Operă
În algebră generală , o operadă este o structură algebrică care modelează proprietățile (asociativitate, comutativitate și alte relații) ale unei algebre . Intuitiv, elementele unei operade corespund operațiilor cu mai multe intrări, pe care le putem adăuga și compune. Aceste operații sunt reprezentate de copaci, care pot fi altoiți unul pe celălalt pentru a reprezenta compozițiile.
Operele au fost introduse în topologia algebrică de J. Peter May , John Michael Boardman (ro) și Rainer Vogt la începutul anilor 1970, în special pentru a modela spații iterate din dantelă .
Paradigmă
Să ne uităm la structura algebrică pe care o putem pune pe seturi de funcții multivariate ale (pentru orice număr întreg pozitiv n) în , unde este un spațiu vectorial real. Putem înmulți o funcție cu un număr real și putem adăuga două funcții ale lui . Avem astfel o structură spațială vectorială pe fiecare , deci o structură de modul pe . Putem adăuga o operație de compoziție, generalizând clasicul existent pentru funcțiile unei variabile: cu și , putem asocia o funcție cu variabile n + m-1 unde am fost înlocuite cu funcția . Denotăm această operație și o numim „produs parțial al compoziției” (de la g la locul i al lui f). Putem reprezenta această operație grafic printr-o altoire de copac:
P(nu){\ displaystyle P (n)}Vnu{\ displaystyle V ^ {n}}V{\ displaystyle V}V{\ displaystyle V}P(nu){\ displaystyle P (n)}P(nu){\ displaystyle P (n)}P(nu){\ displaystyle {P (n)}}(f∘g)(X){\ displaystyle (f \ circ g) (x)}f(X1,...Xnu){\ displaystyle f (x_ {1}, ... x_ {n})}g(y1,...,ym){\ displaystyle g (y_ {1}, ..., y_ {m})}f(X1,...,g(y1,...,ym),...,Xnu){\ displaystyle f (x_ {1}, ..., g (y_ {1}, ..., y_ {m}), ..., x_ {n})}Xeu{\ displaystyle x_ {i}}g{\ displaystyle g}f∘eug{\ displaystyle f \ circ _ {i} g}
Acest produs de compoziție parțială satisface două relații de asociativitate, corespunzătoare faptului că ordinea nu contează în următoarele compoziții:
Secvența seturilor P (n), prevăzută cu aceste operații (înmulțirea cu un scalar, adunare, produs parțial de compoziție), este o operadă nesimetrică.
Putem face grupul simetric să acționeze pe n variabile și să obțină prin echivarianță o acțiune de pe fiecare . Această acțiune are proprietăți de compatibilitate cu operațiunile operadei. Aceasta oferă o structură de operă urmând seturile P (n).
Σnu{\ displaystyle \ Sigma _ {n}}Σnu{\ displaystyle \ Sigma _ {n}}P(nu){\ displaystyle P (n)}
Putem defini un produs de compoziție (total) din produsul de compoziție parțială: înlocuim toate variabilele intrărilor de cu alte funcții . Acest produs este evaluat .
f{\ displaystyle f}geu{\ displaystyle g_ {i}}∘{\ displaystyle \ circ}
P(nu)×P(k1)×⋯×P(knu)→P(k1+⋯+knu)(f,g1,...,gnu)↦f∘(g1,...,gnu){\ displaystyle {\ begin {matrix} P (n) \ times P (k_ {1}) \ times \ cdots \ times P (k_ {n}) & \ to & P (k_ {1} + \ cdots + k_ {n}) \\ (f, g_ {1}, \ ldots, g_ {n}) & \ mapsto & f \ circ (g_ {1}, \ ldots, g_ {n}) \ end {matrix}}}
Definiția unei opere
O operă nesimetrică este o secvență de seturi P (n) prevăzute cu un produs de compoziție și un element unitate 1 în P (1) astfel încât proprietățile asociativității și unității să fie verificate. Asociativitatea este scris după cum urmează:
.
