În geometria Riemanniană , există câteva generalizări utilizate în mod obișnuit ale operatorului laplacian . Cel mai simplu este operatorul Laplace-Beltrami care se aplică funcțiilor numerice. Se pot defini operatori care să permită obținerea unor obiecte mai generale, forme diferențiale, tensori sau secțiuni de pachete de vectori, în moduri diferite, uneori concurente. Mai mulți dintre ei merită să fie calificați ca laplaci, începând de la simbolul lor principal , adică termenii de derivare a gradului superior. Prin urmare, ele împărtășesc caracteristici diferite, cum ar fi caracterul lor eliptic . Este posibil să le relaționăm între ele prin așa-numitele formule Weitzenböck care implică curbura și să deducem din ele proprietăți interesante care leagă topologia și analiza funcțională.
În tot ce urmează luăm o varietate riemanniană (M, g) . Vom folosi simbolurile produsului scalar și ale normei și pentru metrica indusă pe tensori sau formele diferențiale .
În cazul funcțiilor numerice, definim laplacianul prin formula
această convenție, practicată în mod obișnuit în geometria diferențială, este opusă celei care se găsește de obicei în analiză; acest lucru se explică în special prin faptul de a privilegia semnul „+” în expresia legăturii cu diferențialul extern și codifferențialul (care va fi generalizat cu Laplacianul lui Hodge)
Acest laplacian constituie un operator diferențial eliptic și auto-adăugat. Prin integrarea relației grație teoremei lui Stokes , pe o varietate compactă , nucleul său (set de așa-numitele funcții armonice ) este redus la constante.
În cadrul euclidian, se poate defini o noțiune generală de simbol a unui operator diferențial , adică o expresie care dă coeficienții și ordinele de derivare. Dar pentru soiurile diferențiale , coeficienții sunt modificați la schimbarea hărților. Se păstrează doar simbolul principal, sub forma unui tensor simetric.
Pe o varietate Riemanniană (M, g) este deci posibil să calificăm ca laplacieni toți operatorii diferențiali care acționează asupra secțiunilor unui pachet vector E și al căror simbol principal
este direct legată de metrică prin intermediul relațiilor
Deoarece metrica Riemanniană este asociată canonic cu conexiunea Levi-Civita , avem o derivată covariantă care ne permite să derivăm funcțiile, formele diferențiale și toate tipurile de tensori , la orice ordine. Laplacianul gros sau laplacianul de conexiune este dat folosind urma (adică contracția conform g ) a celei de-a doua derivate
De asemenea, putem extinde această definiție pentru a calcula Laplacianul pe orice pachet E Riemannian de vector, deoarece avem apoi o derivare covariantă pe covectori cu valori în E :
remarcând asistentul formală a conexiunii. Simbolul principal al justifică faptul că este într-adevăr un operator laplacian, care este, de asemenea, în mod formal auto-adăugat și pozitiv. DACĂ colectorul este compact, nucleul este format prin verificarea secțiunilor , adică cu T în general paralel .
Laplacianul lui Hodge este definit doar pe forme diferențiale ; poartă, de asemenea, numele operatorilor lui Laplace-De Rham sau Laplace-Beltrami sau chiar Laplacien. În cazul unui distribuitor Riemannian orientat , putem defini codifferențial datorită operatorului dualității Hodge : în dimensiunea n , pentru formele p
Laplacianul combină diferențialul și codiferențialul
iar operatorul a obținut comutatoare la operatorul Hodge.
Cu toate acestea, dacă o schimbare de orientare modifică operatorul Hodge, găsim același codifferențial și, prin urmare, același laplacian, care poate fi definit prin urmare chiar și pe varietăți neorientabile.
Formele diferențiale ale Laplacianului nul sunt numite armonice. Pe o varietate compactă și orientată, aceste forme armonice anulează atât diferențialul, cât și codiferențial, și putem stabili teorema descompunerii lui Hodge : orice formă diferențială este scrisă în mod unic ca suma unei forme exacte, a unei forme co-exacte și a unei armonici. formă.
