Metrică riemanniană

În geometria diferențială , metrica Riemanniană este noțiunea de bază a geometriei Riemanniene . Prima introducere a fost dată de Bernhard Riemann în 1854. Cu toate acestea, articolul său despre acest subiect a fost publicat după moartea sa în 1868. În același an, Hermann von Helmholtz a publicat rezultate similare.

Metricele Riemanniene sunt familii diferențiate de forme pătratice definite pozitive .

Definiții

Pe un vector mănunchi E → M , o măsurătoare riemannian g este datele unui produs dot g x pe fiecare fibră de E x care depinde de modul în care neted punctul de bază x variind M . Mai formal, x↦g x este o secțiune în orice punct definit pozitiv al mănunchiului vector S 2 E → M de forme biliniare simetrice. Spunem că datele ( E, g ) sunt un pachet Riemannian .

Pentru două pachete Riemanniene ( E, g ) și ( F, g ' ) pe M , un morfism pachet Riemannian f :( E, g ) → ( E, g' ) este un morfism de pachet vector f: E → E ' astfel încât , pentru orice punct x al lui M , harta liniară f x : E x → F x este o izometrie liniară , adică:

\ forall v, w \ in E_ {x}, \ quad g '_ {x} (f_ {x} (v), f_ {x} (w)) = g_ {x} (v, w).

Dacă M este o varietate diferențială, o metrică Riemanniană pe M este pur și simplu o metrică Riemanniană pe fasciculul său tangent . Datele ( M, g ) sunt o varietate riemanniană .

Având în vedere două varietăți Riemanniene ( M, g ) și ( N, g ' ), o izometrie F :( M, g ) → ( N, g' ) este o hartă diferențiată F: M → N astfel încât harta tangentă dF :( TM, g ) → ( TN, g ' ) este un morfism al fasciculelor Riemanniene. Această ultimă condiție este rescrisă: F * g '= g .

Exemple

Orice produs scalar de pe ℝ n induce pe orice pachet de vectori trivial M × ℝ n → M a metrică Riemanniană: $<,>$ $g_ {x} ((x, v), (x, w)) = <v, w>.$
Fie g o metrică Riemanniană pe E → M și P o varietate. Pentru o funcție diferențiată ψ: P → M , există pe pachetul vector tras înapoiFibră indusă ψ * E → P o metrică Riemanniană unică ψ * g astfel încât morfismul natural ψ * E → E este un izomorfism al pachetelor Riemannian.
Dacă g este o valoare riemannian pe E → M , apoi prin restricție , g definește o măsurătoare riemannian pe orice subbundle vector de E .
Limita metricei Minkowski când c se apropie de infinit este o metrică de pachet. Timpul devine absolut, iar spațiul-timp este fibra de deasupra, găsim transformarea lui Galileo . În două momente diferite, metrica este diferența dintre timpuri. În același timp, într-o fibră de spațiu izomorfă , metrica este produsul scalar obișnuit. ${{\ rm {d}}} s ^ {2} = c ^ {2} {{\ rm {d}}} t ^ {2} - {{\ rm {d}}} x ^ {2} - {{\ rm {d}}} y ^ {2} - {{\ rm {d}}} z ^ {2}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

Existenţă

Pe orice pachet de vectori de bază paracompact, există o metrică Riemanniană.

Demonstrații

Dovadă printr-o partiție a unității.

Pentru orice U deschis suficient de mic al lui M , pachetul vectorial π -1 ( U ) → U este banalizabil. Cu toate acestea, de sus, orice pachet vector trivializabil admite o metrică riemanniană. Deci, există o metrică Riemanniană g U pe π -1 ( U ).

Folosind paracompacitatea lui M , există o suprapunere numărabilă ( U n ) n ∈ℕ a lui M astfel încât, pentru orice număr întreg n , există o metrică Riemanniană g n pe pachetul vector π -1 ( U n ) → U n . Fie (ϕ n ) n ∈ℕ o partiție a unității subordonate lui ( U n ) n ∈ℕ . Harta x ↦ϕ n ( x ) g n ( x ) este o secțiune globală a S 2 π -1 ( U n ) → U n zero în vecinătatea frontierei ∂ U n . Se extinde printr- o secțiune globală a lui S 2 E → M , notată necorespunzător cu x ↦ϕ n ( x ) g n ( x ). ${\ displaystyle 0}$

Atunci întrebăm:

g = \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ {n} g_ {n}: x \ mapsto \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ { n} (x) g_ {n} (x)

. Este o secțiune a lui S 2 E → M și este bine definită pozitivă în orice punct al lui M : dacă aparține în interiorul suportului și pentru orice vector diferit de zero al ,

X

X

\ phi _ {n}

v

Ex}

g (v, v) \ geq \ phi _ {n} (x) g_ {x} ^ {n} (v, v)> 0

Dovadă prin încorporare.

Există un pachet de vectori F → M astfel încât E ⊕ F → M este banalizabil. Utilizat la acest nivel paracompactness de M . Deci , există o valoare Riemanniană pe E ⊕ F → M care restrictioneaza la o valoare Riemanniană pe E → M .

Deși aparent mai scurt, acest al doilea argument ascunde dificultatea existenței . Această existență face apel, de asemenea, la un argument de partiție a unității . $F$

În special :

Pe orice varietate diferențială paracompactă, există o metrică riemanniană.

Vezi și tu