∘{\ displaystyle \ circ}θ∘(θ1∘(θ1,1,...,θ1,k1),...,θnu∘(θnu,1,...,θnu,knu))=(θ∘(θ1,...,θnu))∘(θ1,1,...,θ1,k1,...,θnu,1,...,θnu,knu){\ displaystyle \ theta \ circ (\ theta _ {1} \ circ (\ theta _ {1,1}, \ ldots, \ theta _ {1, k_ {1}}), \ ldots, \ theta _ {n } \ circ (\ theta _ {n, 1}, \ ldots, \ theta _ {n, k_ {n}})) = (\ theta \ circ (\ theta _ {1}, \ ldots, \ theta _ { n})) \ circ (\ theta _ {1,1}, \ ldots, \ theta _ {1, k_ {1}}, \ ldots, \ theta _ {n, 1}, \ ldots, \ theta _ { n, k_ {n}})}
Unitatea axiomă este: .
1∘f=f=f∘(1,...,1){\ displaystyle 1 \ circ f = f = f \ circ (1, \ ldots, 1)}
O operadă este o operadă nesimetrică astfel încât fiecare este prevăzută cu o acțiune a grupului simetric compatibil cu operațiile de compoziție.
P(nu){\ displaystyle P (n)}
Notă: Această definiție se află în cadrul categoriei de seturi, dar o operadă este în general definită pentru orice categorie monoidală simetrică. Lucrăm adesea și în cadrul modulelor (iar operadele sunt numite apoi operade algebrice) sau în cadrul seturilor topologice (vorbim despre o operă topologică).
Definiția algebra pe o operadă
Pentru o operă algebrică (adică este un modul peste un inel comutativ R), o algebră peste o operadă este un modul A peste R dotat cu o familie de morfisme de module R
compatibile cu produsul de compoziție al operei.
P(nu){\ displaystyle P (n)}P(nu)⊗LA⊗nu→LA{\ displaystyle P (n) \ otimes A ^ {\ otimes n} \ rightarrow A}
Notă: Această noțiune este legătura dintre algebre și operade. Orice categorie de algebre (sub unele ipoteze) este codificată de o operă algebrică și invers orice operă algebrică codifică un tip de algebre.
Exemple
- Putem asocia o operadă cu orice tip de algebră. De exemplu, există o operadă asociativă (adesea notată ca ), algebrele de pe această operadă fiind algebrele asociative. Există în mod similar o operadă comutativă (notată Com , iar algebrele din această operadă sunt algebrele comutative), o operă Lie (notată Lie ) etc.
- În ceea ce privește multe structuri algebrice, există noțiunea de obiect liber. Opera liberă este frecvent utilizată pentru a defini operade de către generatori și relații. De exemplu, operada asociativă este definită ca operada liberă pe un singur generator citat de idealul generat de relația de asociativitate.
- Pentru o algebră, putem defini o operadă unde și dacă nu. Acest lucru arată că orice algebră poate fi văzută ca o operadă (această legătură este diferită de legătura dată de algebre la operade).LA{\ displaystyle A}P{\ displaystyle P}P(1)=LA{\ displaystyle P (1) = A}P(nu)=0{\ displaystyle P (n) = 0}
- Operația (topologică) a discurilor mici (sau a cuburilor mici) este un exemplu important. Provine din teoria homotopiei. Intuitiv, un element al corespunde aranjării a n discuri mici în discul unității, iar compoziția a două elemente este ca inserarea discurilor mici ale unuia într-un disc mic al celuilalt.P(nu){\ displaystyle P (n)}
Originea cuvântului
Cuvântul opérade ( operad în engleză) provine din contracția „operației monade” ( operation monad în engleză). Acest termen a fost folosit pentru prima dată de Peter May.
Vezi și tu
Referințe
- (ro) Martin Markl, Steve Shnider și Jim Stasheff, Operads in Algebra, Topology and Physics , Providence, American Mathematical Society ,2002, 349 p. , buzunar ( ISBN 978-0-8218-4362-8 , OCLC 48810307 , LCCN 2002016342 , citiți online )
- (ro) JP May, The Geometry of Iterated Loop Spaces , Berlin, Springer-Verlag ,1972, 1 st ed. ( ISBN 978-3-540-05904-2 , citit online )
- (ro) Jean-Louis Loday și Bruno Vallette , Algebraic Operads , Springer, col. „Grund. der math. Wiss. "( N o 346),2012, xviii + 512 p. ( citește online )
- ( fr ) Jim Stasheff , „ Ce este ... o operă? ” , Notificări ale Societății Americane de Matematică , vol. 51, nr . 6,Iunie / iulie 2004, p. 630–631 ( citește online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">