Putem defini o noțiune generală de operator Dirac : sunt operatori definiți pe anumite pachete de îndată ce avem proprietăți bune de compatibilitate cu pachetul Clifford al varietății. Toți au în comun faptul că au un pătrat care este un operator laplacian. Printre exemplele notabile este recomandabil să se citeze următorul operator pe pachetul de forme diferențiale și al cărui pătrat este Laplacianul Hodge menționat mai sus:
Cu toate acestea, în această familie, doi operatori specifici sunt denumiți mai frecvent operatori Dirac. Ele nu sunt definite pe nicio varietate Riemanniană, ci numai atunci când avem o structură Spin sau Spin c și pachetul de spinori asociat . În cazul unei structuri Spin, există un operator Dirac privilegiat și atunci când se dorește să se distingă de familia generală care precede, se vorbește despre operatorul Atiyah-Singer. Într-o bază ortonormală mobilă și în fiecare punct x , este dat de formulă
prezentând un produs Clifford și pe care îl arătăm că dă un rezultat independent de baza aleasă și că are drept pătrat un laplacian (Dirac sau Atiyah-Singer Laplacian). Pentru o structură Spin c , există o alegere a conexiunii care trebuie făcută pe pachetul de linii asociat cu structura, deci mai mulți operatori dirac și laplacieni posibili.
Formula istorică a lui Weitzenböck, stabilită în 1923 și redescoperită de Bochner în 1948, leagă Laplacianul lui Hodge pentru o formă diferențială de conexiunea Laplacian; arată că diferența dintre acești doi laplaci este un termen sofisticat care implică curbura. În cazul formelor 1 , este scris folosind o versiune a tensorului de curbură Ricci (forma bilinară Ricci pe pachetul cotangent)
Putem da o formulare mai generală și mai elegantă, incluzând inițial toți laplacienii din Dirac
unde termenul suplimentar este exprimat cu o multiplicare Clifford și operatorul de curbură
Acest lucru are ca rezultat câteva cazuri particulare interesante: pentru operatorul lui Dirac d'Atiyah-Singer termenul de curbură este deosebit de simplu, limitat la un termen de curbură scalară (așa-numita formulă Lichnerowicz)
Bochner a stabilit în 1946 că, pentru varietățile riemanniene, pozitivitatea curburii Ricci dă o limită valorii unui invariant topologic, primul număr Betti . Acest rezultat este interesant în sine, deoarece face parte dintr-o serie de rezultate care arată impactul ipotezelor de curbură asupra topologiei varietății. Și abordarea lui Bochner, care exploatează formulele Weitzenböck, a văzut utilizarea sa pe scară largă pentru a produce multe fructe.
Pentru teorema inițială a lui Bochner , derivăm din această formulă valoarea Laplacianului pătratului normei unei forme 1-armonice
.Integrala expresiei este zero prin teorema lui Stokes și putem exploata apoi proprietățile pozitivității sau pozitivității stricte.
Un rezultat părinte, de la Gallot și Meyer, dă nulitatea tuturor numerelor de ordine Betti, altele decât 1 și n , făcând de această dată o ipoteză strictă de pozitivitate asupra operatorului de curbură: în acest caz avem de-a face cu o sferă de omologie . Putem compara acest rezultat cu teorema sferei care dă un difeomorfism în ipoteze mai exigente.
Din formula lui Lichnerowicz tragem, de asemenea, un anumit număr de consecințe asupra soiurilor de spin care sunt compacte: dacă curbura scalară este strict pozitivă, nucleul operatorului Atiyah-Singer este redus la 0 (fără spinor armonic). Și putem găsi constrângeri asupra unui alt invariant, genul.
Tehnica Bochner face posibilă găsirea altor tipuri de informații: o legătură pe valorile proprii ale Laplacianului dacă curbura Ricci este suficient de mare sau proprietățile câmpurilor Killing .
În 1964, James Eells și Joseph H. Sampson (ro) , au introdus o noțiune de aplicare armonică între două varietăți riemanniene și , ca soluție a unei anumite probleme variaționale , au generalizat problema Dirichlet . Cel puțin într-un cadru simplu (varietăți orientate compact), este vorba de găsirea punctelor critice ale unei funcționale numită energie a lui Dirichlet . Se scrie ecuația Euler-Lagrange asociată
(cu conexiunea Levi-Civita pentru h ), sau în coordonate locale (și cu simbolurile lui Christoffel pentru fiecare dintre cele două valori și utilizarea convenției de însumare a lui Einstein )
Acest câmp de tensiune poate fi interpretat ca gradientul energiei lui Dirichlet sau, din nou, ca laplacian generalizat al (urma din Hessian generalizat).