istoria teoriei oscilațiilor neliniare: De la Poincaré la Andronov , Hermann ,2015.
James Gleick ( trad. Christian Jeanmougin), La Théorie du Chaos [„Haosul: a face o nouă știință”], Paris, Flammarion , col. "Câmpuri",1988( reeditare 1999, 2008), 431 p. ( ISBN 978-2-08-081219-3 și 2-08081-219-X ) , p. 41-43conține o descriere detaliată a oscilatorului cu tub van der Pol. După ce a publicat un articol despre același subiect în 1988 în New York Times , Gleick primise de la un cititor al ziarului un circuit electronic similar circuitului Van der Pol. Articolul în cauză: (în) David Colman , „ Nu există liniște fără zgomot ” , New York Times ,11 iulie 2011( citit online , consultat la 11 iulie 2011 )
Hervé Reinhard , Ecuații diferențiale: Fundamente și aplicații , Paris, Gauthier-Villars , col. „ΜB”,1988, 450 p. ( ISBN 2-04-015431-0 ) , "8 - Ecuații și soluții periodice"
(ro) Balthazar van der Pol și J van der Mark, „ Bătăile inimii considerate ca o oscilație de relaxare și un model electric al inimii ” , Philosophical Magazine Supplement , n o 6,1928, p. 763-775.
(ro) Shawnee L. Mc Murran și James J. Tattersall, „ Cartwright și Littlewood pe ecuația lui van der Pol, analiza armonică și ecuații diferențiale neliniare ” , Contemporary Mathematics , Riverside, CA, American Mathematical Society (Providence, RI, 1997), n o 208,1995, p. 265-276.